Ângulo e arco generalizados

Ângulo e arco generalizados

Trigonometria

Ângulo e arco generalizados

Chama-se ângulo orientado a um ângulo não nulo nem giro, no qual se fixa um dos lados para “lado origem”, designando o outro lado por “lado extremidade”.

Sentido positivo

Sentido negativo

Lado extremidade

Lado origem

Lado origem

Lado extremidade

Considera-se sentido negativo, o sentido horário (dos ponteiros do relógio), e sentido positivo, o sentido anti-horário (contrário ao dos ponteiros do relógio).

Ângulo e arco generalizados

O conceito de orientação de um ângulo leva a que a amplitude, em graus, de um ângulo orientado seja um valor que pertence ao intervalo ]−360°, 360°[ .

Sentido negativo

Sentido positivo

Lado extremidade

Lado origem

Lado extremidade

Lado origem

Ângulo e arco generalizados

Observando o movimento da cabina percebes que utilizar um valor entre −360° e 360° é insuficiente para descrever o seu movimento de rotação. Repara que a cada rotação de amplitude a cabina passa pela mesma posição.

Por exemplo, a posição da cabina será a mesma quando, no seu movimento de rotação, tiver descrito:

• um arco de amplitude igual a 45°;

• um arco de amplitude igual a 405°=360°+45°;

• um arco de amplitude igual a 765°=2×360°+45°...

45°

405°

765°

Ângulo e arco generalizados

Dados o lado origem e o lado extremidade de um ângulo orientado de amplitude, em graus, igual a 𝛼, qualquer ângulo cuja amplitude seja igual a com 𝛼 + 𝑘 × 360°, com 𝑘∈ℤ, admite o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade que esse ângulo orientado.

Exemplo 1:

Um ângulo de amplitude igual a 800°, pode ter o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade que um ângulo orientado com amplitude igual a 80°.

Ângulo e arco generalizados

Exemplo 2:

Um ângulo de amplitude igual a −390°, pode ter o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade que um ângulo orientado com amplitude igual a −30°.

Ângulo e arco generalizados

Ângulo generalizado A cada par ordenado de semirretas com a mesma origem, corresponde uma família de amplitudes da forma 𝛼+𝑘×360°, sendo 𝑘 um número inteiro.

Arco generalizado De forma análoga se generaliza o conceito de arco, como o arco descrito por um ponto móvel sobre uma circunferência, em sentido positivo ou negativo.

Vídeo da Escola Virtual sobre ângulos generalizados