Unidad 2 Valor del dinero en el tiempo
Ph.D Ivette Miramontes
Índice
Introducción
Interés simple y compuesto
Equivalencia y diagramas de flujo
Tasa nominal y tasa efectiva
Capitalización continua y discreta
Índice
Valor presente, valor anual y valor futuro
Gradientes
Introducción
Valor del dinero en el tiempo
El valor presente y futuro se relaciona con el concepto del valor del dinero en el tiempo. El valor de una suma de dinero hoy es mayor que el valor de la misma suma de dinero mañana, ¿por qué?, por el potencial del dinero en generar más dinero.
+ INFO
VALOR PRESENTE
VALOR FUTURO
El valor presente de una inversión es cuando calculamos el valor actual que tendrá una determinada cantidad que recibiremos o pagaremos en un futuro, en el periodo acordado.
El valor futuro es el valor alcanzado por un determinado capital al final del período determinado.
2.1
Interés simple y compuesto
interés simple
El interés es una cuota que se paga por usar dinero prestado o invertido. Pagamos interés sobre las hipotecas por utilizar el dinero del banco. Usamos el dinero del banco para pagar a un contratista o a una persona a quien compramos una casa. De modo similar, el banco nos paga interés sobre el dinero invertido en cuentas de ahorros o certificados de depósito porque tiene acceso temporal a nuestro dinero.
Otros conceptos
Tasa de interés
Capital
La cantidad de dinero que se presta o invierte recibe el nombre de capital. Por lo general, se paga el interés en proporción al capital y el tiempo que se usa el dinero.
La tasa de interés especifica la tasa con que se acumula el interés. Normalmente, la tasa de interés se expresa como un porcentaje del capital por periodo; por ejemplo, 18% por año o 1.5% por mes.
interés simple
El interés que se paga sólo sobre la cantidad del capital se llama interés simple. Por lo regular, se asocia el interés simple a préstamos o inversiones que se hacen a corto plazo. El cálculo del interés simple se basa en la fórmula siguiente:
Interés simple = capital x tasa de interés por periodo x número de periodos
+ INFO
EJERCICIO
Una compañía otorgó un préstamo de $90 000 a cinco años al nuevo vicepresidente para financiar un proyecto de mejora de vivienda. Los términos del préstamo son que se debe pagar en su totalidad al final de cinco años con un interés simple calculado con una tasa de 8% por año. Determine el interés que se debe pagar sobre el préstamo en el periodo de cinco años.
Fórmula de Interés simple
Despejando i
Despejando n
Despejando P
Fórmula
Ejemplo
Hallar el capital inicial que invertido con una tasa de interés del 5% a tres años, genera un interés de 3162 dólares
Interés compuesto
Un procedimiento común para calcular el interés, consiste en capitalizar el interés.
En este procedimiento se reinvierte el interés. Se suma al capital el interés ganado en cada periodo con el propósito de calcular el interés del periodo siguiente.
La cantidad del interés calculado mediante este procedimiento se conoce como interés compuesto.
+ INFO
2.2
equivalencia y diagrama de flujo
equivalencia
La equivalencia financiera establece que dos sumas de dinero invertidas en fechas distintas, son equivalentes cuando, analizados en un mismo momento o tiempo conservan la misma cuantía. Si al ser valorados ambos capitales no cumplen la equivalencia o no son iguales, una de las dos sumas de dinero tendrá preferencia sobre la otra y por lo tanto será el elegido.
ejemplo
La fusión del valor del dinero en el tiempo y el tipo de interés permite desarrollar el concepto de equivalencia financiera, el cual significa que diferentes sumas de dinero en momentos diferentes pueden tener el mismo valor adquisitivo, es decir el capital equivalente a $ 1.000 a un 10% anual en un año será por ejemplo $ 1.100. Es decir, como en el ejemplo siguiente los capitales que tienen diferente valor son los mismos en distintos periodos de tiempo esto sería una equivalencia financiera debido a que el valor actual es igual a los valores futuros ubicados en tiempos diferentes, esta equivalencia es lo que recibe el nombre de equivalencia financiera:
+ INFO
Diagrama de Flujo de efectivo
Evaluar las alternativas de gastos de capital
Esquema
Clasificación de Los esquemas de flujo de efectivo
Un diagrama de flujo efectivo es, simplemente, la representación gráfica de los flujos de efectivo dibujados en una escala de tiempo. El diagrama debe representar el enunciado de un problema e incluir los datos y los resultados a encontrar. Es decir, después de dibujar el diagrama de flujo de efectivo, una persona ajena al problema debe de ser capaz de solucionarlo mediante el diagrama.
Clasifica
La simbología utilizada.
Simbología
Flujo de caja.
Flujo
Componentes Básicos del Diagrama de Flujo.
- Eje Horizontal (Tiempo): El eje horizontal del diagrama representa el tiempo. Los períodos se suelen dividir en años, meses o cualquier unidad de tiempo relevante para el análisis.
