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Module E : Leçon 2
École Virtuelle
Created on April 29, 2025
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Transcript
Module E : Les Statistiques
Mathématique 11
Leçon 2 : Les intervalles de confiance
Commencer
Didactic Unit
Objectifs
C'est quoi que tu vas apprendre dans cette leçon ?
Objectifs
Introduction
Dans cette leçon, tu dois expliquer ce que signifient un intervalle de confiance, une marge d’erreur et un niveau de confiance, et utiliser ces éléments pour comprendre ou évaluer ce que les données nous disent.
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
N'oublie pas que tu as accès à l'Appui aux devoirs.
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
S2. interpréter des données statistiques, y compris : – des intervalles de confiance – des niveaux de confiance – la marge d’erreur.
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Introduction
Que vas-tu voir ici ?
N'as-tu jamais...
Dans cette leçon, tu vas apprendre à comprendre ce que veulent dire les intervalles de confiance, la marge d’erreur et le niveau de confiance. Tu vas voir comment ces éléments changent selon la taille de l’échantillon. Tu vas aussi apprendre à lire des sondages, à reconnaître ce qu’on peut vraiment conclure, et à trouver des exemples dans les médias. À la fin, tu seras capable de mieux comprendre les résultats d’un sondage et de les expliquer.
- cliqué sur une vidéo YouTube parce qu’on disait que « 90 % des gens l’ont aimée » ?
- remarqué qu’il y a « 60 % de chance de pluie » et te demandé ce que cela signifie vraiment ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Vocabulaire important
Voici des termes qui seront importants dans cette leçon.
Objectifs
Échantillon
Introduction
Niveaux de confiance
« Sans données, tu n’es qu’une autre personne avec une opinion. » — W. Edwards Deming
Vocabulaire
Les échantillons
Intervalles de confiance
La marge d'erreur
Aléatoire
Clique sur chaque terme pour en savoir plus.
L'intervalle de confiance
Marge d'erreur
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Les échantillons
Tu as vu à la Leçon 1 que des échantillons plus grandes offrent des statistiques plus précises et fiables.
Moyenne : 6,9 ans
Produit B
Objectifs
Produit A
Moyenne : 6,9 ans
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Ces tableaux représentent la durée de vie d’un produit semblable provenant de deux compagnies différentes. Lequel serais-tu plus porté à acheter ?
Produit B
Produit A
Didactic Unit
La marge d'erreur
Quand on fait un sondage, on ne parle pas à toute la population, mais seulement à un échantillon. Donc, on n’est jamais 100 % certain que le chiffre trouvé est exactement celui de toute la population. La marge d’erreur indique à quel point le résultat d’un sondage peut être légèrement plus élevé ou plus bas que ce qu’on a observé.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
Quand l'échantillion (n) est plus grand, la marge d'erreur est plus petite.
La marge d'erreur
Exemple 1
Pour calculer la marge d'erreur, tu peux utiliser la formule suivante ;
La marge d'erreur peut être calculée avec deux différentes formules ;
L'intervalle de confiance
Marge d'erreur = Z x 100
p(1-p) n
Clique ici pour savoir plus au sujet des variables.
Cette formule est utilisée quand tu travailles avec une probabilité.
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Marge d'erreur = Z
σ (n)
Cette formule est utilisée quand tu travailles avec une moyenne ou valeur.
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 1 : La marge d'erreur
1) Dans un sondage mené auprès de 1500 personnes, 82 % ont indiqué qu’ils préfèrent travailler à distance plutôt qu’au bureau. En utilisant un niveau de confiance de 95 %, représenté par une cote Z de 1,96, détermine la marge d’erreur pour ce pourcentage. 2) Dans la même enquête, les participants ont également indiqué le nombre d’heures qu’ils passent en télétravail chaque semaine. La moyenne observée est de 32,5 heures, avec un écart type de 6,8 heures. En gardant le même niveau de confiance, calcule la marge d’erreur pour cette estimation de la moyenne.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
Exemple 1
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Solution
Analyser des données
Conclusion
Explication
Didactic Unit
Les intervalles de confiance
Tu veux savoir combien d’élèves préfèrent les tacos aux hamburgers. Comme tu ne peux pas demander à tout le monde, tu sondes 100 élèves. Disons que 62 % choisissent les tacos. Est-ce que ça veut dire que 62 % de toute l’école pensent pareil ? Pas nécessairement. Ce chiffre est une estimation, et il y a toujours une part d’incertitude. C’est là que les intervalles de confiance sont utiles.
