5Leçon n°1 Arithmétique

Leçon n°1 Arithmétique

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I. Multiples et diviseurs

1) La division euclidienne

Définition : a et b désignent deux nombres entiers positifs. Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver deux nombres entiers q et r tels que : a = b × q + r avec r < b q s’appelle le quotient entier et r le reste.

2) Diviseurs et multiples

Définitions : • On dit que b est un diviseur de a (ou que a est divisible par b) si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0. • b est un diviseur de a signifie qu’il existe un entier k tel que : a = b × k. • a est dans la table de multiplication de b et de k. • On dit alors que a est un multiple de b et de k.

3) Critères de divisibilité

• Un nombre entier est divisible par 2 s'il est pair c'est à dire si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. • Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. • Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. • Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

4) trouver la liste de tous les diviseurs d'un nombre

On décompose cet entier sous la forme de produits de deux nombres entiers. Etablir la liste des diviseurs de 28 ; 49 et 59.

28 = 1 × 28 = 2 × 14 = 4 × 7 Les diviseurs de 28 sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28.

49 = 1 × 49 = 7 × 7 Les diviseurs de 49 sont 1 ; 7 ; 49. 59 = 1 × 59 Les diviseurs de 59 sont 1 ; 59.

II. Les nombres premiers

Définition : Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Voici la liste des 10 premiers nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.

Décomposition en produit de facteurs premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un nombre entier sous la forme d'un produit de nombres premiers. Elle permet de déterminer tous les diviseurs de ce nombre et de rendre irréductible des fractions.

Propriété : Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 admet une unique décomposition en produit de facteurs premiers.

Fin