FUNÇÃO QUADRÁTICA E PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Aplicações da função quadrática na vida real
INÍCIO
Professor: João Pedro Fernandes
Disciplina: Matemática (10º ano)
íNDice
4. Prob. de Otimização
1. Introdução
2. Função Quadrática
5. Quiz
3. Calculadora Desmos
ÍndIce
1. Introdução
Muitos problemas surgidos em contextos reais, em domínios como a Engenharia, Física, Economia, Finanças ou Desporto , podem ser modelados matematicamente através de funções quadráticas, incluindo problemas de otimização, em que se pretende determinar um valor máximo ou mínimo, sujeito a uma condição (restrição) que deve ser verificada qualquer que seja a solução encontrada. Depois de uma revisão dos conceitos essenciais relativos às funções quadráticas, será descrito o processo de resolução de problemas deste tipo, considerando situações em que o objetivo é determinar o valor da área máxima de um retângulo, com recurso à tecnologia gráfica, nomeadamente a calculadora online Desmos.
Seguinte
ÍndIce
2. A função quadrática
Nos videos seguintes (canal Professor Ferretto) pode rever a definição de função quadrática, como é o gráfico desse tipo de função, quais são as suas propriedades e como determinar os seus zeros.
Video 1
Video 3
Video 2
Video 4
Video 6
Video 5
Se considerar necessário resolva os exercícios apresentados nos videos recorrendo ao sistema Geogebra.
Geogebra
Geogebra
Seguinte
ÍndIce
2. A função quadrática
Uma função quadrática f , expressa na forma canónica por f(x)=ax2 +bx+c , onde a, b e c são números reais e a ≠ 0 , representada graficamente pela parábola
Recorde que:
A(xa , 0)
B(xb , 0)
C(xc , yc)
D(0 , yd)
pode ser expressa:
- na forma fatorizada por f(x)=a(x-xa)(x-xb)
- na forma de vértice por f(x)=a(x-xc)2+yc
Seguinte
ÍndIce
3. A Calculadora gráfica Desmos
Uma função quadrática pode ser estudada graficamente com recurso à calculadora gráfica online Desmos. Nos videos seguintes pode rever os procedimentos básicos a seguir para esse efeito.
Desmos: Vertex, Axis of Symmetry and Zeros
Quadratic Function Using Desmos
Using desmos to graph quadratic functions and find attributes
Desmos
Seguinte
ÍndIce
4. Problemas de Otimização
Na vida real surgem regularmente problemas de otimização relativos ao cálculo de áreas, envolvendo a função quadrática. Discute-se seguidamente a resolução de problemas desse tipo em três situações distintas.
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Text button
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Nos videos seguintes é discutida a resolução de problemas de otimização relativos ao cálculo de áreas de terrenos, envolvendo a função quadrática. Visualize os videos e seguidamente resolva os problemas 1 a 4. Compare os resultados que obteve com a resolução apresentada para cada problema.
Video 2
Video 1
Video 4
Video 3
Problema 3
Problema 1
Problema 4
Problema 2
Secção 4
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Desmos
Problema 1
Pretende-se vedar um terreno junto de um rio, de forma a construir uma cerca retangular para animais, conforme a figura mostra. Um dos lados da cerca fica junto ao rio, não sendo necessário vedá-lo. Para vedar os outros três lados dispõe-se de 300 metros de rede. Determine as dimensões da cerca que veda a área máxima.
Resolução P1
Retroceder
Problema 1
4.1 Resolução do problema 1 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Etapa 2
Bk
Etapa 3
Etapa 4
Problema 1
4.1 Resolução do problema 1
Etapa 4
Etapa 5
Problema 1
4.1 Resolução do problema 1
Etapa 5
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Problema 2
Pretende-se construir uma cerca retangular para animais, dividida em três retângulos iguais, conforme a figura mostra. Para vedar o terreno dispõe-se de 360 metros de rede.Determine as dimensões da cerca que veda a área máxima de terreno.
Desmos
Resolução P2
Retroceder
Problema 2
4.2 Resolução do problema 2 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Etapa 2
Bk
Etapa 3
Etapa 4
Problema 2
4.1 Resolução do problema 2
Etapa 4
Etapa 5
Problema 2
4.1 Resolução do problema 2
Etapa 5
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Problema 3
Desmos
Pretende-se construir uma cerca retangular para animais, dividida em quatro retângulos iguais, conforme a figura mostra. Para vedar o terreno dispõe-se de 130 metros de rede. Um dos lados da cerca fica junto a um estábulo, não sendo necessário vedá-lo. Determine as dimensões da cerca que veda a área máxima de terreno.
