Modèles définis par des fonctions

Modèles définis par des fonctions

Module pour trotinette

Création d'un sentier

Drochon Clara, Marchais Claire et Coutand Célia

Après C

C ( 10; ?) et la fonction sous forme e^(a-x)

• Graphiquement on peut trouver que q(10)=1. Puisque 1 = e^0, on est en capacité de résoudre l'équation q(10)=1 afin d'obtenir a et donc l'expression de la fonction q(x)=e^10-x.
• Pour vérifier le raccordement au point C, on cherche la dérivée de q(x). on trouve donc : q'(x)= -e^10-x

• Vérifier à l'aide du menu graph de la calculatrice si toutes les expréssions se raccorde

Entre B et C

B (9;?)

• Une fonction affine a pour expression mx+p, donc g(x)= mx+p
• Graphiquement on peut trouver que g(9)=2, et à l'aide de la formule m=(yc-yb)/(xc- xb), on obtient le coefficient directeur m=-1.
• Avec ces deux informations on peut trouver l'ordonnée à l'origine p, en faisant une équation. On a alors la fonction affine g(x)=-x+11

Entre 0 et A

h(x)=ax^3+bx^2+cx+d

• Graphiquement on peut lire que h(0)=0 et h(7)=2, de plus on peut calculé que h'(0)=0 et que puisque la fonction h soit être raccorder à la fonction f h'(7)=f'(7) et donc h'(7)=1

• A l'aide de la valeur h(0) on peut déterminer d, grâce à h'(0) celle de c, et enfin avec l'appui de h(7) et h'(7) on obtient un système à résoudre:

343a+49b=2 147a+14b=1Cela nous permet de trouver a et b où a=3/343 et b=-1/49

Entre A et B

A (7;2) et sommet de parabole (8;2,5)

• En utilisant la forme canonique f(x)= a(x-α)^2+β, on peut utilisé les coordonnées du sommet pour trouver α et β de l'expression de la fonction f : f(x)= a(x-8)^2+2,5
• Et grâce aux coordonnées de A, on peut retrouver le coefficient directeur a en faisant f(7)=2 et on obtient un a= -0,5

• On peut également faire la dérivé de f(x), cela servra par la suite. On trouve f'(x)= -x+8

Réalisation de la figure et conjecture

f(x)=-0,08x^2+32 et g(x)=((a-40)/(a+20)^2)x^2 -1,44(a-40)

• Après avoir créer le curseur a et les fonction g et f, tracer des droites parrallèles et perpendiculaire afin de pouvoir créer le rectangle par la suite avec le menu polygone.
• Conjecturer l'aire la plus grande avec le curseur a=10.

Dimension et Aire en fonction de a

g(x)=((a-40)/(a+20)^2)x^2 -1,44(a-40)

• Afin de trouver les dimensions du rectangle, il faut utiliser la fonction g.
• Pour la hauteur on calcul g(0) qui revient à chercher l'ordonnée du point c et on obtient g(0)=1,44a+57,6
• Pour la largeur, on cherche quels sont les antécédants qui donne 0,c"st à dire t g(x)=0 et on trouve x1= 1,2(a+20) et x2=-1,2(a+20)
• Dans le but de trouver l'air, on utilise la formule A= L*h donc une double distributivité pour trouver du second degré entre la différence de x1 et x2 multiplié par g(0): A(a)=-3,456a^2+69,12a+2764,8

Réponse au problème

définie sur [0;15]A(a)=-3,456a^2+69,12a+2764,8

• On remarque que le coefficient directeur est négatif donc sur [0;15] la fonction est croissante puis après le sommet est décroissante
• On calule ensuite alpha en utilisant la formule α=b/2a afin de trouver le sommet de la parabole (le maximum), on l'on retrouve notre conjecture qui était de 10.
• Pour conclure afin que le rectangle est une superficie maximale il faut que a dans la fonction A vaut 10, cela préserverais l'esthétique du lieu.