- Eje Vertical (Dinero): El eje vertical representa las cantidades de dinero. Las cantidades positivas representan flujos de efectivo entrantes (ingresos), mientras que las cantidades negativas representan flujos de efectivo salientes (gastos o costos).
- Líneas de Flujo: Las líneas de flujo conectan los valores de dinero a lo largo del tiempo. Por lo general, las líneas suben para representar ingresos y bajan para representar gastos.
- Puntos de Decisión: Los puntos de decisión marcan momentos importantes en el tiempo donde se toman decisiones o se producen cambios en los flujos de efectivo.
- Etiquetas y Notaciones: En cada punto de decisión o cambio en los flujos de efectivo, se colocan etiquetas con las cantidades de dinero asociadas. También se utilizan flechas y notaciones para indicar la dirección del flujo de efectivo (entrada o salida de dinero).
- Valor Final: Al final del período considerado, se suele incluir un valor final que puede representar el valor presente neto (VPN) o algún otro indicador financiero importante.
2.3
Tasa nominal y tasa efectiva
tasa de interes nominal
La tasa de interés anual que se capitaliza “m” veces en un año se llama tasa de interés “NOMINAL”, o simplemente tasa nominal.
La tasa de interés nominal es la tasa de interés convenida en una operación financiera y queda estipulada en los contratos; por esta razón también se llama tasa contractual.
tasa de interés nominal equivalente
- “Dos tasas de interés anuales con diferentes períodos de capitalización son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al final de un plazo dado”
- Por ejemplo, al invertir $1,000 al 25% capitalizable cada trimestre, el monto obtenido al final de dos años será $1,624.17. Si el dinero se invierte al 24.37% con capitalización quincenal, al final de dos años se tendrá un monto de $1,624.17.
- Como el monto compuesto es el mismo en ambos casos, se dice que las tasas de interés son equivalentes.
ieq= Tasa de interés anual nominal equivalente capitalizable q veces en un año.
i = Tasa de interés anual nominal capitalizable m veces en un año
+ INFO
ejemplo
i = 20%
m= 12
q = 2
ieq = [ (1 + 0.20/12)12/2 – 1]*2
ieq = [ (1 + 0.20/12)6 – 1]*2
ieq = (1.104260424 – 1)(2)
ieq = 0.208520848
ieq = 20.85% anual capitalizable cada semestre
Encuentre la tasa de interés nominal con capitalización semestral que sea equivalente a la tasa del 20% capitalizable cada mes.
Debemos encontrar la tasa nominal anual capitalizable cada semestre que genere el mismo monto compuesto que la tasa nominal anual del 20% capitalizable cada mes.
+ INFO
Tasa de Interés Anual Efectiva
Define...
La tasa efectiva se define como la tasa de interés capitalizable una vez al año que equivale a una tasa nominal i capitalizable “m” veces al año. La tasa efectiva es la tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un año debido a la capitalización de los intereses. La tasa efectiva refleja esos intereses que se van sumando al capital en cada período de capitalización, es decir refleja el efecto de la reinversión. A la tasa efectiva también se le llama rendimiento anual efectivo.
Fórmula
+ INFO
Ejemplo
2.4
capitalización continua y discreta
Capitalización
La operación que consiste en invertir o prestar un capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión o el préstamo, se llama Capitalización. Por el contrario, la operación que consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses se llama Amortización.
tipos de capitalización
Capitalización simple
Capitalización compuesta
Se caracterizan porque los intereses, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos, cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores.
Es un tipo de capitalización de recursos financieros que se caracteriza porque la variación que sufre el capital no es acumulativa. Los intereses que se generan en cada periodo no se agregan al capital para el cálculo de los nuevos intereses del siguiente periodo. De esta manera los intereses generados en cada uno de los periodos serán iguales.
Diferencias entre
capitalización simple y compuesta
La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses.
La capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo.
Capitalización continua
- Los intereses se reinvierten de manera continua.
- Los intereses generados serán mayores que la capitalización simple o compuesta.
Donde:
е: Función exponencial o lo conocido como número e. Su valor es igual a 2.71828182.
ic: Tasa de capitalización continua (expresada en términos nominales).
T: Número de periodos.
Vf: valor futuro
𝑉𝑝 : valor presente
+ INFO
Capitalización discreta
- Los intereses se calculan en intervalos iguales de tiempo (años, semestre, trimestre, meses, días)
- Es un método de interés compuesto (el capital inicial aumenta cada periodo).
- Se calculan los intereses y se añaden al principal en determinados momentos.
Donde: 𝑛: periodo de tiempo. 𝑉𝐹 : valor futuro
𝑉𝑝 : valor presente
𝑖 : tasa de interés.
