FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

UNIDAD I.Conjuntos y teorema de la aritmética

INDICE:

1. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

2. Conjuntos y sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

3.Propiedades, leyes y reglas de operación con números reales: adición, sustracción,multiplicación, potenciación y radicación.

4. Concepto de número primo.

5. Teorema fundamental de la aritmética.

1. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

Que es la aritmética?

La aritmética es la rama de la matemática que se encarga del estudio de los números y de las operaciones elementales que se pueden realizar con ellos, como la adición (suma), sustracción (resta), multiplicación y división. Es una disciplina fundamental que permite hacer cálculos y resolver ecuaciones simples, y es utilizada cotidianamente para contar, medir, comparar y clasificar cantidades o elementos.

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas y la lógica que estudia las agrupaciones o colecciones de elementos con una característica común. Estos elementos pueden ser números, letras, figuras o cualquier objeto definido. La teoría proporciona las bases para organizar, clasificar y operar con estos grupos, lo que es esencial para entender estructuras matemáticas más complejas en álgebra, cálculo y lógica.Conceptos básicos de la teoría de conjuntos:

• Conjunto: Una colección bien definida de objetos o elementos considerados como un todo o unidad. Por ejemplo, el conjunto A={2,4,6,8,10} forma un conjunto de números pares menores que 12.

• Elemento: Cada objeto dentro de un conjunto es un elemento o miembro. Por ejemplo, el número 4 es un elemento del conjunto.

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

• Cardinalidad: Número de elementos que tiene un conjunto.

Operaciones básicas:

• Unión (A∪B): El conjunto de todos los elementos que están en A, en B, o en ambos.

• Intersección (A∩B): El conjunto de elementos que son comunes a A y B.

• Complemento ( ) Elementos que no están en el conjunto, respecto a un conjunto universal dado.
• Subconjunto: Un conjunto A es subconjunto de B si todos los elementos de A están en B (denotado A⊆B).

Un diagrama de Venn es una representación gráfica utilizada para mostrar las relaciones entre diferentes conjuntos de elementos. John Venn fue su creador

Operaciones básicas

A∪B

A∩B

Otros ejemplos:

Otros ejemplos:

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

Conceptos especiales:

• Inclusión(Subconjunto):Muestra que un conjunto incluye a un subconjunto. Por ejemplo: A⊆B.

El conjunto B (seres vivos) incluye al subconjunto A (mamíferos), y, como no existen mamíferos que no sean seres vivos, se sombrea o se tacha la parte del círculo mamíferos que no está incluida en seres vivos. Además, el gráfico señala que existen otros seres vivos que no son mamíferos, como la serpiente, la iguana y el cóndor.

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

Conceptos especiales:

• Disyunción (Conjuntos disjuntos)Muestra que los conjuntos contienen elementos que no pertenecen a otros conjuntos. Por ejemplo: (A∩B=∅).

Se sombrea o se tacha la superposición de los círculos, para representar que ningún elemento del conjunto reptiles puede pertenecer al conjunto aves y viceversa.

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2.Conjuntos y sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

Conjuntos y sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

Los conjuntos y sistemas numéricos se refieren a categorías de números organizados en diferentes grupos según sus características y propiedades:

• Números naturales (N): Son los números usados para contar, es decir, 0, 1, 2, 3, ... y así sucesivamente. Son los primeros números que aprendemos para enumerar objetos. En resumen, los números naturales son todos los números enteros positivos (y cero en algunos casos).Son infinitos,no tienen decimales ni negativos, y siempre existe un número natural sucesor, por lo que no hay último número natural.

N={0,1,2,3,4,6,7,8,9…}

• Números enteros (Z): Incluyen a los números naturales, sus opuestos (los negativos) y el cero, por ejemplo, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

• Números racionales (Q): Son aquellos que pueden expresarse como una fracción a/b, , donde a y b son enteros y b≠0. Incluyen números enteros y fracciones.

• Números Reales (R): Este conjunto incluye tanto los números racionales como todos los irracionales, es decir, números que no pueden representarse como fracciones, tienen infinitos decimales, como π, e o √2. Los reales forman la recta numérica continua, que representa cualquier punto en un segmento numérico.

