U2A4: Exposición de ejemplos: Integrales múltiples
Integrales Triples
Función de Densidad
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas
Jacobiano
Coordenadas Polares
Masa
Primeros Momentos
Centro de Masa
Cambio de Variables
Integrales Triples Definición: Extensión de las integrales dobles para hallar regiones en el espacio con superficies definidas donde la integral doble no sería capaz de delimitar. Fórmula: Sn = ∑F(x,y,z)ΔVk donde ΔVk=ΔVxkΔVykΔVzk Para volumen: F(x,y,z) = 1, entonces V = ∭dV Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). Integrales triples: definición, cálculo y aplicación. Cálculo Multivariable y Vectorial, Unidad 2. Referencias: Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning; Thomas, G. (12.a ed.). (2010). Cálculo varias variables. Pearson Educación.
Coordenadas EsféricasDefinición: Se utilizan para hacer integrales de manera menos rigurosa. Se deben realizar las conversiones de coordenadas cartesianas a esféricas. Transformación: x = ρ sen φ cos θ y = ρ sen φ sen θ z = ρ cos φ ρ = √(x² + y² + z²) Elemento de volumen: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R2: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Thomas, G. (12.a ed.). (2010). Cálculo varias variables. Pearson Educación; Apostol, T. (2.a ed.). (1996). Calculus. Editorial Reverté.
Primeros Momentos Definición: Debido a la información que la superficie en forma de funciones da respecto a la posición del objeto encerrado en el espacio, es posible hallar sus respectivos primeros momentos respecto a los planos de coordenadas. Fórmulas: Mxy = ∭ z δ dV Mxz = ∭ y δ dV Myz = ∭ x δ dV Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R3: Aplicaciones de las integrales triples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Larson, R. y Edwards, B. (9.a ed.). (2010). Cálculo 2 de varias variables. Mc Graw Hill/ Interamericana Editores; Thomas, G. (12.a ed.). (2010). Cálculo varias variables. Pearson Educación.
Cambio de VariablesDefinición: Transformación que permite cambiar el sistema de coordenadas en integrales múltiples para simplificar los cálculos mediante el uso del jacobiano. Fórmula: ∬R f(x,y)dxdy = ∬G f(g(u,v), h(u,v))|J(u,v)|dudv Conceptos: R = región imagen, G = región preimagen Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). Cambio de variables en las integrales múltiples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Zill, D. (3.a ed.). (2008). Matemáticas avanzadas para ingeniería. Cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo. McGraw Hill; Larson, R. y Edwards, B. (9.a ed.). (2010). Cálculo 2 de varias variables. Mc Graw Hill/ Interamericana Editores.
MasaDefinición: Masa es igual a integral triple donde δ es la función de densidad, la cual generalmente es constante. Fórmula: M = ∭ δ dV Aplicación: Calcular la masa delimitada por una región en el espacio, conociendo el valor de su densidad. Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R3: Aplicaciones de las integrales triples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning; Zill, D. (3.a ed.). (2008). Matemáticas avanzadas para ingeniería. Cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo. McGraw Hill.
Coordenadas PolaresDefinición: Sistema bidimensional donde cada punto del plano se describe por una distancia y un ángulo. Relación: Las coordenadas cilíndricas son una extensión de las coordenadas polares. Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R5: Integrales múltiples II. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Thomas, G. (12.a ed.). (2010). Cálculo varias variables. Pearson Educación; Apostol, T. (2.a ed.). (1996). Calculus. Editorial Reverté.
Función de DensidadDefinición: Campo vectorial dependiente de "x", "y" y "z". Notación: F(x,y,z) Aplicación: Para calcular masa de regiones espaciales conociendo su densidad. Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R5: Integrales múltiples II. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Apostol, T. (2.a ed.). (1996). Calculus. Editorial Reverté; Larson, R. y Edwards, B. (9.a ed.). (2010). Cálculo 2 de varias variables. Mc Graw Hill/ Interamericana Editores.
Centro de MasaDefinición: Punto de equilibrio del sólido basado en la distribución de masa y los primeros momentos. Coordenadas: x̄ = Myz/M ȳ = Mxz/M z̄ = Mxy/M Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R3: Aplicaciones de las integrales triples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Apostol, T. (2.a ed.). (1996). Calculus. Editorial Reverté; Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning.
Coordenadas CilíndricasDefinición: Extensión de las coordenadas polares, solo que para el caso de la tercera variable, usamos una ya conocida en las coordenadas cartesianas, reconocida como z. Transformación: x = r cos θ y = r sen θ z = z Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R2: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning; Zill, D. (3.a ed.). (2008). Matemáticas avanzadas para ingeniería. Cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo. McGraw Hill.
JacobianoDefinición: El determinante del Jacobiano J de u, v es igual al valor absoluto de las derivadas parciales que transforma la integral para que las funciones sean más sencillas de operar. Fórmula: J(u,v) = |∂x/∂u ∂y/∂u; ∂x/∂v ∂y/∂v| Importancia: Factor de escalado para cambio de variables en integrales múltiples. Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). Cambio de variables en las integrales múltiples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Larson, R. y Edwards, B. (9.a ed.). (2010). Cálculo 2 de varias variables. Mc Graw Hill/ Interamericana Editores; Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning.