+ INFO
2.5
valor presente, valor anual y valor futuro
recordando
Valor futuro
Valor presente
Es una manera de valorar activos y su cálculo consiste en descontar el flujo futuro a una tasa de rentabilidad ofrecida por alternativas de inversión comparables.
Es la cantidad de dinero que alcanzará una inversión en alguna fecha futura al ganar intereses a alguna tasa compuesta.
+ INFO
+ INFO
anualidad
Una anualidad es una serie de pagos periódicos. Como ejemplos de anualidades se tienen los depósitos regulares en una cuenta de ahorros, la mensualidad del automóvil, la hipoteca o los pagos de seguros, y pagos periódicos a una persona de un fondo de retiro.
+ INFO
suma de una anualidad
Aunque una anualidad puede variar en el importe en dólares, supóngase que una anualidad implica una serie de pagos iguales. También supóngase que todos los pagos se realizan al final de un periodo de capitalización.
+ INFO
Anualidad y su valor presente
Ejemplo
El valor presente de una anualidad es la cantidad de dinero actual que es equivalente a una serie de pagos iguales en el futuro.
Solución
+ INFO
Ejemplo
2.6
Gradientes
gradientes
Diferencia entre anualidades y gradientes
En matemáticas financieras, gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente.
Mientras que en el sistema de anualidades los pagos son iguales
en el sistema de gradientes los pagos aumentan o disminuyen con relación al pago anterior.
+ INFO
gradiente aritmético
Cuando la cantidad constante es positiva se genera el gradiente aritmético creciente
Cuando la cantidad constante es negativa se genera el gradiente aritmético decreciente
ejemplo
El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales que aumentan cada vez en $10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la máquina.
gradiente geométrico
Es una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente y el geométrico decreciente.
+ INFO
Ejemplo
Obtenga el valor presente y el valor futuro de una serie de cuotas semestrales crecientes en un 4% durante 5 años y medio suponiendo una tasa de interés del 12% y conociendo que la primera cuota es por $250.000
Muchas Gracias
Referencias
Utiliza este espacio para describir brevemente a tu equipo: cómo os llamáis y qué hacéis.
Ejemplo
Una persona ganó hace poco una lotería estatal. Los términos de la lotería son que el ganador recibirá pagos anuales de $20 000 al final de este año y cada uno de los tres años siguientes. Si el ganador pudiera invertir hoy el dinero con una tasa de 8% por año capitalizada anualmente, ¿cuál es el valor presente de los cuatro pagos?
El valor presente y futuro se relaciona con el concepto del valor del dinero en el tiempo. El valor de una suma de dinero hoy es mayor que el valor de la misma suma de dinero mañana, ¿por qué?, por el potencial del dinero en generar más dinero.
Ejemplo
Es decir desde el punto de vista financiero se está hablando del mismo capital en el sentido que un capital de $ 1500 dentro de 5 años es equivalente a uno de $ 1000 en el momento actual.
Valor futuro = 1000 (1 + 1 * 0,1) = 1100
Valor futuro = 1000 (1 + 2 * 0,1) = 1200
Valor futuro = 1000 (1 + 3 * 0,1) = 1300
Valor futuro = 1000 (1 + 4 * 0,1) = 1400
Valor futuro = 1000 (1 + 5 * 0,1) = 1500
Ejemplo
Una persona planea depositar $1,000 en un plan de ahorros exento de impuestos al final de este año y una suma igual al final del año siguiente. Si se espera ganar interés con una tasa de 6% por año capitalizada anualmente, ¿a cuánto aumentará la inversión en el momento del cuarto depósito?
Donde: VF: Valor futuro VP: Valor presente i: Intereses N: Tiempo
Fórmulas
Valor presente gradiente geométrico
Valor futuro gradiente geométrico
Valor presente gradiente geométrico infinito
Ejemplo
Solución
Los padres de una adolescente quieren depositar una suma de dinero que ganará interés con la tasa de 9% por año. Se utilizará el depósito para generar una serie de ocho pagos anuales de $2 500 comenzando al final de este año. Estos pagos se usarán para ayudar a financiar la educación universitaria de su hija. ¿Qué cantidad se debe depositar para lograr el objetivo? ¿Cuánto interés se ganará en este depósito?
Ejemplo
Suponga que se depositan $8 000 en una institución de crédito que paga un interés de 8% por año capitalizado trimestralmente.
Suponga que se quiere determinar la cantidad de dinero que se tendrá depositada al final de un año si se deja todo el interés en la cuenta de ahorros.
Para el cálculo del valor presente de la inversión es necesario conocer previamente el valor futuro así como la tasa de interés por período y el número total de períodos de capitalización.
Ejercicio
Un certificado de depósito de $10000 gana un interés de 8% por año capitalizado semestralmente. Complete la tabla siguiente respecto de la capitalización semestral. ¿Cuál es el interés total para el periodo de dos años?
Fórmulas
Valor presente gradiente aritmético
Valor futuro gradiente aritmético
Valor presente gradiente aritmético infinito
P = valor ò suma de dinero en un momento denotado como el presente, denominado el valor-presente; moneda.
F = valor o suma de dinero en algún tiempo futuro, denominado valor futuro; dinero
A = serie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin de periodo, denominadas valor equivalente por periodo o valor anual; dinero por año, dinero por mes
n = número de periodos de interés; años, meses, días
i = tasa de interés por periodo de interés; porcentaje anual, porcentaje mensual
t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días 21
Si un determinado capital se invierte a una tasa de interés capitalizable cada año, el monto compuesto al final del primer año es el mismo que el monto obtenido por interés simple a un año de plazo. Por tal motivo, la tasa efectiva anual puede también definirse como la tasa de interés simple que produce el mismo interés en un año que la tasa nominal capitalizable “m” veces al año.
Suponga que ganó la lotería y los funcionarios de la lotería le dan a elegir entre recibir un pago de suma total hoy o una serie de pagos al final de cada uno de los cinco años siguientes. Las dos alternativas se considerarían equivalentes (en el sentido monetario) si al invertir hoy la suma total pudiera generar (con interés acumulado) retiros anuales iguales a los cinco pagos parciales ofrecidos por los funcionarios de la lotería. Se supone que el depósito final agotará la inversión por completo.
Existen diferentes formas en que se pueden presentar las gradientes: Anticipadas: La fecha de pago se realiza al final de periodo de tiempo
Vencidas: La fecha de pago se realiza al comienzo del periodo de tiempo
Diferidas: Es aquel que se empieza a pagar después de un periodo de gracia
Perpetua: Su aplicación es perpetua, n tiende a infinito
- Se deben determinar las entradas y salidas de efectivo.
- Para la información financiera se prefiere utilizar los flujos de efectivo en lugar de las cifras contables, debido a que estos son los que reflejan la capacidad de la empresa para pagar cuentas o comprar activos.
Fórmula Tasa de Interés Anual Efectiva
La fórmula de la tasa efectiva se obtiene de la ecuación 5.3 haciendo que el valor de “q” sea igual a uno.
Ejemplo
Al usar las definiciones de las variables de la ecuación, se tiene
P =$5 000, i =0.10 por año y n = 3 años. Por consiguiente
I = ($5 000) (0.10) (3) = $1 500
La cantidad que se debe pagar es el capital más el interés acumulado o
A = P + I
$5 000 + $1 500 = $6 50
Una institución de crédito emitió un préstamo de $5 000 a tres años. Cobra interés con una tasa de 10% por año. Se debe pagar el capital más el interés al final del tercer año. Calcule el interés para el periodo de tres años. ¿Qué cantidad se pagará al final del tercer año?
- FLUJOS DE EFECTIVO ORDINARIOS: Consiste en una salida seguida por una serie de entradas de efectivo.
- FLUJOS DE EFECTIVO NO ORDINARIOS: Se dan entradas y salidas alternadas. Por ejemplo la compra de un activo genera un desembolso inicial y una serie de entradas, se repara y vuelve a generar flujos de efectivo positivos durante varios años.
- ANUALIDAD (A): Es una serie de flujos de efectivo iguales de fin de periodo (generalmente al final de cada año). Se da en los flujos de tipo ordinario.
- FLUJO MIXTO: Serie de flujos de efectivos no iguales cada año, y pueden ser del tipo ordinario o no ordinario.
Aunque una anualidad puede variar en el importe en dólares, supóngase que una anualidad implica una serie de pagos iguales. También supóngase que todos los pagos se realizan al final de un periodo de capitalización.
Solución
ejemplo
¿Cuál es el valor aproximado del dólar para dentro de 180 días a través de un forward con una devaluación del 1% y una tasa peso/dólar en spot de $ 1.790 por dólar? (La devaluación en el mercado de divisas colombiano, está dada en términos efectivos anuales, base 365).
VP = $ 1.790
I = 1%
n = 180 días
VF = ?
VF = 1.790 *(1 + 0.01) ^180/365
VF = 1.798,81De acuerdo con lo anterior, el dólar en 180 días estará en $ 1.798,81.
Ejemplo
¿Cuál es la tasa efectiva del dinero invertido a la tasa nominal del 21.4% capitalizable en forma trimestral?
- i = 21.4%
- m = 4 períodos de capitalización. (En un año hay 4 trimestres).
ie = (1 + 0.214/4)4 – 1
ie = 1.2317942 – 1 = 23.17% anual
Si una persona invierte su dinero al 21.4% anual capitalizable cada trimestre, la tasa de interés realmente ganada es del 23.17% ¿Porqué? Porque cada vez que hay un período de capitalización, aunque la tasa no varía, el capital después del primer período de capitalización ya incorpora un Capital mayor (suma los intereses) lo cual se traduce en mayores intereses para los períodos de capitalización sucesivos.
Es la tasa nominal equivalente que estábamos buscando, aquella con capitalización semestral, puesto que la mensual ya era un dato dado.
Comparación
Calcular el monto que se tendrá al cabo de un año, por una inversión de $ 1,000,000 hoy, según las siguientes tasas:
30% ea =1,300,000
30% NA/SV =1,322,500
30% NA/TV =1,335,469
30% NA/MV =1,344,888
30% NA/dV = 1,349,690
30% NA/Cap Continua. =1,349,859
Razonamiento
¿Qué tasa de interés “y” capitalizable en “y” períodos me dará el mismo Monto Compuesto que una tasa de interés “x” capitalizable en “x” períodos?
ejemplo
Una persona deposita hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga un interés del 12% anual capitalizable continuamente. Si el saldo a favor del inversionista es de $ 15,300,000 dentro de 3 años, hallar la cantidad depositada originalmente.
𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ⋅ 𝑒^( −𝑖𝑐⋅𝑇)
𝑉𝑃 = 15,300,000 ⋅ 𝑒^( −0.12×3 )
𝑉𝑃 = 10,674,447
Ejercicios
1.- ¿A qué tasa de interés anual estuvo colocado un capital de 4,000 para que en 6 años produjera un interés de 4800?
2.- Durante que tiempo será́ necesario colocar la cantidad de 5,200 para que al 22% anual produzca 2,800 de interés?
3.- Una empresa obtuvo un préstamo por 10,000 dlls por un período de 8 años a una tasa del 12% anual. ¿Cuál será́ el interés a pagar al término del período y el monto final?
Unidad 2
Ivette Miramontes
Created on October 5, 2025
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Unidad 2 Valor del dinero en el tiempo
Ph.D Ivette Miramontes
Índice
Introducción
Interés simple y compuesto
Equivalencia y diagramas de flujo
Tasa nominal y tasa efectiva
Capitalización continua y discreta
Índice
Valor presente, valor anual y valor futuro
Gradientes
Introducción
Valor del dinero en el tiempo
El valor presente y futuro se relaciona con el concepto del valor del dinero en el tiempo. El valor de una suma de dinero hoy es mayor que el valor de la misma suma de dinero mañana, ¿por qué?, por el potencial del dinero en generar más dinero.
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VALOR PRESENTE
VALOR FUTURO
El valor presente de una inversión es cuando calculamos el valor actual que tendrá una determinada cantidad que recibiremos o pagaremos en un futuro, en el periodo acordado.
El valor futuro es el valor alcanzado por un determinado capital al final del período determinado.
2.1
Interés simple y compuesto
interés simple
El interés es una cuota que se paga por usar dinero prestado o invertido. Pagamos interés sobre las hipotecas por utilizar el dinero del banco. Usamos el dinero del banco para pagar a un contratista o a una persona a quien compramos una casa. De modo similar, el banco nos paga interés sobre el dinero invertido en cuentas de ahorros o certificados de depósito porque tiene acceso temporal a nuestro dinero.
Otros conceptos
Tasa de interés
Capital
La cantidad de dinero que se presta o invierte recibe el nombre de capital. Por lo general, se paga el interés en proporción al capital y el tiempo que se usa el dinero.
La tasa de interés especifica la tasa con que se acumula el interés. Normalmente, la tasa de interés se expresa como un porcentaje del capital por periodo; por ejemplo, 18% por año o 1.5% por mes.
interés simple
El interés que se paga sólo sobre la cantidad del capital se llama interés simple. Por lo regular, se asocia el interés simple a préstamos o inversiones que se hacen a corto plazo. El cálculo del interés simple se basa en la fórmula siguiente: Interés simple = capital x tasa de interés por periodo x número de periodos
+ INFO
EJERCICIO
Una compañía otorgó un préstamo de $90 000 a cinco años al nuevo vicepresidente para financiar un proyecto de mejora de vivienda. Los términos del préstamo son que se debe pagar en su totalidad al final de cinco años con un interés simple calculado con una tasa de 8% por año. Determine el interés que se debe pagar sobre el préstamo en el periodo de cinco años.
Fórmula de Interés simple
Despejando i
Despejando n
Despejando P
Fórmula
Ejemplo
Hallar el capital inicial que invertido con una tasa de interés del 5% a tres años, genera un interés de 3162 dólares
Interés compuesto
Un procedimiento común para calcular el interés, consiste en capitalizar el interés. En este procedimiento se reinvierte el interés. Se suma al capital el interés ganado en cada periodo con el propósito de calcular el interés del periodo siguiente. La cantidad del interés calculado mediante este procedimiento se conoce como interés compuesto.
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2.2
equivalencia y diagrama de flujo
equivalencia
La equivalencia financiera establece que dos sumas de dinero invertidas en fechas distintas, son equivalentes cuando, analizados en un mismo momento o tiempo conservan la misma cuantía. Si al ser valorados ambos capitales no cumplen la equivalencia o no son iguales, una de las dos sumas de dinero tendrá preferencia sobre la otra y por lo tanto será el elegido.
ejemplo
La fusión del valor del dinero en el tiempo y el tipo de interés permite desarrollar el concepto de equivalencia financiera, el cual significa que diferentes sumas de dinero en momentos diferentes pueden tener el mismo valor adquisitivo, es decir el capital equivalente a $ 1.000 a un 10% anual en un año será por ejemplo $ 1.100. Es decir, como en el ejemplo siguiente los capitales que tienen diferente valor son los mismos en distintos periodos de tiempo esto sería una equivalencia financiera debido a que el valor actual es igual a los valores futuros ubicados en tiempos diferentes, esta equivalencia es lo que recibe el nombre de equivalencia financiera:
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Diagrama de Flujo de efectivo
Evaluar las alternativas de gastos de capital
Esquema
Clasificación de Los esquemas de flujo de efectivo
Un diagrama de flujo efectivo es, simplemente, la representación gráfica de los flujos de efectivo dibujados en una escala de tiempo. El diagrama debe representar el enunciado de un problema e incluir los datos y los resultados a encontrar. Es decir, después de dibujar el diagrama de flujo de efectivo, una persona ajena al problema debe de ser capaz de solucionarlo mediante el diagrama.
Clasifica
La simbología utilizada.
Simbología
Flujo de caja.
Flujo
Componentes Básicos del Diagrama de Flujo.
2.3
Tasa nominal y tasa efectiva
tasa de interes nominal
La tasa de interés anual que se capitaliza “m” veces en un año se llama tasa de interés “NOMINAL”, o simplemente tasa nominal. La tasa de interés nominal es la tasa de interés convenida en una operación financiera y queda estipulada en los contratos; por esta razón también se llama tasa contractual.
tasa de interés nominal equivalente
ieq= Tasa de interés anual nominal equivalente capitalizable q veces en un año. i = Tasa de interés anual nominal capitalizable m veces en un año
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ejemplo
i = 20% m= 12 q = 2 ieq = [ (1 + 0.20/12)12/2 – 1]*2 ieq = [ (1 + 0.20/12)6 – 1]*2 ieq = (1.104260424 – 1)(2) ieq = 0.208520848 ieq = 20.85% anual capitalizable cada semestre
Encuentre la tasa de interés nominal con capitalización semestral que sea equivalente a la tasa del 20% capitalizable cada mes. Debemos encontrar la tasa nominal anual capitalizable cada semestre que genere el mismo monto compuesto que la tasa nominal anual del 20% capitalizable cada mes.
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Tasa de Interés Anual Efectiva
Define...
La tasa efectiva se define como la tasa de interés capitalizable una vez al año que equivale a una tasa nominal i capitalizable “m” veces al año. La tasa efectiva es la tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un año debido a la capitalización de los intereses. La tasa efectiva refleja esos intereses que se van sumando al capital en cada período de capitalización, es decir refleja el efecto de la reinversión. A la tasa efectiva también se le llama rendimiento anual efectivo.
Fórmula
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Ejemplo
2.4
capitalización continua y discreta
Capitalización
La operación que consiste en invertir o prestar un capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión o el préstamo, se llama Capitalización. Por el contrario, la operación que consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses se llama Amortización.
tipos de capitalización
Capitalización simple
Capitalización compuesta
Se caracterizan porque los intereses, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos, cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores.
Es un tipo de capitalización de recursos financieros que se caracteriza porque la variación que sufre el capital no es acumulativa. Los intereses que se generan en cada periodo no se agregan al capital para el cálculo de los nuevos intereses del siguiente periodo. De esta manera los intereses generados en cada uno de los periodos serán iguales.
Diferencias entre
capitalización simple y compuesta
La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses. La capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo.
Capitalización continua
Donde: е: Función exponencial o lo conocido como número e. Su valor es igual a 2.71828182. ic: Tasa de capitalización continua (expresada en términos nominales). T: Número de periodos. Vf: valor futuro 𝑉𝑝 : valor presente
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Capitalización discreta
Donde: 𝑛: periodo de tiempo. 𝑉𝐹 : valor futuro 𝑉𝑝 : valor presente 𝑖 : tasa de interés.
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2.5
valor presente, valor anual y valor futuro
recordando
Valor futuro
Valor presente
Es una manera de valorar activos y su cálculo consiste en descontar el flujo futuro a una tasa de rentabilidad ofrecida por alternativas de inversión comparables.
Es la cantidad de dinero que alcanzará una inversión en alguna fecha futura al ganar intereses a alguna tasa compuesta.
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+ INFO
anualidad
Una anualidad es una serie de pagos periódicos. Como ejemplos de anualidades se tienen los depósitos regulares en una cuenta de ahorros, la mensualidad del automóvil, la hipoteca o los pagos de seguros, y pagos periódicos a una persona de un fondo de retiro.
