Método analítico de Paralelogramo

Método analítico de Paralelogramo

Elaborado por : Paredes Malagon Rafael Zuriel Clave: 1,004 3IM5

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Marco teorico

Fundamentos Teóricos La suma de vectores no sigue las reglas de la aritmética escalar. Por ejemplo, si una persona camina 5 metros al este y luego 3 metros al norte, su desplazamiento total no es 8 metros, sino la distancia en línea recta desde su punto de inicio hasta su punto final. El método del paralelogramo proporciona una manera visual de determinar este resultado, llamado vector resultante.

El método del paralelogramo es una técnica gráfica utilizada en física y matemáticas para encontrar la resultante de dos vectores que actúan sobre un mismo punto. Es una aplicación de la suma vectorial, la cual se diferencia de la suma algebraica en que considera tanto la magnitud como la dirección de las cantidades.

Conceptos Clave - Vector: Una cantidad física que tiene tanto magnitud (un valor numérico) como dirección. Se representa con una flecha, donde la longitud de la flecha corresponde a la magnitud y la punta indica la dirección. Ejemplos de vectores son la fuerza, la velocidad y el desplazamiento. Resultante: El vector único que representa el efecto combinado de dos o más vectores.

Regla del paralelogramo: Suma de vectores

Suma de vectores: Paralelogramo

Ejemplo del método del paralelogramo; Paso a paso

En la siguiente imagen se muestran los vectores v y u en unidades arbitrarias. El vector v mide 3.61 unidades y forma un ángulo de 56.3º con la horizontal, mientras que u mide 6.32 unidades y ángulo de 18.4º respecto a dicha línea de referencia.

Vamos a encontrar su vector suma mediante el método del paralelogramo.

Es preciso escoger una escala apropiada, como por ejemplo la que se muestra en la siguiente figura, en la cual el plano se ha dividido mediante una cuadrícula. El ancho del cuadrado representa una (1) unidad. Como los vectores no se alteran al ser trasladados, se colocan de tal manera que sus orígenes coincidan con el origen del sistema de coordenadas (imagen de la izquierda).

Ahora sigamos estos pasos: - Trazar por el extremo del vector v una línea segmentada que sea paralela al vector u. - Repetir el procedimiento pero esta vez con el extremo del vector u. - Dibujar la diagonal principal que se extiende desde el origen común hasta el punto de intersección de las líneas segmentadas. El resultado se aprecia en la imagen derecha, en la que aparece el vector resultante R. Si queremos conocer la magnitud de R, podemos medir su longitud y compararla con la escala que tenemos. Y en cuanto a su dirección, pueden utilizarse como referencias el eje horizontal o el eje vertical, por ejemplo. Al utilizar el eje horizontal o eje x, el ángulo que R forma con dicho eje se mide con el transportador y de esta forma conocemos la dirección de R. Asimismo, la magnitud y dirección de R pueden calcularse mediante los teoremas del coseno y el seno, ya que el paralelogramo formado puede dividirse en dos triángulos congruentes, cuyos lados son los módulos de los vectores u, v y R.

Caso especial: suma de vectores perpendiculares Cuando los vectores son perpendiculares entre sí, la figura que se forma es un rectángulo. El módulo del vector resultante corresponde a la longitud de la diagonal, que puede calcularse fácilmente mediante el teorema de Pitágoras.

Ejercicio:Se tiene el vector v, que mide 3.61 unidades y forma un ángulo de 56.3º con la horizontal, y el vector u, cuya medida es 6.32 unidades y forma un ángulo de 18.4º (figura 2). Determinar el módulo del vector resultante R = u + v y la dirección que forma dicho vector con el eje horizontal. Solución Se aplica el método del paralelogramo según los pasos descritos más arriba, para obtener el vector R. Como se dijo antes, si los vectores se dibujan cuidadosamente siguiendo la escala y usando regla y transportador, la magnitud y la dirección de R se miden directamente sobre el dibujo.

También se pueden calcular directamente, con ayuda de la trigonometría y las propiedades de los ángulos. Cuando el triángulo formado no es rectángulo, como en este caso, se aplica el teorema del coseno para encontrar el lado faltante. En el triángulo de la derecha, los lados miden u, v y R. Para aplicar el teorema del coseno se requiere saber el ángulo que hay entre v y u, que podemos encontrar con ayuda de la cuadrícula, posicionando adecuadamente los ángulos suministrados por el enunciado. Dicho ángulo es α y está compuesto de: α = (90-56.3º) + 90º +18.4º = 142.1º

Según el teorema del coseno: R2 = v2 + u2 – 2u⋅v⋅cos α = 3.612 + 6.322 – 2× 3.61 × 6.32 × cos 142.1º = 88.98 R = 9.43 unidades. Por último, el ángulo que hay entre R y el eje horizontal es θ=18.4 º + γ. El ángulo γ se puede encontrar mediante el teorema del seno: sen α / R = sen γ / u Por lo tanto: sen γ = v (sen α / R) = 3.61 x (sen 142.1º / 9.43) γ = 13.6º θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

Referencias Bibliograficas:

- https://dicciomat.com/metodo-del-paralelogramo/ - Lifeder. (23 de junio de 2020). Método del paralelogramo: ejemplos, ejercicios resueltos. Recuperado de: https://www.lifeder.com/metodo-del-paralelogramo/. - https://www.formulasexplicadas.com/metodo-del-paralelogramo/