U2A4: Exposición de ejemplos: Integrales múltiples
Daniel Barbedillo
Created on September 19, 2025
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U2A4: Exposición de ejemplos: Integrales múltiples
Integrales Triples
Función de Densidad
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas
Jacobiano
Coordenadas Polares
Masa
Primeros Momentos
Centro de Masa
Cambio de Variables
Integrales Triples Definición: Extensión de las integrales dobles para hallar regiones en el espacio con superficies definidas donde la integral doble no sería capaz de delimitar. Fórmula: Sn = ∑F(x,y,z)ΔVk donde ΔVk=ΔVxkΔVykΔVzk Para volumen: F(x,y,z) = 1, entonces V = ∭dV Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). Integrales triples: definición, cálculo y aplicación. Cálculo Multivariable y Vectorial, Unidad 2. Referencias: Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning; Thomas, G. (12.a ed.). (2010). Cálculo varias variables. Pearson Educación.
Coordenadas EsféricasDefinición: Se utilizan para hacer integrales de manera menos rigurosa. Se deben realizar las conversiones de coordenadas cartesianas a esféricas. Transformación: x = ρ sen φ cos θ y = ρ sen φ sen θ z = ρ cos φ ρ = √(x² + y² + z²) Elemento de volumen: dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R2: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Thomas, G. (12.a ed.). (2010). Cálculo varias variables. Pearson Educación; Apostol, T. (2.a ed.). (1996). Calculus. Editorial Reverté.
Primeros Momentos Definición: Debido a la información que la superficie en forma de funciones da respecto a la posición del objeto encerrado en el espacio, es posible hallar sus respectivos primeros momentos respecto a los planos de coordenadas. Fórmulas: Mxy = ∭ z δ dV Mxz = ∭ y δ dV Myz = ∭ x δ dV Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R3: Aplicaciones de las integrales triples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Larson, R. y Edwards, B. (9.a ed.). (2010). Cálculo 2 de varias variables. Mc Graw Hill/ Interamericana Editores; Thomas, G. (12.a ed.). (2010). Cálculo varias variables. Pearson Educación.
Cambio de VariablesDefinición: Transformación que permite cambiar el sistema de coordenadas en integrales múltiples para simplificar los cálculos mediante el uso del jacobiano. Fórmula: ∬R f(x,y)dxdy = ∬G f(g(u,v), h(u,v))|J(u,v)|dudv Conceptos: R = región imagen, G = región preimagen Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). Cambio de variables en las integrales múltiples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Zill, D. (3.a ed.). (2008). Matemáticas avanzadas para ingeniería. Cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo. McGraw Hill; Larson, R. y Edwards, B. (9.a ed.). (2010). Cálculo 2 de varias variables. Mc Graw Hill/ Interamericana Editores.
MasaDefinición: Masa es igual a integral triple donde δ es la función de densidad, la cual generalmente es constante. Fórmula: M = ∭ δ dV Aplicación: Calcular la masa delimitada por una región en el espacio, conociendo el valor de su densidad. Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R3: Aplicaciones de las integrales triples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning; Zill, D. (3.a ed.). (2008). Matemáticas avanzadas para ingeniería. Cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo. McGraw Hill.
Coordenadas PolaresDefinición: Sistema bidimensional donde cada punto del plano se describe por una distancia y un ángulo. Relación: Las coordenadas cilíndricas son una extensión de las coordenadas polares. Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R5: Integrales múltiples II. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Thomas, G. (12.a ed.). (2010). Cálculo varias variables. Pearson Educación; Apostol, T. (2.a ed.). (1996). Calculus. Editorial Reverté.
Función de DensidadDefinición: Campo vectorial dependiente de "x", "y" y "z". Notación: F(x,y,z) Aplicación: Para calcular masa de regiones espaciales conociendo su densidad. Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R5: Integrales múltiples II. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Apostol, T. (2.a ed.). (1996). Calculus. Editorial Reverté; Larson, R. y Edwards, B. (9.a ed.). (2010). Cálculo 2 de varias variables. Mc Graw Hill/ Interamericana Editores.
Centro de MasaDefinición: Punto de equilibrio del sólido basado en la distribución de masa y los primeros momentos. Coordenadas: x̄ = Myz/M ȳ = Mxz/M z̄ = Mxy/M Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R3: Aplicaciones de las integrales triples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Apostol, T. (2.a ed.). (1996). Calculus. Editorial Reverté; Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning.
Coordenadas CilíndricasDefinición: Extensión de las coordenadas polares, solo que para el caso de la tercera variable, usamos una ya conocida en las coordenadas cartesianas, reconocida como z. Transformación: x = r cos θ y = r sen θ z = z Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). U2R2: Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning; Zill, D. (3.a ed.). (2008). Matemáticas avanzadas para ingeniería. Cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo. McGraw Hill.
JacobianoDefinición: El determinante del Jacobiano J de u, v es igual al valor absoluto de las derivadas parciales que transforma la integral para que las funciones sean más sencillas de operar. Fórmula: J(u,v) = |∂x/∂u ∂y/∂u; ∂x/∂v ∂y/∂v| Importancia: Factor de escalado para cambio de variables en integrales múltiples. Fuente: Universidad Autónoma de Guadalajara. (2025). Cambio de variables en las integrales múltiples. Cálculo Multivariable y Vectorial. Referencias: Larson, R. y Edwards, B. (9.a ed.). (2010). Cálculo 2 de varias variables. Mc Graw Hill/ Interamericana Editores; Stewart, J. (8.a ed.). (2018). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. Cengage Learning.