• *Números Complejos (C):Este conjunto extiende los reales para incluir una dimensión imaginaria, expresada como:

*Donde a es la parte real y b la parte imaginaria. Este conjunto es fundamental en matemática avanzada, ingeniería y física para resolver ecuaciones sin solución real, análisis de señales, mecánica cuántica, entre otros.

Ejemplos practicos de los mas usados comunmente:

Números racionales (Q)

Números Reales (R)

Números enteros (Z)

Números naturales (N)

• Temperaturas: -5°C en invierno, 20°C en verano.

• Deudas: deber 100 pesos (representado como -100).

• Posiciones: subir 3 pisos (+3) o bajar 2 pisos (-2).

• Altura relativa: estar 10 metros sobre el nivel del mar o 5 metros debajo.

• Contar objetos: 3 manzanas, 7 libros, 12 personas.

• Edad: tener 25 años, cumplir 18 años.

• Comprar: 2 boletos de cine, 5 botellas de agua.
• Organizar: 10 mesas en un evento, 4 equipos deportivos.

• Tiempo: 7 días de una semana, contar horas o minutos enteros.

• Fracciones en cocina: usar ½ taza de azúcar, ⅓ de litro de agua.

• Proporciones: una receta para ¾ de persona.

• Divisiones exactas: repartir 12 manzanas entre 4 personas, cada uno recibe 3.

• Dinero: precios con centavos como 10.50 pesos.

• Medidas continuas: 1.75 metros de altura, 3.1416 metros de circunferencia.

• Longitudes con decimales infinitos: raíz cuadrada de 2 metros, valor de π.

• Temperaturas con decimales: 23.7°C.

Ejemplos practicos de los mas usados comunmente:

Números Complejos (C)

Plano complejo

3.Propiedades, leyes y reglas de operación con números reales: adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación

Propiedades, leyes y reglas de operación con números reales: adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación

Las propiedades, leyes y reglas de operación con números reales, que incluyen las operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación. Propiedades de la adición y sustracción con números reales:

• Propiedad cerradura: La suma o resta de dos números reales siempre da como resultado otro número real.

• Propiedad conmutativa (suma): El orden de los sumandos no afecta el resultado, es decir, a+b=b+a.

• Propiedad asociativa (suma): Al sumar tres o más números reales, la forma en que se agrupen no altera el resultado: (a+b)+c=a+(b+c).

Propiedades, leyes y reglas de operación con números reales: adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación

• Elemento neutro de la suma: Existe un número llamado cero que, al sumarlo a cualquier número real, deja el número sin cambio: a +0=a.

• La resta es la operación opuesta a la suma y puede entenderse como la suma con el contrario:a−b=a+(−b)

Propiedades, leyes y reglas de operación con números reales: adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación

Propiedades de la multiplicación con números reales:

• Propiedad cerradura: El producto de dos números reales es otro número real.

• Propiedad conmutativa (multiplicación): El orden de los factores no altera el producto: a × b =b×a.

• Propiedad asociativa (multiplicación): La forma en que se agrupen los factores no altera el resultado:(a×b)×c=a×(b×c).

• Elemento neutro de la multiplicación: El número uno es el elemento neutro, ya que a×1=a.

• Elemento opuesto: Existe elemento inverso multiplicativo para todos los números diferentes de cero, es decir, 1/a=1 para a≠0.

Propiedades, leyes y reglas de operación con números reales: adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación

• Propiedad distributiva: La multiplicación distribuye sobre la suma: a×(b+c)=a×b+a×c.

• El producto de dos números con igual signo es positivo, y con diferente signo es negativo.