Les intervalles de confiance sont importants parce que :
- On ne sonde jamais toute la population (c’est trop long, trop cher).
- Par contre on veut quand même faire des conclusions fiables.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
Les étapes
Un intervalle de confiance, c’est un encadrement autour de ton estimation qui dit : « Je ne suis pas 100 % certaine, mais je suis assez confiante que la vraie réponse pour toute l’école est entre X % et Y %. » Par exemple : « Je suis confiante à 95 % que entre 58 % et 66 % des élèves préfèrent les tacos. »
Exemple 2
Pratique guidée 1
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Les intervalles de confiance
Pour trouver l’intervalle de confiance, tu prends ton estimation, puis tu ajoutes et tu soustrais la marge d’erreur. Par exemple : Ton estimation est 62 %. Ta marge d’erreur est 5 %.
Objectifs
Voici comment tu peux l'exprimer ; « On est confiant à 95 % que la proportion de personnes qui préfèrent les tacos se situe entre 57 % et 67 %. »
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
Tu fais :62 – 5 = 57et 62 + 5 = 67 Donc, l’intervalle de confiance est entre 57 % et 67 %.
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
Visionne la vidéo à droite pour apprendre comment les intervalles de confiance sont utilisés dans la prise de décisions.
Les étapes
Exemple 2
Pratique guidée 1
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 2 : Les intervalles de confiance
Parmi 180 élèves interrogés, 4 % disent qu’ils dessinent ou peignent chaque semaine pour le plaisir. Trouve l’intervalle de confiance à 90 %.(Z = 1,65)
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
Les étapes
Exemple 2
Pratique guidée 1
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Solution
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Pratique guidée 1
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
Les étapes
Exemple 2
Pratique guidée 1
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Les niveaux de confiances
Le niveau de confiance indique à quel point on est sûr que notre intervalle de confiance contient la vraie proportion (ou moyenne) de toute la population.Par exemple, un niveau de confiance de 95 % veut dire :« On est 95 % sûr que la vraie réponse est dans cet intervalle. »
Objectifs
Introduction
Dans la Leçon 1, tu as vu que les données peuvent suivre une courbe en cloche qu’on appelle la distribution normale. Cette courbe montre que la plupart des données sont proches de la moyenne, qui est au centre. Plus on s’éloigne du centre, plus les valeurs sont rares. Les écarts types (σ) nous aident à voir jusqu’à quel point les données sont dispersées. Quand on parle de niveau de confiance, on utilise cette courbe pour décider combien d’écarts types (appelés cotes Z) on garde de chaque côté de notre estimation. Par exemple, une cote Z de 1,96 donne un intervalle qui couvre 95 % des cas, donc on est 95 % sûr que la vraie réponse est là-dedans.
Vocabulaire
Le lien entre niveau de confiance et cote z
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Exemple 3
Pratique guidée 2
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 3 : Les niveaux de confiance
Un sondage auprès de 120 élèves montre que 78 % d’entre eux préfèrent écouter de la musique en étudiant. Quel serait l’intervalle de confiance si l’on voulait exprimer les résultats avec un niveau de confiance de 68 % ?
Objectifs
Objectifs
Introduction
Introduction
Vocabulaire
Vocabulaire
Les échantillons
Les échantillons
La marge d'erreur
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Niveaux de confiance
Exemple 3
Exemple 3
Pratique guidée 2
Pratique guidée 2
Tableaux cotes Z
Tableaux cotes Z
Solution
Analyser des données
Analyser des données
Explication
Conclusion
Conclusion
Didactic Unit
Pratique guidée 2
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Exemple 3
Pratique guidée 2
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
La cote Z
Z =
x - μ
= -2,5
Revenons à notre exemple de leçon 1...
Un producteur de pommes récolte des pommes qui suivent une distribution normale en poids.
