01. Límites. Matemáticas Aplicadas 2º BACH 25/26

01. Límites. Continuidad. Asíntotas

Matemáticas Aplicadas ás CCSS IIOlaya Fernández

Conceptos previos

Concepto de función Dominio de una función

Índice

Conceptos previos

Límites

Asíntotas

Continuidad

Concepto de función

• Una correspondencia es una relación entre dos conjuntos tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde ninguno, uno o varios elementos del segundo conjunto.
• Una función es una correspondencia tal que a cada valor del primer conjunto le corresponde un único valor del segundo conjunto.
• Por ejemplo, la relación que a cada hijo le hace corresponder su madre es una función, ya que cada hijo tiene una única madre.

Función real de variable real

Una función real 𝑓, de variable real es una relación que asocia a cada número real, 𝑥, un único número real 𝑦=𝑓(𝑥). Se puede expresar de esta forma:

La variable 𝑥 se denomina variable independiente y la variable 𝑦 es la variable dependiente.

Dominio de una función

Estudiaremos varios casos:

• Que la función sea un polinomio. 𝒇(𝒙)=𝑷(𝒙)

En este caso el dominio estará definido para todos los valores de 𝑥∈ℝ.

• Que la función sea un cociente de polinomios 𝒇(𝒙)=𝑷(𝒙)/𝑸(𝒙)

En este caso la función estará definida para todos los valores de 𝑥∈ℝ menos los que anulan el denominador, es decir, los que hacen que el denominador sea igual a 0.

Dominio de una función

Estudiaremos varios casos:

• Que la función sea una expresión polinómica bajo un signo radical. 𝑓(𝑥)=√(𝑃(𝑥)

En este caso el dominio estará definido para todos los valores de 𝑥∈ℝ tales que el que está bajo el signo radical sea mayor o igual que 0

Dominio de una función

Estudiaremos varios casos:

• Que la función sea logarítmica. 𝑓(𝑥)=log(P(x)

En este caso el dominio estará definido para todos los valores de 𝑥∈ℝ tales que la expresión dentro del logaritmo sea mayor que 0.

Límites

Límites en el infinitoLímites en un punto

Cálculo de límites en un punto

Si f(x) es una función elemental dada por su expresión analítica y está definida en el punto x=2, podemos hallar calculando

=2,5

Cálculo de límites en un punto

Límite del cociente de dos polinomios

Cálculo de límites en un punto

Límite del cociente de dos polinomios

Cálculo de límites en un punto

Límite del cociente de dos polinomios

Cálculo de límites en un punto

Límite del cociente de dos polinomios

Cálculo de límites en un punto

Límite del cociente de dos polinomios

Cálculo de límites en el infinito

Límite de un polinomio

El límite cuando 𝑥→∞ de una función polinómica es -∞ si el coeficiente del término de mayor grado es negativo

El límite cuando 𝑥→∞ de una función polinómica es +∞ si el coeficiente del término de mayor grado es positivo

Cálculo de límites en el infinito

Límite de un polinomio

Cálculo de límites en el infinito

Límite de funciones racionales

Cálculo de límites en el infinito

Indeterminación ∞-∞

Caso 1: Radicales en la expresión. Se multiplica por el conjugado.

Cálculo de límites en el infinito

Indeterminación ∞-∞

Caso 2: Diferencia de fracciones algebraicas, se realiza la operación

Continuidad

Tipos de discontinuidades

Continuidad de una función

Una función es continua en 𝑥=𝑐 si se cumplen las tres condiciones siguientes:

• Existe el límite de la función en 𝑥=𝑐.
• La función está definida en 𝑥=𝑐.
• El límite en 𝑥=𝑐 coincide con el valor de la función.

Continuidad de una función

Una función 𝑓 es continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo. Existen varios tipos de discontinuidad:

Asíntotas

Asíntota verticalAsíntota horizontal Asíntota oblicua

Asíntotas

Asíntota horizontal

Asíntota vertical

Asíntota oblicua