Potenciación con números reales:

• La potenciación implica multiplicar repetidamente una base por sí misma un número determinado de veces:

• Producto de potencias con misma base: Se suman los exponentes:

• Cociente de potencias con misma base: Se restan los exponentes:

• Potencia de una potencia: Se multiplican los exponentes:

• Potencia de un producto: Se aplica la potencia a cada factor:

• Si el exponente es cero,

• Si el exponente es negativo,

Radicación con números reales:

• La radicación es la operación inversa de la potenciación, por ejemplo, la raíz cuadrada es el número que elevado al cuadrado da el radicando:

• Propiedad del producto: La raíz del producto es el producto de las raíces:

• Propiedad del cociente: La raíz del cociente es el cociente de las raíces:

• Raíz de una potencia: unifica la potenciación y radicación como exponentes fraccionarios.

4. Concepto de número primo.

Que es un numero primo?

Un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo tiene dos divisores positivos distintos: el 1 y él mismo. Esto significa que un número primo no puede dividirse de manera exacta (sin dejar residuo) por ningún otro número distinto a estos dos.

Características principales de los números primos

• Son mayores que 1.

• Sólo son divisibles por 1 y por sí mismos sin dejar residuo.

• No pueden descomponerse en factores más pequeños (esto los diferencia de los números compuestos).

• Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc.

• El número 2 es el único número primo par; todos los demás primos son impares.

Ejemplo de números primos y compuestos:

• Primo: 7 tiene sólo dos divisores (1 y 7).

• Compuesto: 8 tiene divisores 1, 2, 4 y 8.

Prueba básica de primalidad

• Para saber si un número n es primo, se verifica si no tiene divisores exactos entre 2 y Si no se encuentran, es primo.

5. Teorema fundamental de la aritmética.

Que es el Teorema fundamental de la aritmética?

Establece que todo número entero mayor que 1 puede escribirse de manera única como un producto de números primos, es decir, su factorización en primos es única, sin importar el orden de los factores.

Explicación:

• Cualquier entero mayor que 1 es:

• Un número primo, o
• Un número compuesto que puede descomponerse en un producto de números primos.

• Esta descomposición no es arbitraria, sino que un número dado tiene una única combinación de factores primos (única salvo el orden de multiplicación).

• Por ejemplo, el número 42 puede expresar como 2×3×7 y ninguna otra combinación de primos dará exactamente 42.

• Otro ejemplo: 12 es 2×2×3 .no hay otra factorización prima diferente.

Origen:

• Fue enunciado originalmente por Euclides hace más de dos mil años.

• Posteriormente fue formalmente demostrado y extendido por matemáticos como Carl Friedrich Gausss.

Mas ejemplos:

No importa cómo se descomponga, siempre la factorización prima será esta, es única.

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UNIDAD II.Estructuras algebraicas.

INDICE:

1. Conceptos básicos algebraicos.

2. Suma algebraica.

3.Resta algebraica.

4. Signos de agrupación .

5. Multiplicación algebraica.

6. División algebraica.

1. Conceptos básicos algebraicos.

Que es son los Conceptos básicos algebraicos.?

Son los fundamentos que permiten entender y trabajar con el álgebra, una rama de las matemáticas que estudia la manipulación de cantidades mediante símbolos y letras que representan números o valores desconocidos.

Conceptos clave

• Álgebra: Rama de la matemática que usa letras (variables) y números (constantes) junto con operaciones (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias) para expresar relaciones generales y resolver problemas.

• Expresiones algebraicas: Combinación de números, letras y operaciones; por ejemplo,3x+5, donde x es una variable que puede representar distintos valores.

• Término algebraico: Cada sumando en una expresión algebraica; puede tener coeficiente (número multiplicador), base (letra o variable) y exponente. Por ejemplo, en , 4 es el coeficiente,x es la base y 2 el exponente.

• Variables: Letras que representan valores desconocidos o que pueden variar, como x,y,z.

• Constantes: Números que representan valores fijos o conocidos, como 2, 7,π, etc.

• Ecuaciones: Igualdades matemáticas que relacionan expresiones algebraicas. Por ejemplo, 2x+3=7.

• Reducción de términos semejantes: Simplificación de expresiones combinando términos con la misma variable y exponente. Ejemplo:3x+4x=7x.

• Operaciones algebraicas: Aplicación de las operaciones matemáticas a expresiones que contienen variables.