- Moyenne : 180 g
- Écart type : 10 g
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
L'intervalle de confiance
On sait que 155 g se situe à –2,5 écarts types de la moyenne. Mais quel pourcentage des valeurs se trouve à gauche de ce point ? Pour certains écarts types courants, on connaît les pourcentages approximatifs. Pour des valeurs plus précises, on peut utiliser un tableau de cotes Z pour trouver le pourcentage correspondant.
Vidéo
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Tableau de cotes Z
Exemple 4
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 4 : Le tableau des cotes Z
Un fabricant de piles rechargeables affirme que la durée de vie de ses piles suit une distribution normale avec une moyenne de 500 cycles et un écart type de 50 cycles.Quelle est la probabilité qu’une pile dure plus de 620 cycles ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
La marge d'erreur
Solution
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Exemple 4
Analyser des données
Conclusion
Explication
Didactic Unit
L'analyse des données
50 élèves étaient sondés pour voir combien d'heures qu'ils dépensent sur les médias sociaux quotidiennement. Voici les résultats :
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les échantillons
Que peux-tu sortir de ces données et déclarer avec une confiance de 95% ?
La marge d'erreur
Visionne ces vidéos pour apprendre comment faire l'analyse des données bruts.
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Analyser des données
Conclusion
Didactic Unit
Voici les grandes idées que tu aurais dû apprendre dans cette leçon ;
Un intervalle de confiance donne une estimation, pas une certitude. Il montre une étendu de valeurs autour d’un résultat où la vraie valeur a de fortes chances de se trouver.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Un grand échantillon donne une marge d’erreur plus petite. Plus il y a de données, plus le résultat est précis.
Les échantillons
La marge d'erreur
La cote Z montre l’éloignement d’un résultat par rapport à la moyenne. Elle aide à estimer la probabilité qu’un résultat se produise.
L'intervalle de confiance
Niveaux de confiance
Tableaux cotes Z
Voici un peu de pratique en avance de ta leçon.
As-tu des questions ? Communique avec ton enseignant !
Analyser des données
Conclusion
Rends-toi à la révision sur la feuille d'accompagnement.
Produit A
Il y a beaucoup moins de données et il y a beaucoup plus de variété dans les valeurs. Je serais moins apte à acheter ce produit basé sur ces données.
p = la proportion d’un groupe qui possède une certaine caractéristique. Cette valeur est exprimée sous forme décimale (ex. 60% = 0,6). σ = l'écart type Z = la côte Z n = taille de l’échantillon
Solutionécrite
Produit B
Il y a plus de données et les valeurs sont plus constantes. Je serais plus apte à acheter ce produit basé sur ces données.
Échantillon
Définition : Sous-groupe d’une population utilisé pour recueillir des données. Exemple : 500 élèves choisis au hasard dans une école de 2000.
Un niveau de confiance de 95 % veut dire qu’on est presque sûr (dans 95 cas sur 100) que le vrai résultat dans toute la population est près de celui trouvé (comme 82 %). Ce n’est pas une certitude totale, car le chiffre vient d’un échantillon, donc il y a une marge d’erreur. On utilise le niveau de confiance pour exprimer notre certitude, tout en acceptant qu’il peut y avoir une petite variation.
Solutionécrite
Niveaux de confiance
Définition : Probabilité (généralement 90 %, 95 % ou 99 %) que l’intervalle de confiance contienne la vraie valeur de la population. Exemple : Un niveau de confiance de 95 % signifie qu’on est 95 % sûr que l’intervalle est juste.
Dans une distribution normale (en cloche), les intervalles de confiance courants sont liés au nombre d’écarts types : 68 % des données se trouvent à ±1 écart type de la moyenne 95 % → ±1,96 écarts types 99,7 % → ±3 écarts types
Solutionécrite
Combien d'heures dépenses-tu par jour sur les médias sociaux ?
50 élèves ont été posés cette question, voici leurs réponses.
Marge d'erreur
Définition : Variation maximale possible entre la statistique d’un échantillon et la vraie valeur de la population. Exemple : ±3 % veut dire que le pourcentage réel peut être 3 % plus bas ou plus haut.
Intervalles de confiance
Définition : Plage de valeurs dans laquelle la valeur réelle de la population est susceptible de se trouver. