CALCULO DIFERENCIAL
TEMARIO
BLOQUE I
FUNCIONES
Presentado por la alumna:
Acosta Mejia Mara Jocelyn
Indice
ELIJE EL LIBRO DEL TEMA QUE DESEAS CONSULTAR
1.1.Los numeros reales y sus subconjuntos
1.2.Intervalos en los reales y su representacion grafica.
1.3.Definiciones basicas:variable(dependiente e independiente),relacion,funcion,dominio y rango.
1.4.Funcion real de variable real y sus distintas representaciones(analitica,numerica,grafica y verbal.)
1.5.Funciones algebraicas:polinomiales y racionales.
1.3
1.1
1.2
1.6.Funciones trascendentes:trigonometricas,logaritmicas y exponenciales
1.7.Funciones definidas por partes.
1.8.Operaciones con funciones:Adicion,sustraccion,multiplicacion,division y compocision.
1.9.Transformaciones rigidas y no rigidas.
1.10.Funciones pares,impares y ni par ni impar.
1.11.Funcion inyectiva,suprayectiva y biyectiva.
1.12.La funcion inversa.
1.4
1.5
1.7
1.8
1.13.La funcion implicita.
1.6
1.14.Formulacion de funciones como modelos matematicos en diferentes contextos.
1.15.Modelacion de fenomenos(fisicos,quimicos,economicos...)como funciones.
1.9
1.13
1.11
1.12
1.15
1.14
1.10
1.1.Los numeros reales y sus subconjuntos
Son todos aquellos numeros que se pueden representar en una recta numerica. Estos se dividen en 4 secciones,si lo ponemos de esta manera:
I)LOS NUMEROS naturales ℕ
Son los numeros que usamos para contar: A veces, el cero tambien es incluido en este conjunto
1,2,3,4,5,6,7,8,9...
Siguiente
Ii)LOS NUMEROS ENTEROS ℤ
Iv)LOS NUMEROS Irracionales I
Incluyen a los numeros naturales,pero con la diferencia que igual a sus opuestos negativos y al cero:
Son aquellos números que no se pueden expresar como una fracción simple. Tienen una expansión decimal infinita y no periódica.
,-∞,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,∞...
Iii)LOS NUMEROS racionales ℚ
π (pi) y √2.
Son aquellos numeros que se pueden escribir como en una fraccion. Lo cual incluye fracciones y decimales finitos o periodicos.
Donde p y q son enteros y q no es cero.
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INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA:
Es el conjunto de los numeros reales formados por y los numeros comprendidos entre y .
a b
Notacion: a < x ≤ bDesigualdad: (a,b]
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA derecha:
Es el conjunto de los numeros reales formados por y los numeros comprendidos entre y .
a b
Notacion: a ≤ x < bDesigualdad: [a,b)
INTERVALOs infinitos:
Son todos los numeros mayores que o
a b .
infinito abierto porla derecha
infinito cerrado por la derecha
Notacion: x ≤ bDesigualdad: (-∞,b ]
Notacion: x < bDesigualdad: [a,∞)
Siguiente
infinito cerrado por la izquierda
Notacion: x ≤ bDesigualdad: (-∞,b ]
infinito abierto por la izquierda
Notacion: x < bDesigualdad: [a,∞)
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1.3.Definiciones basicas:variable (dependiente e independiente),relacion, funcion,dominio y rango.
VARIABLE:
-Es un símbolo que representa un valor cambiante dentro de una fórmula, ecuación o planteamiento lógico. -El termino <<variable>> se utiliza aun fuera del ambito matematico para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numericos dentro de un conjunto de numeros especificos
Existen dos tipos:-variable dependiente -variable independiente
Siguiente
funcion
variable dependiente
Una relación en la que a cada valor de entrada le corresponde un único valor de salida .
Son aquellas que cuya variación de su valor está sometida a otras variables , de modo que si cambia el valor de aquellas, también lo hace el de estas.
dominio
variable ndependiente
Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente ( ) que puede tener una relación o función.
Son aquellas que pueden ser manipuladas libremente , ya que la variación de su valor no está sujeta a ningún tipo de condiciones.
rango
relacion
Un conjunto de pares ordenados.
Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente ( ) que resultan de los valores del dominio.
(x , y)
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1.4.Funcion real de variable real y sus distintas representaciones(analitica,numerica,grafica y verbal.)
FUNCION:
Es una relacion entre dos conjuntos en la que a cada valor del primer conjunto,denominado DOMINIO,le corresponde un UNICO valor del segundo conjunto,denominado RECORRIDO.
Es toda aquella funcion definida de un subconjunto de los numeros reales,en el conjunto de de los numeros reales,tal que a cada elemento de le corresponde uno y solamente un elemento.
Funcion real de variable real:
Siguiente
VERBAL
ANALITICA
Es la descripción de la función en palabras.
Es la descripción de la función mediante una fórmula o ecuación.
Numérica (Tabla de valores)
f(x) = x²
Consiste en crear una tabla con pares ordenados (x, y) que satisfacen la función.
GRAFICA
Es la representación visual de la función en un plano cartesiano.
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1.5.Funciones algebraicas:polinomiales y racionales.
FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES
Es una expresión matemática que combina variables y coeficientes solo a través de suma, resta y multiplicación, donde los exponentes de la variable son números enteros no negativos.
Es aquella que viene dada por un cociente de polinomios
Son todas funciones continuas,como es facil deducir de sus graficas.
Estas tienen discontinuidades en aquellos puntos en los que se anula el denominador.
f(x) = c
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1.6.Funciones trascendentes:trigonometricas,logaritmicas y exponenciales
FUNCIONES TRASCENDENTES
Son funciones matemáticas que no se pueden expresar mediante un número finito de operaciones algebraicas(suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces).
Siguiente
Funciones Trigonometrícas
Son funciones que relacionan un ángulo con el valor de un lado de un triángulo rectángulo.
Asocia un ángulo a la razón de la longitud del cateto opuesto entre la hipotenusa. Asocia un ángulo a la razón de la longitud del cateto adyacente entre la hipotenusa. Asocia un ángulo a la razón de la longitud del cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Seno (sin x):
Coseno (cos x):
Tangente (tan x):
Siguiente
Funciones Exponenciales
Son funciones donde la variable independiente (x) se encuentra en el exponente, o sea, son potencias de una base constante.
f(x) = a^x, donde a es la base (un número real positivo y distinto de 1). Pueden crecer o decrecer muy rápidamente dependiendo del valor de la base.
Forma:
Características:
Siguiente
Funciones Logarítmicas
Son la función inversa de las exponenciales. Se definen como el logaritmo de un número, donde la variable está en el argumento.
f(x) = log_a(x), donde a es la base del logaritmo (a > 0, a ≠ 1). El argumento del logaritmo (x) debe ser siempre positivo (mayor que cero).
Forma:
Características:
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1.7.Funciones definidas por partes.
Es una función que se compone de múltiples subfunciones, cada una de las cuales se aplica a un intervalo específico del dominio de la función.
la regla o expresión matemática para calcular el valor de la función cambia según el intervalo de valores que tome la variable independiente x.
Siguiente
CARACTERISTICAS
Intervalos del dominio: El dominio de la función se divide en diferentes secciones o "partes". Reglas distintas: A cada intervalo se le asigna una fórmula o ecuación diferente para describir cómo se comporta la función en esa sección.
Notación específica: Se utilizan llaves y condiciones para definir los intervalos y las expresiones correspondientes,
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1.8.Operaciones con funciones: Adicion,sustraccion,multiplicacion, division y compocision.
permiten combinar dos o más funciones para crear una nueva función
ADICION:
Es la operacion en la cual se suman dos o mas numeros,denominados SUMANDOS
SUSTRACCION:
Es una operacion matematica que consiste en quitar o eliminar una cantidad de otra.Consiste en 3 partes:EL MINUENDO,EL SUSTRAENDO Y LA DIFERENCIA
Siguiente
MULTIPLICACION:
Es una operacion matematica que consiste en encontrar el resultado de multiplicar una cifra por otra.
DIVISION:
Es una de las operaciones basicas de la aritmetica y consiste en separar en partes iguales un total.Es decir,si tenemo una cantidad y queremos dividirla en partes iguales podemos utilizar la division para determinar cuantas partes iguales obtenemos y que cantidad corresponde a cada parte.
COMPOCISION:
En calculo es una operacion entre funciones que consisten en aplicar una funcion sobre el resultado de otra funcion.
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1.9.Transformaciones rigidas y no rigidas.
TRANSFORMACIONES
NO RIGIDAS
RIGIDAS
Son aquellas que conservan la forma y el tamaño de las figuras geometricas,solo cambian su pocision u orientacion.
Son aquellas que cambian el tamaño o la forma de las figuras,o ambas.
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1.10.Funciones pares,impares y ni par ni impar.
Función par:
Es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene la misma imagen que el valor opuesto.En simbolos:
f(x)=f(−x) para toda x del dominio
La gráfica de una función par cumple con la propiedad de ser simétrica respecto al eje y.
Función IMpar:
Es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene como imagen al opuesto de la imagen del valor opuesto. En símbolos:
f(x)=−f(−x) o equivalentemente f(−x)=−f(x) para toda x del dominio
Siguiente
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Función ni par ni IMpar:
Cuando no cumple ninguna de las condiciones de simetría. Esto significa que, al reemplazar 'x' por '-x' en la función, el resultado no es igual a la función original (f(x) = f(-x)) ni al negativo de la función original (f(-x) = -f(x)). En otras palabras, la función no tiene simetría respecto al eje y ni al origen.
La gráfica de una función que no es par ni impar no presenta simetría respecto al eje Y ni al origen.
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1.11.Funcion inyectiva,suprayectiva y biyectiva.
Función inyectiva:
Es la que dos elementos diferentes de un primer conjunto les corresponden otros dos elementos diferentes de un segundo conjunto.
DEFINICION FORMAL
Siguiente
1.11.Funcion inyectiva,suprayectiva y biyectiva.
Función suprayectiva
Se caracteriza porque el conjunto de llegada coincide con el rango, es decir, una función cuya imagen es igual a su codominio.
DEFINICION FORMAL
Siguiente
1.11.Funcion inyectiva,suprayectiva y biyectiva.
Función biyectiva
Cuando todas las imágenes tienen una sola pre-imagen y no existen elementos del codominio que no tengan una pre.imagen.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
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1.12.La funcion inversa.
también llamada recíproca es aquella que cumple CON que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función.
Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función;
La Función inversa será;
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1.13.La funcion implicita.
Es aquella función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente y no aparece despejada. Dicho de otra manera, aquella función que se expresa mediante una igualdad en la forma:
f(x,y)=0
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1.14.Formulacion de funciones como modelos matematicos en diferentes contextos.
Consiste en representar una situacion real con una expresion matematica que relaciona dos o mas variables.Basicamente implica definir variables, establecer relaciones entre ellas mediante ecuaciones o funciones y luego interpretar los resultados en el contexto del problema real. Este proceso permite comprender, predecir y optimizar el comportamiento de fenómenos en diversas áreas, como la ingeniería, la economía o la física.
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1.15.Modelacion de fenomenos(fisicos,quimicos,economicos...)como funciones.
Un modelo de fenomenos es una representacion simplificada de un objeto o proceso que ocurre en la naturaleza,usando el lenguaje matematico.Una funcion es una relacion entre dos conjuntos de valores,que asigna a cada valor del primer conjunto un unico valor del segundo conjunto. Estos permiten describir el comportamiento de un fenomeno en terminos de VARIABLES que dependen unas de otras.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
-Fisicalab | Web de física y matemáticas. (s. f.). Fisicalab. https://www.fisicalab.com/-Studocu | Web de calculo vectorial.(s.f.).Studocu.https://www.studocu.com/es-mx/document/instituto-tecnologico-superior-de-tantoyuca/calculo-vectorial/funciones
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¡MUCHAS GRACIAS!
POR SU ATENCION...
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TEMARIO
Jocelyn Acosta Mejia
Created on September 18, 2025
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CALCULO DIFERENCIAL
TEMARIO
BLOQUE I
FUNCIONES
Presentado por la alumna:
Acosta Mejia Mara Jocelyn
Indice
ELIJE EL LIBRO DEL TEMA QUE DESEAS CONSULTAR
1.1.Los numeros reales y sus subconjuntos
1.2.Intervalos en los reales y su representacion grafica.
1.3.Definiciones basicas:variable(dependiente e independiente),relacion,funcion,dominio y rango.
1.4.Funcion real de variable real y sus distintas representaciones(analitica,numerica,grafica y verbal.)
1.5.Funciones algebraicas:polinomiales y racionales.
1.3
1.1
1.2
1.6.Funciones trascendentes:trigonometricas,logaritmicas y exponenciales
1.7.Funciones definidas por partes.
1.8.Operaciones con funciones:Adicion,sustraccion,multiplicacion,division y compocision.
1.9.Transformaciones rigidas y no rigidas.
1.10.Funciones pares,impares y ni par ni impar.
1.11.Funcion inyectiva,suprayectiva y biyectiva.
1.12.La funcion inversa.
1.4
1.5
1.7
1.8
1.13.La funcion implicita.
1.6
1.14.Formulacion de funciones como modelos matematicos en diferentes contextos.
1.15.Modelacion de fenomenos(fisicos,quimicos,economicos...)como funciones.
1.9
1.13
1.11
1.12
1.15
1.14
1.10
1.1.Los numeros reales y sus subconjuntos
Son todos aquellos numeros que se pueden representar en una recta numerica. Estos se dividen en 4 secciones,si lo ponemos de esta manera:
I)LOS NUMEROS naturales ℕ
Son los numeros que usamos para contar: A veces, el cero tambien es incluido en este conjunto
1,2,3,4,5,6,7,8,9...
Siguiente
Ii)LOS NUMEROS ENTEROS ℤ
Iv)LOS NUMEROS Irracionales I
Incluyen a los numeros naturales,pero con la diferencia que igual a sus opuestos negativos y al cero:
Son aquellos números que no se pueden expresar como una fracción simple. Tienen una expansión decimal infinita y no periódica.
,-∞,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,∞...
Iii)LOS NUMEROS racionales ℚ
π (pi) y √2.
Son aquellos numeros que se pueden escribir como en una fraccion. Lo cual incluye fracciones y decimales finitos o periodicos.
Donde p y q son enteros y q no es cero.
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INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA:
Es el conjunto de los numeros reales formados por y los numeros comprendidos entre y .
a b
Notacion: a < x ≤ bDesigualdad: (a,b]
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA derecha:
Es el conjunto de los numeros reales formados por y los numeros comprendidos entre y .
a b
Notacion: a ≤ x < bDesigualdad: [a,b)
INTERVALOs infinitos:
Son todos los numeros mayores que o
a b .
infinito abierto porla derecha
infinito cerrado por la derecha
Notacion: x ≤ bDesigualdad: (-∞,b ]
Notacion: x < bDesigualdad: [a,∞)
Siguiente
infinito cerrado por la izquierda
Notacion: x ≤ bDesigualdad: (-∞,b ]
infinito abierto por la izquierda
Notacion: x < bDesigualdad: [a,∞)
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1.3.Definiciones basicas:variable (dependiente e independiente),relacion, funcion,dominio y rango.
VARIABLE:
-Es un símbolo que representa un valor cambiante dentro de una fórmula, ecuación o planteamiento lógico. -El termino <<variable>> se utiliza aun fuera del ambito matematico para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numericos dentro de un conjunto de numeros especificos
Existen dos tipos:-variable dependiente -variable independiente
Siguiente
funcion
variable dependiente
Una relación en la que a cada valor de entrada le corresponde un único valor de salida .
Son aquellas que cuya variación de su valor está sometida a otras variables , de modo que si cambia el valor de aquellas, también lo hace el de estas.
dominio
variable ndependiente
Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente ( ) que puede tener una relación o función.
Son aquellas que pueden ser manipuladas libremente , ya que la variación de su valor no está sujeta a ningún tipo de condiciones.
rango
relacion
Un conjunto de pares ordenados.
Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente ( ) que resultan de los valores del dominio.
(x , y)
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1.4.Funcion real de variable real y sus distintas representaciones(analitica,numerica,grafica y verbal.)
FUNCION:
Es una relacion entre dos conjuntos en la que a cada valor del primer conjunto,denominado DOMINIO,le corresponde un UNICO valor del segundo conjunto,denominado RECORRIDO.
Es toda aquella funcion definida de un subconjunto de los numeros reales,en el conjunto de de los numeros reales,tal que a cada elemento de le corresponde uno y solamente un elemento.
Funcion real de variable real:
Siguiente
VERBAL
ANALITICA
Es la descripción de la función en palabras.
Es la descripción de la función mediante una fórmula o ecuación.
Numérica (Tabla de valores)
f(x) = x²
Consiste en crear una tabla con pares ordenados (x, y) que satisfacen la función.
GRAFICA
Es la representación visual de la función en un plano cartesiano.
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1.5.Funciones algebraicas:polinomiales y racionales.
FUNCIONES POLINOMIALES
FUNCIONES RACIONALES
Es una expresión matemática que combina variables y coeficientes solo a través de suma, resta y multiplicación, donde los exponentes de la variable son números enteros no negativos.
Es aquella que viene dada por un cociente de polinomios
Son todas funciones continuas,como es facil deducir de sus graficas.
Estas tienen discontinuidades en aquellos puntos en los que se anula el denominador.
f(x) = c
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1.6.Funciones trascendentes:trigonometricas,logaritmicas y exponenciales
FUNCIONES TRASCENDENTES
Son funciones matemáticas que no se pueden expresar mediante un número finito de operaciones algebraicas(suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces).
Siguiente
Funciones Trigonometrícas
Son funciones que relacionan un ángulo con el valor de un lado de un triángulo rectángulo.
Asocia un ángulo a la razón de la longitud del cateto opuesto entre la hipotenusa. Asocia un ángulo a la razón de la longitud del cateto adyacente entre la hipotenusa. Asocia un ángulo a la razón de la longitud del cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Seno (sin x):
Coseno (cos x):
Tangente (tan x):
Siguiente
Funciones Exponenciales
Son funciones donde la variable independiente (x) se encuentra en el exponente, o sea, son potencias de una base constante.
f(x) = a^x, donde a es la base (un número real positivo y distinto de 1). Pueden crecer o decrecer muy rápidamente dependiendo del valor de la base.
Forma:
Características:
Siguiente
Funciones Logarítmicas
Son la función inversa de las exponenciales. Se definen como el logaritmo de un número, donde la variable está en el argumento.
f(x) = log_a(x), donde a es la base del logaritmo (a > 0, a ≠ 1). El argumento del logaritmo (x) debe ser siempre positivo (mayor que cero).
Forma:
Características:
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1.7.Funciones definidas por partes.
Es una función que se compone de múltiples subfunciones, cada una de las cuales se aplica a un intervalo específico del dominio de la función.
la regla o expresión matemática para calcular el valor de la función cambia según el intervalo de valores que tome la variable independiente x.
Siguiente
CARACTERISTICAS
Intervalos del dominio: El dominio de la función se divide en diferentes secciones o "partes". Reglas distintas: A cada intervalo se le asigna una fórmula o ecuación diferente para describir cómo se comporta la función en esa sección. Notación específica: Se utilizan llaves y condiciones para definir los intervalos y las expresiones correspondientes,
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1.8.Operaciones con funciones: Adicion,sustraccion,multiplicacion, division y compocision.
permiten combinar dos o más funciones para crear una nueva función
ADICION:
Es la operacion en la cual se suman dos o mas numeros,denominados SUMANDOS
SUSTRACCION:
Es una operacion matematica que consiste en quitar o eliminar una cantidad de otra.Consiste en 3 partes:EL MINUENDO,EL SUSTRAENDO Y LA DIFERENCIA
Siguiente
MULTIPLICACION:
Es una operacion matematica que consiste en encontrar el resultado de multiplicar una cifra por otra.
DIVISION:
Es una de las operaciones basicas de la aritmetica y consiste en separar en partes iguales un total.Es decir,si tenemo una cantidad y queremos dividirla en partes iguales podemos utilizar la division para determinar cuantas partes iguales obtenemos y que cantidad corresponde a cada parte.
COMPOCISION:
En calculo es una operacion entre funciones que consisten en aplicar una funcion sobre el resultado de otra funcion.
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1.9.Transformaciones rigidas y no rigidas.
TRANSFORMACIONES
NO RIGIDAS
RIGIDAS
Son aquellas que conservan la forma y el tamaño de las figuras geometricas,solo cambian su pocision u orientacion.
Son aquellas que cambian el tamaño o la forma de las figuras,o ambas.
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1.10.Funciones pares,impares y ni par ni impar.
Función par:
Es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene la misma imagen que el valor opuesto.En simbolos:
f(x)=f(−x) para toda x del dominio
La gráfica de una función par cumple con la propiedad de ser simétrica respecto al eje y.
Función IMpar:
Es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene como imagen al opuesto de la imagen del valor opuesto. En símbolos:
f(x)=−f(−x) o equivalentemente f(−x)=−f(x) para toda x del dominio
Siguiente
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Función ni par ni IMpar:
Cuando no cumple ninguna de las condiciones de simetría. Esto significa que, al reemplazar 'x' por '-x' en la función, el resultado no es igual a la función original (f(x) = f(-x)) ni al negativo de la función original (f(-x) = -f(x)). En otras palabras, la función no tiene simetría respecto al eje y ni al origen.
La gráfica de una función que no es par ni impar no presenta simetría respecto al eje Y ni al origen.
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1.11.Funcion inyectiva,suprayectiva y biyectiva.
Función inyectiva:
Es la que dos elementos diferentes de un primer conjunto les corresponden otros dos elementos diferentes de un segundo conjunto.
DEFINICION FORMAL
Siguiente
1.11.Funcion inyectiva,suprayectiva y biyectiva.
Función suprayectiva
Se caracteriza porque el conjunto de llegada coincide con el rango, es decir, una función cuya imagen es igual a su codominio.
DEFINICION FORMAL
Siguiente
1.11.Funcion inyectiva,suprayectiva y biyectiva.
Función biyectiva
Cuando todas las imágenes tienen una sola pre-imagen y no existen elementos del codominio que no tengan una pre.imagen.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
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1.12.La funcion inversa.
también llamada recíproca es aquella que cumple CON que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función.
Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función;
La Función inversa será;
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1.13.La funcion implicita.
Es aquella función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente y no aparece despejada. Dicho de otra manera, aquella función que se expresa mediante una igualdad en la forma:
f(x,y)=0
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1.14.Formulacion de funciones como modelos matematicos en diferentes contextos.
Consiste en representar una situacion real con una expresion matematica que relaciona dos o mas variables.Basicamente implica definir variables, establecer relaciones entre ellas mediante ecuaciones o funciones y luego interpretar los resultados en el contexto del problema real. Este proceso permite comprender, predecir y optimizar el comportamiento de fenómenos en diversas áreas, como la ingeniería, la economía o la física.
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1.15.Modelacion de fenomenos(fisicos,quimicos,economicos...)como funciones.
Un modelo de fenomenos es una representacion simplificada de un objeto o proceso que ocurre en la naturaleza,usando el lenguaje matematico.Una funcion es una relacion entre dos conjuntos de valores,que asigna a cada valor del primer conjunto un unico valor del segundo conjunto. Estos permiten describir el comportamiento de un fenomeno en terminos de VARIABLES que dependen unas de otras.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
-Fisicalab | Web de física y matemáticas. (s. f.). Fisicalab. https://www.fisicalab.com/-Studocu | Web de calculo vectorial.(s.f.).Studocu.https://www.studocu.com/es-mx/document/instituto-tecnologico-superior-de-tantoyuca/calculo-vectorial/funciones
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¡MUCHAS GRACIAS!
POR SU ATENCION...
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