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suma de una anualidad
Aunque una anualidad puede variar en el importe en dólares, supóngase que una anualidad implica una serie de pagos iguales. También supóngase que todos los pagos se realizan al final de un periodo de capitalización.
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Anualidad y su valor presente
Ejemplo
El valor presente de una anualidad es la cantidad de dinero actual que es equivalente a una serie de pagos iguales en el futuro.
Solución
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Ejemplo
2.6
Gradientes
gradientes
Diferencia entre anualidades y gradientes
En matemáticas financieras, gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente.
Mientras que en el sistema de anualidades los pagos son iguales
en el sistema de gradientes los pagos aumentan o disminuyen con relación al pago anterior.
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gradiente aritmético
Cuando la cantidad constante es positiva se genera el gradiente aritmético creciente
Cuando la cantidad constante es negativa se genera el gradiente aritmético decreciente
ejemplo
El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales que aumentan cada vez en $10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la máquina.
gradiente geométrico
Es una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente y el geométrico decreciente.
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Ejemplo
Obtenga el valor presente y el valor futuro de una serie de cuotas semestrales crecientes en un 4% durante 5 años y medio suponiendo una tasa de interés del 12% y conociendo que la primera cuota es por $250.000
Muchas Gracias
Referencias
Utiliza este espacio para describir brevemente a tu equipo: cómo os llamáis y qué hacéis.
Ejemplo
Una persona ganó hace poco una lotería estatal. Los términos de la lotería son que el ganador recibirá pagos anuales de $20 000 al final de este año y cada uno de los tres años siguientes. Si el ganador pudiera invertir hoy el dinero con una tasa de 8% por año capitalizada anualmente, ¿cuál es el valor presente de los cuatro pagos?
El valor presente y futuro se relaciona con el concepto del valor del dinero en el tiempo. El valor de una suma de dinero hoy es mayor que el valor de la misma suma de dinero mañana, ¿por qué?, por el potencial del dinero en generar más dinero.
Ejemplo
Es decir desde el punto de vista financiero se está hablando del mismo capital en el sentido que un capital de $ 1500 dentro de 5 años es equivalente a uno de $ 1000 en el momento actual. Valor futuro = 1000 (1 + 1 * 0,1) = 1100 Valor futuro = 1000 (1 + 2 * 0,1) = 1200 Valor futuro = 1000 (1 + 3 * 0,1) = 1300 Valor futuro = 1000 (1 + 4 * 0,1) = 1400 Valor futuro = 1000 (1 + 5 * 0,1) = 1500
Ejemplo
Una persona planea depositar $1,000 en un plan de ahorros exento de impuestos al final de este año y una suma igual al final del año siguiente. Si se espera ganar interés con una tasa de 6% por año capitalizada anualmente, ¿a cuánto aumentará la inversión en el momento del cuarto depósito?
Donde: VF: Valor futuro VP: Valor presente i: Intereses N: Tiempo
Fórmulas
Valor presente gradiente geométrico
Valor futuro gradiente geométrico
Valor presente gradiente geométrico infinito
Ejemplo
Solución
Los padres de una adolescente quieren depositar una suma de dinero que ganará interés con la tasa de 9% por año. Se utilizará el depósito para generar una serie de ocho pagos anuales de $2 500 comenzando al final de este año. Estos pagos se usarán para ayudar a financiar la educación universitaria de su hija. ¿Qué cantidad se debe depositar para lograr el objetivo? ¿Cuánto interés se ganará en este depósito?
Ejemplo
Suponga que se depositan $8 000 en una institución de crédito que paga un interés de 8% por año capitalizado trimestralmente. Suponga que se quiere determinar la cantidad de dinero que se tendrá depositada al final de un año si se deja todo el interés en la cuenta de ahorros.
Para el cálculo del valor presente de la inversión es necesario conocer previamente el valor futuro así como la tasa de interés por período y el número total de períodos de capitalización.
Ejercicio
Un certificado de depósito de $10000 gana un interés de 8% por año capitalizado semestralmente. Complete la tabla siguiente respecto de la capitalización semestral. ¿Cuál es el interés total para el periodo de dos años?
Fórmulas
Valor presente gradiente aritmético
Valor futuro gradiente aritmético
Valor presente gradiente aritmético infinito
P = valor ò suma de dinero en un momento denotado como el presente, denominado el valor-presente; moneda. F = valor o suma de dinero en algún tiempo futuro, denominado valor futuro; dinero A = serie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin de periodo, denominadas valor equivalente por periodo o valor anual; dinero por año, dinero por mes n = número de periodos de interés; años, meses, días i = tasa de interés por periodo de interés; porcentaje anual, porcentaje mensual t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días 21
Si un determinado capital se invierte a una tasa de interés capitalizable cada año, el monto compuesto al final del primer año es el mismo que el monto obtenido por interés simple a un año de plazo. Por tal motivo, la tasa efectiva anual puede también definirse como la tasa de interés simple que produce el mismo interés en un año que la tasa nominal capitalizable “m” veces al año.