• Lenguaje algebraico: Traducción de enunciados o situaciones del lenguaje cotidiano a expresiones y fórmulas algebraicas.

2. Suma algebraica

Que es son los la suma algebraica?

Es una operación matemática que consiste en reunir varias cantidades, que pueden tener signos diferentes (positivos o negativos), en una sola cantidad resultante llamada suma o adición.

Propiedades de la Suma algebraica:

• Propiedad conmutativa (suma): El orden de los sumandos no afecta el resultado, es decir, a+b=b+a.

• Propiedad asociativa (suma): Al sumar tres o más números reales, la forma en que se agrupen no altera el resultado: (a+b)+c=a+(b+c).

• Elemento neutro de la suma: Existe un número llamado cero que, al sumarlo a cualquier número real, deja el número sin cambio: a +0=a.

• Elemento opuesto (inverso aditivo): Para cada número a, existe otro número −a que al sumarse da cero.Ejemplo: a+(−a)=0

• Suma de términos semejantes: En expresiones algebraicas, sólo se pueden sumar términos con la misma parte literal (variables y exponentes iguales).

Ejemplos: 1.-3x+4x= 7x 2.-3x+4y= NO SE PUEDE SUMAR ya que no son términos semejantes.

Ejemplos practicos

Ejercicios en clase

3. Suma algbraica

Que es son los la resta algebraica?

La resta algebraica es una operación matemática que consiste en hallar la diferencia entre dos expresiones algebraicas, que puede involucrar términos con números, letras (variables) y signos. En esencia, es la operación inversa de la suma algebraica.

Características principales de la resta algebraica:

• Se realiza entre dos polinomios o expresiones algebraicas: un minuendo (la cantidad de la cual se resta) y un sustraendo (la cantidad que se resta).

• El orden es importante, ya que restar A−B no es lo mismo que B−A. La resta no es conmutativa

• No cumple la propiedad asociativa, por lo que en restas sucesivas el orden y agrupación importan.

Ejemplos practicos

Ejercicios en clase

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4. Signos de agrupación .

Que es son los Signos de agrupación ?

Los signos de agrupación en álgebra son símbolos que se utilizan para indicar el orden en que deben realizarse las operaciones en una expresión algebraica.

Su función principal es eliminar ambigüedades y garantizar que las operaciones se realicen correctamente según un orden lógico y establecido. Los signos de agrupación más comunes son:

• Paréntesis ( )
• Corchetes [ ]
• Llaves { }
• Barras | | (usadas en casos especiales, como el valor absoluto)

Jerarquía y orden de resolución:Estos signos indican una jerarquía estricta para realizar las operaciones. Se evalúan primero las operaciones dentro de los signos de agrupación más internos antes de continuar con las externas. El orden de prioridad en la resolución es generalmente:

• Primero las operaciones dentro de paréntesis ( ).
• Después las operaciones dentro de corchetes [ ].
• Luego las operaciones dentro de llaves { }.
• Finalmente, las operaciones dentro de barras (| |), si las hay.

Su función principal es eliminar ambigüedades y garantizar que las operaciones se realicen correctamente según un orden lógico y establecido. Los signos de agrupación más comunes son:

• Paréntesis ( )
• Corchetes [ ]
• Llaves { }
• Barras | | (usadas en casos especiales, como el valor absoluto)

Jerarquía y orden de resolución:Estos signos indican una jerarquía estricta para realizar las operaciones. Se evalúan primero las operaciones dentro de los signos de agrupación más internos antes de continuar con las externas. El orden de prioridad en la resolución es generalmente:

• Primero las operaciones dentro de paréntesis ( ).
• Después las operaciones dentro de corchetes [ ].
• Luego las operaciones dentro de llaves { }.
• Finalmente, las operaciones dentro de barras (| |), si las hay.

Reglas para eliminar signos de agrupación:

• Cuando un signo de agrupación está precedido por un signo positivo (+), se elimina el signo de agrupación sin modificar los signos dentro.

• Si está precedido por un signo negativo (-), se debe cambiar el signo de cada término dentro del signo de agrupación (cambiar sumas por restas y viceversa).