Resolução P3
Retroceder
Problema 3
4.2 Resolução do problema 3 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Etapa 2
Bk
Etapa 3
Etapa 4
Problema 3
4.1 Resolução do problema 3
Etapa 4
Etapa 5
Problema 3
4.1 Resolução do problema 3
Etapa 5
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Problema 4
Desmos
Pretende-se vedar parte de um terreno, de forma a construir um jardim, em que os lados consecutivos são perpendiculares, conforme a figura mostra. Para esse efeito dispõe-se de 100 metros de rede.Dois lados do jardim confinam com o muro, não sendo necessário vedá-los. Determine a área máxima do jardim.
Resolução P4
Retroceder
Problema 4
4.2 Resolução do problema 4 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapas 2 e 3
Problema 4
4.1 Resolução do problema 4
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Problema 4
4.1 Resolução do problema 4
Etapa 4
Etapa 5
Problema 4
4.1 Resolução do problema 4
Etapa 5
ÍndIce
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
Nos videos seguintes é discutida a resolução de problemas de otimização relativos ao cálculo da secção retangular de uma calha de escoamento, envolvendo a função quadrática. Visualize os videos e seguidamente resolva os problemas 5 a 7. Compare os resultados que obteve com a resolução apresentada para cada problema.
Problema 5
Problema 6
Problema 7
Application of quadratic equation to find maximum cross sectional area of a roof gutter
Rain Gutter problem
Secção 4
ÍndIce
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
Desmos
Problema 5
Para transportar água desde um tanque até uma zona de cultivo vai ser construída uma conduta, com secção transversal retangular, a partir de uma placa metálica retangular, com 0.6 metros de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, conforme as imagens a seguir. Determine as dimensões da secção da conduta que permitem obter a capacidade máxima de escoamento desta.
Resolução P5
Retroceder
Problema 5
4.2 Resolução do problema 5 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapa 2
Etapa 3
Problema 5
4.1 Resolução do problema 5
Etapa 3
Etapa 4
Problema 5
4.1 Resolução do problema 5
Etapa 4
Etapa 5
Problema 5
4.1 Resolução do problema 5
Etapa 5
ÍndIce
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
Problema 6
Uma conduta de água, com a secção transversal retangular, vai ser construída a partir de uma placa metálica retangular com 40 centímetros de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, conforme a imagem a seguir. Determine as dimensões da secção da conduta que permitem obter a capacidade máxima de escoamento desta.
Desmos
Resolução P6
Retroceder
4.2 Resolução do problema 6 (5 etapas)
Problema 6
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapa 2
Etapa 3
Problema 6
4.1 Resolução do problema 6
Etapa 3
Etapa 4
Problema 6
4.1 Resolução do problema 6
Etapa 4
Etapa 5
Problema 6
4.1 Resolução do problema 6
Etapa 5
ÍndIce
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
Problema 7
Desmos
Uma conduta de água, com a secção transversal retangular, vai ser construída a partir de uma placa metálica retangular com 40 cm de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, como é sugerido no esquema seguinte. Determine as dimensões da secção da conduta que permitem obter a capacidade máxima de escoamento desta.
Resolução P7
Retroceder
Problema 7
4.2 Resolução do problema 7 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapa 2
Etapa 3
Problema 7
4.1 Resolução do problema 7
Etapa 3
Etapa 4
Problema 7
4.1 Resolução do problema 7
Etapa 4
Etapa 5
Problema 7
4.1 Resolução do problema 7
Etapa 5
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
Nas duas aplicações do Geogebra seguintes pode visualizar os retângulos que é possível inscrever num triângulo retângulo, de cada uma das formas indicadas, e identificar as dimensões do retângulo com a maior área possível.
Recorde que: Um retângulo pode ser inscrito num triângulo retângulo de duas formas, como mostra a figura:
• Dois lados do retângulo estão sobre os catetos e um vértice do retângulo está sobre a hipotenusa (retângulo [APQR] ).
• Um dos lados do retângulo está sobre a hipotenusa e os vértices do lado oposto estão sobre os catetos (retângulo [PVUT] ).
Geogebra
ÍndIce
Geogebra
Seguinte
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
Nos videos seguintes é discutida a resolução de problemas de otimização relativos ao cálculo da área de um retângulo inscrito num triângulo retângulo, envolvendo a função quadrática. Visualize os videos e seguidamente resolva os problemas 8 e 9. Compare os resultados que obteve com a resolução dos problemas apresentada.
Maximum Area of Rectangle Inscribed in a Triangle
ACHE a ÁREA MÁXIMA do RETÂNGULO dentro do Triângulo
Exercícios de Otimização - Funções Quadráticas
Problema 8
Problema 9
ÍndIce
Área máxima de um retângulo inscrito em um triângulo retângulo.
Como calcular a área máxima de um retângulo inscrito em um triângulo retângulo.
Secção 4
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
Desmos
Problema 8
Na figura estão representados um triângulo retângulo isósceles [ABC] , em que os catetos medem 7 cm , e um retângulo [BQPR] , inscrito no triângulo, com dois lados sobre os catetos e um vértice sobre a hipotenusa. Determine as dimensões do retângulo com a área máxima.
ÍndIce
Resolução P8
Retroceder
Problema 8
4.2 Resolução do problema 8 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapas 2 e 3
Problema 8
4.1 Resolução do problema 8
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Problema 8
4.1 Resolução do problema 8
Etapa 4
Etapa 5
Problema 8
4.1 Resolução do problema 8
Etapa 5
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
Problema 9
Desmos
Na figura estão representados um triângulo retângulo o isósceles [ABC] , em que os catetos medem 30 cm , e um retângulo [JLMN] , inscrito no triângulo, com um dos lados sobre a hipotenusa e um vértice sobre cada um dos catetos. Determine as dimensões do retângulo com a área máxima.
ÍndIce
Resolução P9
Retroceder
Problema 9
4.2 Resolução do problema 9 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapas 2 e 3
Problema 9
4.1 Resolução do problema 9
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Problema 9
4.1 Resolução do problema 9
Etapa 4
Etapa 5
Problema 9
4.1 Resolução do problema 9
Etapa 5
ÍndIce
5. Quiz
Verifique os seus conhecimentos respondendo às 9 questões seguintes
INÍCIO
Pretende-se construir uma cerca retangular, dividida em dois retângulos iguais, como a figura mostra. Para vedar o terreno dispõe-se de 258 metros de rede. As dimensões da cerca que veda a área máxima de terreno são:
32.25 m e 43 m
16.25 m e 21.5 m
62 m e 50.4 m
06:00
Questão 2
Questão 1/9
ACERTOU!!
Questão 2
ERRADO!!
Tentar Novamente
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Pretende-se construir uma cerca retangular, dividida em três retângulos iguais, como a figura mostra. Para vedar o terreno dispõe-se de 300 metros de rede. A área máxima de terreno que é possível vedar é de:
2812.5 m2
1600 m2
3014.25 m2
06:00
Questão 3
Questão 2/9
ACERTOU!!
Questão 3
ERRADO!!
Tentar Novamente
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Pretende-se construir uma cerca retangular para animais, dividida em três retângulos iguais, conforme a figura mostra. Dispõe-se para esse efeito de 162 metros de rede. Um dos lados da cerca fica junto a um rio, não sendo necessário vedá-lo. Determine as dimensões da cerca que veda a área máxima de terreno.
19 m e 29 m
32.4 m e 18.5 m
20.25 m e 27 m
06:00
Questão 4
Questão 3/9
ACERTOU!!
Questão 4
ERRADO!!
Tentar Novamente
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Pretende-se vedar parte de um terreno, de forma a construir um jardim, em que os lados consecutivos são perpendiculares, conforme a figura mostra. Para esse efeito dispõe-se de 100 metros de rede. Três lados do jardim confinam com um lago não sendo necessário vedá-los. A área máxima do jardim é de:
1560 m2
1650 m2
1600 m2
06:00
Questão 5
Questão 4/9
ACERTOU!!
Questão 5
ERRADO!!
Tentar Novamente
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Na figura estão representados um triângulo retângulo isósceles [PQR] , em que os catetos medem 26 cm , e um retângulo [RSTU] , inscrito no triângulo, com dois lados sobre os catetos e um vértice sobre a hipotenusa. A área máxima do retângulo é:
169 m2
133 m2
186 m2
06:00
Questão 6
Questão 5/9
ACERTOU!!
Questão 6
ERRADO!!
Tentar Novamente
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Na figura estão representados um triângulo retângulo isósceles [RPQ] , em que os catetos medem 39cm , e um retângulo [RSTU] , inscrito no triângulo, com dois lados sobre os catetos e um vértice sobre a hipotenusa. A área máxima do retângulo é:
193.25 cm2
160.5 m2
380.25 cm2
06:00
Questão 7
Questão 6/9
ACERTOU!!
Questão 7
ERRADO!!
Tentar Novamente
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This paragraph is ready to be filled with incredible creativity, experiences, and stories.
Na figura estão representados um triângulo retângulo isósceles [ABC] , em que os catetos medem 25 cm , e um retângulo [JLMN] , inscrito no triângulo, com um dos lados sobre a hipotenusa e um vértice sobre cada um dos catetos. A área máxima do retângulo é:
152.5 cm2
125 cm2
212.5 cm2
06:00
Questão 8
Questão 7/9
ACERTOU!!
Questão 8
ERRADO!!
Tentar Novamente
Uma conduta de água, com a secção transversal retangular, vai ser construída a partir de uma placa metálica retangular com 0.8 metros de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, como mostra a imagem. As dimensões da secção da conduta que permitem obter a capacidade máxima de escoamento são:
0.4 m e 0.2 m
0.5 m e 0.15 m
0.6 m e 0.1 m
06:00
Questão 9
Questão 8/9
ACERTOU!!
Questão 9
ERRADO!!
Tentar Novamente
This paragraph is ready to be filled with incredible creativity, experiences, and stories.
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Uma conduta de água, com a secção transversal retangular, vai ser construída a partir de uma placa metálica retangular com 76 cm de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, como é sugerido na imagem. A área da secção da conduta que permite obter a capacidade máxima de escoamento é:
This paragraph is ready to be filled with incredible creativity, experiences, and stories.
238 cm2
361 cm2
304 cm2
06:00
FIM
Questão 9/9
ACERTOU!!
FIM
ERRADO!!
Tentar Novamente
Indíce
Função Quadrática e Problemas de Otimização
João Fernandes
Created on September 26, 2025
Resolução de problemas de maximização de áreas envolvendo a função quadrática (Matemática 10º ano - Funções/função quadrática)
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Transcript
FUNÇÃO QUADRÁTICA E PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Aplicações da função quadrática na vida real
INÍCIO
Professor: João Pedro Fernandes
Disciplina: Matemática (10º ano)
íNDice
4. Prob. de Otimização
1. Introdução
2. Função Quadrática
5. Quiz
3. Calculadora Desmos
ÍndIce
1. Introdução
Muitos problemas surgidos em contextos reais, em domínios como a Engenharia, Física, Economia, Finanças ou Desporto , podem ser modelados matematicamente através de funções quadráticas, incluindo problemas de otimização, em que se pretende determinar um valor máximo ou mínimo, sujeito a uma condição (restrição) que deve ser verificada qualquer que seja a solução encontrada. Depois de uma revisão dos conceitos essenciais relativos às funções quadráticas, será descrito o processo de resolução de problemas deste tipo, considerando situações em que o objetivo é determinar o valor da área máxima de um retângulo, com recurso à tecnologia gráfica, nomeadamente a calculadora online Desmos.
Seguinte
ÍndIce
2. A função quadrática
Nos videos seguintes (canal Professor Ferretto) pode rever a definição de função quadrática, como é o gráfico desse tipo de função, quais são as suas propriedades e como determinar os seus zeros.
Video 1
Video 3
Video 2
Video 4
Video 6
Video 5
Se considerar necessário resolva os exercícios apresentados nos videos recorrendo ao sistema Geogebra.
Geogebra
Geogebra
Seguinte
ÍndIce
2. A função quadrática
Uma função quadrática f , expressa na forma canónica por f(x)=ax2 +bx+c , onde a, b e c são números reais e a ≠ 0 , representada graficamente pela parábola
Recorde que:
A(xa , 0)
B(xb , 0)
C(xc , yc)
D(0 , yd)
pode ser expressa:
- na forma fatorizada por f(x)=a(x-xa)(x-xb)
- na forma de vértice por f(x)=a(x-xc)2+yc
Seguinte
ÍndIce
3. A Calculadora gráfica Desmos
Uma função quadrática pode ser estudada graficamente com recurso à calculadora gráfica online Desmos. Nos videos seguintes pode rever os procedimentos básicos a seguir para esse efeito.
Desmos: Vertex, Axis of Symmetry and Zeros
Quadratic Function Using Desmos
Using desmos to graph quadratic functions and find attributes
Desmos
Seguinte
ÍndIce
4. Problemas de Otimização
Na vida real surgem regularmente problemas de otimização relativos ao cálculo de áreas, envolvendo a função quadrática. Discute-se seguidamente a resolução de problemas desse tipo em três situações distintas.
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Text button
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Nos videos seguintes é discutida a resolução de problemas de otimização relativos ao cálculo de áreas de terrenos, envolvendo a função quadrática. Visualize os videos e seguidamente resolva os problemas 1 a 4. Compare os resultados que obteve com a resolução apresentada para cada problema.
Video 2
Video 1
Video 4
Video 3
Problema 3
Problema 1
Problema 4
Problema 2
Secção 4
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Desmos
Problema 1
Pretende-se vedar um terreno junto de um rio, de forma a construir uma cerca retangular para animais, conforme a figura mostra. Um dos lados da cerca fica junto ao rio, não sendo necessário vedá-lo. Para vedar os outros três lados dispõe-se de 300 metros de rede. Determine as dimensões da cerca que veda a área máxima.
Resolução P1
Retroceder
Problema 1
4.1 Resolução do problema 1 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Etapa 2
Bk
Etapa 3
Etapa 4
Problema 1
4.1 Resolução do problema 1
Etapa 4
Etapa 5
Problema 1
4.1 Resolução do problema 1
Etapa 5
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Problema 2
Pretende-se construir uma cerca retangular para animais, dividida em três retângulos iguais, conforme a figura mostra. Para vedar o terreno dispõe-se de 360 metros de rede.Determine as dimensões da cerca que veda a área máxima de terreno.
Desmos
Resolução P2
Retroceder
Problema 2
4.2 Resolução do problema 2 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Etapa 2
Bk
Etapa 3
Etapa 4
Problema 2
4.1 Resolução do problema 2
Etapa 4
Etapa 5
Problema 2
4.1 Resolução do problema 2
Etapa 5
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Problema 3
Desmos
Pretende-se construir uma cerca retangular para animais, dividida em quatro retângulos iguais, conforme a figura mostra. Para vedar o terreno dispõe-se de 130 metros de rede. Um dos lados da cerca fica junto a um estábulo, não sendo necessário vedá-lo. Determine as dimensões da cerca que veda a área máxima de terreno.
Resolução P3
Retroceder
Problema 3
4.2 Resolução do problema 3 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Etapa 2
Bk
Etapa 3
Etapa 4
Problema 3
4.1 Resolução do problema 3
Etapa 4
Etapa 5
Problema 3
4.1 Resolução do problema 3
Etapa 5
ÍndIce
4.1 Área máxima vedada por uma cerca de comprimento fixo
Problema 4
Desmos
Pretende-se vedar parte de um terreno, de forma a construir um jardim, em que os lados consecutivos são perpendiculares, conforme a figura mostra. Para esse efeito dispõe-se de 100 metros de rede.Dois lados do jardim confinam com o muro, não sendo necessário vedá-los. Determine a área máxima do jardim.
Resolução P4
Retroceder
Problema 4
4.2 Resolução do problema 4 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapas 2 e 3
Problema 4
4.1 Resolução do problema 4
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Problema 4
4.1 Resolução do problema 4
Etapa 4
Etapa 5
Problema 4
4.1 Resolução do problema 4
Etapa 5
ÍndIce
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
Nos videos seguintes é discutida a resolução de problemas de otimização relativos ao cálculo da secção retangular de uma calha de escoamento, envolvendo a função quadrática. Visualize os videos e seguidamente resolva os problemas 5 a 7. Compare os resultados que obteve com a resolução apresentada para cada problema.
Problema 5
Problema 6
Problema 7
Application of quadratic equation to find maximum cross sectional area of a roof gutter
Rain Gutter problem
Secção 4
ÍndIce
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
Desmos
Problema 5
Para transportar água desde um tanque até uma zona de cultivo vai ser construída uma conduta, com secção transversal retangular, a partir de uma placa metálica retangular, com 0.6 metros de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, conforme as imagens a seguir. Determine as dimensões da secção da conduta que permitem obter a capacidade máxima de escoamento desta.