Suponga que ganó la lotería y los funcionarios de la lotería le dan a elegir entre recibir un pago de suma total hoy o una serie de pagos al final de cada uno de los cinco años siguientes. Las dos alternativas se considerarían equivalentes (en el sentido monetario) si al invertir hoy la suma total pudiera generar (con interés acumulado) retiros anuales iguales a los cinco pagos parciales ofrecidos por los funcionarios de la lotería. Se supone que el depósito final agotará la inversión por completo.
Existen diferentes formas en que se pueden presentar las gradientes: Anticipadas: La fecha de pago se realiza al final de periodo de tiempo Vencidas: La fecha de pago se realiza al comienzo del periodo de tiempo Diferidas: Es aquel que se empieza a pagar después de un periodo de gracia Perpetua: Su aplicación es perpetua, n tiende a infinito
Fórmula Tasa de Interés Anual Efectiva
La fórmula de la tasa efectiva se obtiene de la ecuación 5.3 haciendo que el valor de “q” sea igual a uno.
Ejemplo
Al usar las definiciones de las variables de la ecuación, se tiene P =$5 000, i =0.10 por año y n = 3 años. Por consiguiente I = ($5 000) (0.10) (3) = $1 500 La cantidad que se debe pagar es el capital más el interés acumulado o A = P + I $5 000 + $1 500 = $6 50
Una institución de crédito emitió un préstamo de $5 000 a tres años. Cobra interés con una tasa de 10% por año. Se debe pagar el capital más el interés al final del tercer año. Calcule el interés para el periodo de tres años. ¿Qué cantidad se pagará al final del tercer año?
Aunque una anualidad puede variar en el importe en dólares, supóngase que una anualidad implica una serie de pagos iguales. También supóngase que todos los pagos se realizan al final de un periodo de capitalización.
Solución
ejemplo
¿Cuál es el valor aproximado del dólar para dentro de 180 días a través de un forward con una devaluación del 1% y una tasa peso/dólar en spot de $ 1.790 por dólar? (La devaluación en el mercado de divisas colombiano, está dada en términos efectivos anuales, base 365). VP = $ 1.790 I = 1% n = 180 días VF = ? VF = 1.790 *(1 + 0.01) ^180/365 VF = 1.798,81De acuerdo con lo anterior, el dólar en 180 días estará en $ 1.798,81.
Ejemplo
¿Cuál es la tasa efectiva del dinero invertido a la tasa nominal del 21.4% capitalizable en forma trimestral?
- i = 21.4%
- m = 4 períodos de capitalización. (En un año hay 4 trimestres).
ie = (1 + 0.214/4)4 – 1 ie = 1.2317942 – 1 = 23.17% anualSi una persona invierte su dinero al 21.4% anual capitalizable cada trimestre, la tasa de interés realmente ganada es del 23.17% ¿Porqué? Porque cada vez que hay un período de capitalización, aunque la tasa no varía, el capital después del primer período de capitalización ya incorpora un Capital mayor (suma los intereses) lo cual se traduce en mayores intereses para los períodos de capitalización sucesivos.
Es la tasa nominal equivalente que estábamos buscando, aquella con capitalización semestral, puesto que la mensual ya era un dato dado.
Comparación
Calcular el monto que se tendrá al cabo de un año, por una inversión de $ 1,000,000 hoy, según las siguientes tasas: 30% ea =1,300,000 30% NA/SV =1,322,500 30% NA/TV =1,335,469 30% NA/MV =1,344,888 30% NA/dV = 1,349,690 30% NA/Cap Continua. =1,349,859
Razonamiento
¿Qué tasa de interés “y” capitalizable en “y” períodos me dará el mismo Monto Compuesto que una tasa de interés “x” capitalizable en “x” períodos?
ejemplo
Una persona deposita hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga un interés del 12% anual capitalizable continuamente. Si el saldo a favor del inversionista es de $ 15,300,000 dentro de 3 años, hallar la cantidad depositada originalmente.
𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ⋅ 𝑒^( −𝑖𝑐⋅𝑇) 𝑉𝑃 = 15,300,000 ⋅ 𝑒^( −0.12×3 ) 𝑉𝑃 = 10,674,447
Ejercicios
1.- ¿A qué tasa de interés anual estuvo colocado un capital de 4,000 para que en 6 años produjera un interés de 4800? 2.- Durante que tiempo será́ necesario colocar la cantidad de 5,200 para que al 22% anual produzca 2,800 de interés? 3.- Una empresa obtuvo un préstamo por 10,000 dlls por un período de 8 años a una tasa del 12% anual. ¿Cuál será́ el interés a pagar al término del período y el monto final?