Presentación
MATEMÁTICAS APLICADAS C.C. S.S. II
Tema 1: Matrices y Determinantes
M.Inversa
Determinantes
Operaciones
Rango
Ecuaciones
Tipos
Matrices
1.- Concepto de Matriz
¿Qué tienen en común?
Se llama matriz a un conjunto de números ordenados por filas y columnas. Diremos que el orden de la matriz es nxm si tiene n filas y m columnas. Ejemplo:
-la primera es de orden 2x3, la segunda de orden 3x1 y la última de orden 2x2. -los números que la forman se les llama elementos de la matriz aij
El primero que utilizó el término de matriz fue el matemático J. J. Sylvester en 1848, aunque fue su colega Cayley quien creó la notación matricial diez años más tarde. Sin embargo, las matrices se utilizaban desde siglos antes.
Ejercicio Escribe una matriz cualquiera con los números que quieras pero que sea: De orden 3x2. De orden 1x5. De orden 4x3.
2.- Tipos de Matrices
Y También: M. nula M. traspuesta M. Simétrica
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Test
3.-Operaciones con matrices
A) Suma y resta Para poder sumar dos matrices, las dos deben tener el mismo número de filas y el mismo número de columnas, es decir, las dos deben tener el mismo orden.
El resultado de sumar dos matrices A y B de orden nxm va a ser otra matriz de orden nxm de forma que el elemento que se encuentra en la posición ij es el resultado de sumar el elemento aij con el elemento bij.
Ejemplos
B) Producto de matrices i)Producto por un escalar Multiplicamos el número real k por cada uno de los elementos de A.
ii)Producto en general Si tenemos dos matrices A de orden nxm y B de orden pxq, el producto es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando de forma ordenada cada fila de la matriz A por todas las columnas de la matriz B.
Ejemplos
IMPORTANTE:- Para que se pueda realizar el producto debe ser m=p- El orden de la matriz resultante es nxq-La matriz Identidad es el elemento Unidad en el producto de matrices
ejercicios
C)Propiedades del producto de matrices:
1. A·(B·C) = (A·B)·C (asociativa) 2. El producto de matrices en general no es conmutativo 3. A·(B + C) = A·B + A·C (distributiva) 4. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
D) Potencias de matrices
Ejercicios
4.-Determinante de una matriz cuadrada
Es un número que se asocia a dicha matriz y que nos va a permitir, por ejemplo, saber si la matriz tiene o no inversa, o el número de soluciones de un sistema de ecuaciones.
Si tenemos una matriz su determinante se representa de distintas formas:podemos escribir det(A), |A| ó .
Cálculo de un determinante de orden dos
El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos los de la diagonal secundaria
Cálculo de un determinante de orden tres
-Regla de Sarrus
5.-Propiedades de los determinantes
- 1.-El determinante de una matriz es igual que el de su matriz traspuesta.
- 2.- Si intercambiamos dos líneas de un determinante, el determinante cambia de signo.
- 3.-Un determinante con una línea formada por ceros es siempre nulo.
- 4.-Un determinante con dos líneas paralelas iguales o proporcionales vale cero.
- 5.-Si una línea de un determinante es suma de líneas paralelas a ellas multiplicadas por números (lo que se llama una combinación lineal), el determinante es cero.
6.-Si multiplicamos una línea de undeterminante por un número, el valor del determinante queda multiplicado por ese número. 7.- Si todos los elementos de una línea son suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes. 8.-El determinante de un producto de dos matrices cuadradas, del mismo orden, es igual al producto de los determinantes de las dos matrices.
6.- Matriz Inversa
Dada una matriz A cualquiera, llamamos inversa de A a otra matriz que denotaremos por A-1 que cumple : A·A-1=A-1·A = IDonde I es la matriz identidad
Cálculo de la inversa de una matriz
'Dada una matriz A, la fórmula por la que podemos calcular la inversa de la matriz es:
Importante
-Para que una matriz tenga matriz inversa, debe ser una matriz cuadrada.-Para que A tenga inversa su determinante debe ser distinto de cero.
7.- Rango de una matriz
Se llama rango de una matriz A al número de filas (o columnas) linealmente independientes. Se representa por rg (A). En cualquier matriz el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes.
a)Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.
- Para ello triangularizamos la matriz y el rango coincide con el número de filas que tienen algún elemento distinto de cero.
b)Cálculo del rango de una matriz por los menores
El rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos
8.- Ecuaciones Matriciales
Si A es una matriz cuadrada nxn cuya inversa es A-1y si X es una matriz incógnita y B una matriz conocida, ambas con n filas, entonces la solución de la ecuación matricial AX=Bviene dada por: X=A-1·B
Ejercicios
MATEMÁTICAS APLICADAS C.C. S.S. II
Chema Sanchez
Created on September 11, 2025
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Presentación
MATEMÁTICAS APLICADAS C.C. S.S. II
Tema 1: Matrices y Determinantes
M.Inversa
Determinantes
Operaciones
Rango
Ecuaciones
Tipos
Matrices
1.- Concepto de Matriz
¿Qué tienen en común?
Se llama matriz a un conjunto de números ordenados por filas y columnas. Diremos que el orden de la matriz es nxm si tiene n filas y m columnas. Ejemplo:
-la primera es de orden 2x3, la segunda de orden 3x1 y la última de orden 2x2. -los números que la forman se les llama elementos de la matriz aij
El primero que utilizó el término de matriz fue el matemático J. J. Sylvester en 1848, aunque fue su colega Cayley quien creó la notación matricial diez años más tarde. Sin embargo, las matrices se utilizaban desde siglos antes.
Ejercicio Escribe una matriz cualquiera con los números que quieras pero que sea: De orden 3x2. De orden 1x5. De orden 4x3.
2.- Tipos de Matrices
Y También: M. nula M. traspuesta M. Simétrica
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3.-Operaciones con matrices
A) Suma y resta Para poder sumar dos matrices, las dos deben tener el mismo número de filas y el mismo número de columnas, es decir, las dos deben tener el mismo orden.
El resultado de sumar dos matrices A y B de orden nxm va a ser otra matriz de orden nxm de forma que el elemento que se encuentra en la posición ij es el resultado de sumar el elemento aij con el elemento bij.
Ejemplos
B) Producto de matrices i)Producto por un escalar Multiplicamos el número real k por cada uno de los elementos de A.
ii)Producto en general Si tenemos dos matrices A de orden nxm y B de orden pxq, el producto es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando de forma ordenada cada fila de la matriz A por todas las columnas de la matriz B.
Ejemplos
IMPORTANTE:- Para que se pueda realizar el producto debe ser m=p- El orden de la matriz resultante es nxq-La matriz Identidad es el elemento Unidad en el producto de matrices
ejercicios
C)Propiedades del producto de matrices:
1. A·(B·C) = (A·B)·C (asociativa) 2. El producto de matrices en general no es conmutativo 3. A·(B + C) = A·B + A·C (distributiva) 4. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
D) Potencias de matrices
Ejercicios
4.-Determinante de una matriz cuadrada
Es un número que se asocia a dicha matriz y que nos va a permitir, por ejemplo, saber si la matriz tiene o no inversa, o el número de soluciones de un sistema de ecuaciones.
Si tenemos una matriz su determinante se representa de distintas formas:podemos escribir det(A), |A| ó .
Cálculo de un determinante de orden dos
El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos los de la diagonal secundaria
Cálculo de un determinante de orden tres
-Regla de Sarrus
5.-Propiedades de los determinantes
6.-Si multiplicamos una línea de undeterminante por un número, el valor del determinante queda multiplicado por ese número. 7.- Si todos los elementos de una línea son suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes. 8.-El determinante de un producto de dos matrices cuadradas, del mismo orden, es igual al producto de los determinantes de las dos matrices.
6.- Matriz Inversa
Dada una matriz A cualquiera, llamamos inversa de A a otra matriz que denotaremos por A-1 que cumple : A·A-1=A-1·A = IDonde I es la matriz identidad
Cálculo de la inversa de una matriz
'Dada una matriz A, la fórmula por la que podemos calcular la inversa de la matriz es:
Importante
-Para que una matriz tenga matriz inversa, debe ser una matriz cuadrada.-Para que A tenga inversa su determinante debe ser distinto de cero.
7.- Rango de una matriz
Se llama rango de una matriz A al número de filas (o columnas) linealmente independientes. Se representa por rg (A). En cualquier matriz el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes.
a)Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss.
- Para ello triangularizamos la matriz y el rango coincide con el número de filas que tienen algún elemento distinto de cero.
b)Cálculo del rango de una matriz por los menores
El rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos
8.- Ecuaciones Matriciales
Si A es una matriz cuadrada nxn cuya inversa es A-1y si X es una matriz incógnita y B una matriz conocida, ambas con n filas, entonces la solución de la ecuación matricial AX=Bviene dada por: X=A-1·B
Ejercicios