Resolução P5
Retroceder
Problema 5
4.2 Resolução do problema 5 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapa 2
Etapa 3
Problema 5
4.1 Resolução do problema 5
Etapa 3
Etapa 4
Problema 5
4.1 Resolução do problema 5
Etapa 4
Etapa 5
Problema 5
4.1 Resolução do problema 5
Etapa 5
ÍndIce
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
Problema 6
Uma conduta de água, com a secção transversal retangular, vai ser construída a partir de uma placa metálica retangular com 40 centímetros de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, conforme a imagem a seguir. Determine as dimensões da secção da conduta que permitem obter a capacidade máxima de escoamento desta.
Desmos
Resolução P6
Retroceder
4.2 Resolução do problema 6 (5 etapas)
Problema 6
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapa 2
Etapa 3
Problema 6
4.1 Resolução do problema 6
Etapa 3
Etapa 4
Problema 6
4.1 Resolução do problema 6
Etapa 4
Etapa 5
Problema 6
4.1 Resolução do problema 6
Etapa 5
ÍndIce
4.2 Área máxima da secção retangular de uma calha
Problema 7
Desmos
Uma conduta de água, com a secção transversal retangular, vai ser construída a partir de uma placa metálica retangular com 40 cm de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, como é sugerido no esquema seguinte. Determine as dimensões da secção da conduta que permitem obter a capacidade máxima de escoamento desta.
Resolução P7
Retroceder
Problema 7
4.2 Resolução do problema 7 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapa 2
Etapa 3
Problema 7
4.1 Resolução do problema 7
Etapa 3
Etapa 4
Problema 7
4.1 Resolução do problema 7
Etapa 4
Etapa 5
Problema 7
4.1 Resolução do problema 7
Etapa 5
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
Nas duas aplicações do Geogebra seguintes pode visualizar os retângulos que é possível inscrever num triângulo retângulo, de cada uma das formas indicadas, e identificar as dimensões do retângulo com a maior área possível.
Recorde que: Um retângulo pode ser inscrito num triângulo retângulo de duas formas, como mostra a figura:
• Dois lados do retângulo estão sobre os catetos e um vértice do retângulo está sobre a hipotenusa (retângulo [APQR] ). • Um dos lados do retângulo está sobre a hipotenusa e os vértices do lado oposto estão sobre os catetos (retângulo [PVUT] ).
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4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
Nos videos seguintes é discutida a resolução de problemas de otimização relativos ao cálculo da área de um retângulo inscrito num triângulo retângulo, envolvendo a função quadrática. Visualize os videos e seguidamente resolva os problemas 8 e 9. Compare os resultados que obteve com a resolução dos problemas apresentada.
Maximum Area of Rectangle Inscribed in a Triangle
ACHE a ÁREA MÁXIMA do RETÂNGULO dentro do Triângulo
Exercícios de Otimização - Funções Quadráticas
Problema 8
Problema 9
ÍndIce
Área máxima de um retângulo inscrito em um triângulo retângulo.
Como calcular a área máxima de um retângulo inscrito em um triângulo retângulo.
Secção 4
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
Desmos
Problema 8
Na figura estão representados um triângulo retângulo isósceles [ABC] , em que os catetos medem 7 cm , e um retângulo [BQPR] , inscrito no triângulo, com dois lados sobre os catetos e um vértice sobre a hipotenusa. Determine as dimensões do retângulo com a área máxima.
ÍndIce
Resolução P8
Retroceder
Problema 8
4.2 Resolução do problema 8 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapas 2 e 3
Problema 8
4.1 Resolução do problema 8
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Problema 8
4.1 Resolução do problema 8
Etapa 4
Etapa 5
Problema 8
4.1 Resolução do problema 8
Etapa 5
4.3 Área máxima de um retângulo inscrito num triângulo retângulo
Problema 9
Desmos
Na figura estão representados um triângulo retângulo o isósceles [ABC] , em que os catetos medem 30 cm , e um retângulo [JLMN] , inscrito no triângulo, com um dos lados sobre a hipotenusa e um vértice sobre cada um dos catetos. Determine as dimensões do retângulo com a área máxima.