• En casos donde dentro de los signos hay otros signos de agrupación, se procesa primero el más interno y luego se continúa hacia afuera.

Ejemplo de uso En una expresión como:

Se debe realizar primero la operación dentro del paréntesis, después dentro del corchete, luego dentro de la llave, y finalmente la resta.

Ejemplos practicos

Ejemplo 3 (álgebra con variables):

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Se resuelve paréntesis y corchetes:

Primero se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis:

Se resuelven primero paréntesis:

Multiplicación y eliminación de corchetes:

Luego corchetes:

Luego la operación dentro de los corchetes:

Simplificación:

Se realizan multiplicaciones y divisiones primero, de izquierda a derecha:

Finalmente se despeja x:

Finalmente:

Ejemplos practicos

Ejemplo 6 (álgebra con variables):

Ejemplo 4 (álgebra con variables):

Ejemplo 5 (álgebra con variables):

Se agrupan términos con potencias iguales:

Se combinan los términos semejantes:

Primero se distribuye el 2 en el paréntesis:

Finalmente:

Luego se combinan términos semejantes:

Finalmente:

Finalmente:

Ejercicios en clase

Ejercicios para plataforma

5. Multiplicacion algebraica.

Que es la multiplicacion algebraica?

La multiplicación algebraica es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos o más expresiones algebraicas llamadas factores. En esta operación se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro, aplicando reglas similares a las de la multiplicación aritmética, pero además sumando los exponentes de las variables iguales y respetando la ley de los signos y la ley de los coeficientes.

Ejemplos practicos

Ejemplo 3 Multiplicación de un monomio por un binomio:

Ejemplo 2Multiplicación de monomios:

Ejemplo 1Multiplicación de monomios:

Se combinan los términos :

Se combinan los términos:

Se combinan los términos:

Finalmente:

Finalmente:

Finalmente:

Ejemplos practicos

Ejemplo 6 Multiplicación y simplificación::

Ejemplo 5Multiplicación de dos fracciones algebraicas:

Ejemplo 4Multiplicación de binomios

Se combinan los términos:

Se factoriza:

Se combinan los términos:

Finalmente:

Finalmente:

Finalmente:

Ejercicios para plataforma

6. Division algebraica.

Que es la division algebraica?

La división algebraica es una operación que consiste en dividir una expresión algebraica (dividendo) entre otra expresión algebraica (divisor) para obtener una tercera expresión llamada cociente.

Ejemplos practicos

Ejemplo 3División de monomios con exponentes:

Ejemplo 2División de monomio entre monomio con varias variables:

Ejemplo 1Multiplicación de monomios:

Finalmente:

Finalmente:

Finalmente:

Ejercicios para plataforma

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UNIDAD II.Estructuras algebraicas (Segunda Parte).

INDICE:

1. Productos notables

2. Ecuaciones de primer grado.

3.Fracciones Algebraicas

1. Productos notables.

Que son los Productos notables?

Son expresiones algebraicas que representan multiplicaciones especiales entre términos y que se distinguen porque pueden simplificarse o factorizarse fácilmente sin necesidad de realizar la multiplicación completa paso a paso

1. Cuadrado de un binomio
2. Diferencia de cuadrados
3. Cubo de un binomio

Monomio

Binomio

Trinomio

Polinomio

Cuadrado de un binomio

Binomio al cuadrado y su regla

Ejemplo:

Ejercicios en clase

Diferencia de cuadrados

Diferencia de cuadrados y su regla

Ejemplo:

Ejercicios en clase

Cubo de un binomio

Cubo de un binomio y su regla

Ejemplo:

Ejercicios en clase

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2. Ecuaciones de primer grado.

Que son los Productos notables?

Una ecuación de primer grado, también llamada ecuación lineal, es una igualdad matemática que contiene una o más incógnitas elevadas a la potencia uno (es decir, lineales). Su forma más común es:

Ejemplos de clase

Ejemplo 1:

Ejemplos de clase

Ejemplo 2:

Ejercicios en clase y plataforma

3. Fracciones algebraicas

Sencillos

Mas complejos

Mas complejos