ÍndIce
Resolução P9
Retroceder
Problema 9
4.2 Resolução do problema 9 (5 etapas)
Etapa 1
Problema 1
Bk
Etapas 2 e 3
Problema 9
4.1 Resolução do problema 9
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Problema 9
4.1 Resolução do problema 9
Etapa 4
Etapa 5
Problema 9
4.1 Resolução do problema 9
Etapa 5
ÍndIce
5. Quiz
Verifique os seus conhecimentos respondendo às 9 questões seguintes
INÍCIO
Pretende-se construir uma cerca retangular, dividida em dois retângulos iguais, como a figura mostra. Para vedar o terreno dispõe-se de 258 metros de rede. As dimensões da cerca que veda a área máxima de terreno são:
32.25 m e 43 m
16.25 m e 21.5 m
62 m e 50.4 m
06:00
Questão 2
Questão 1/9
ACERTOU!!
Questão 2
ERRADO!!
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Pretende-se construir uma cerca retangular, dividida em três retângulos iguais, como a figura mostra. Para vedar o terreno dispõe-se de 300 metros de rede. A área máxima de terreno que é possível vedar é de:
2812.5 m2
1600 m2
3014.25 m2
06:00
Questão 3
Questão 2/9
ACERTOU!!
Questão 3
ERRADO!!
Tentar Novamente
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Pretende-se construir uma cerca retangular para animais, dividida em três retângulos iguais, conforme a figura mostra. Dispõe-se para esse efeito de 162 metros de rede. Um dos lados da cerca fica junto a um rio, não sendo necessário vedá-lo. Determine as dimensões da cerca que veda a área máxima de terreno.
19 m e 29 m
32.4 m e 18.5 m
20.25 m e 27 m
06:00
Questão 4
Questão 3/9
ACERTOU!!
Questão 4
ERRADO!!
Tentar Novamente
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Pretende-se vedar parte de um terreno, de forma a construir um jardim, em que os lados consecutivos são perpendiculares, conforme a figura mostra. Para esse efeito dispõe-se de 100 metros de rede. Três lados do jardim confinam com um lago não sendo necessário vedá-los. A área máxima do jardim é de:
1560 m2
1650 m2
1600 m2
06:00
Questão 5
Questão 4/9
ACERTOU!!
Questão 5
ERRADO!!
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Na figura estão representados um triângulo retângulo isósceles [PQR] , em que os catetos medem 26 cm , e um retângulo [RSTU] , inscrito no triângulo, com dois lados sobre os catetos e um vértice sobre a hipotenusa. A área máxima do retângulo é:
169 m2
133 m2
186 m2
06:00
Questão 6
Questão 5/9
ACERTOU!!
Questão 6
ERRADO!!
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Na figura estão representados um triângulo retângulo isósceles [RPQ] , em que os catetos medem 39cm , e um retângulo [RSTU] , inscrito no triângulo, com dois lados sobre os catetos e um vértice sobre a hipotenusa. A área máxima do retângulo é:
193.25 cm2
160.5 m2
380.25 cm2
06:00
Questão 7
Questão 6/9
ACERTOU!!
Questão 7
ERRADO!!
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Na figura estão representados um triângulo retângulo isósceles [ABC] , em que os catetos medem 25 cm , e um retângulo [JLMN] , inscrito no triângulo, com um dos lados sobre a hipotenusa e um vértice sobre cada um dos catetos. A área máxima do retângulo é:
152.5 cm2
125 cm2
212.5 cm2
06:00
Questão 8
Questão 7/9
ACERTOU!!
Questão 8
ERRADO!!
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Uma conduta de água, com a secção transversal retangular, vai ser construída a partir de uma placa metálica retangular com 0.8 metros de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, como mostra a imagem. As dimensões da secção da conduta que permitem obter a capacidade máxima de escoamento são:
0.4 m e 0.2 m
0.5 m e 0.15 m
0.6 m e 0.1 m
06:00
Questão 9
Questão 8/9
ACERTOU!!
Questão 9
ERRADO!!
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Uma conduta de água, com a secção transversal retangular, vai ser construída a partir de uma placa metálica retangular com 76 cm de largura, dobrando bandas laterais iguais, de maneira a formarem ângulos retos com a base, como é sugerido na imagem. A área da secção da conduta que permite obter a capacidade máxima de escoamento é:
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238 cm2
361 cm2
304 cm2
06:00
FIM
Questão 9/9
ACERTOU!!
FIM
ERRADO!!
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Indíce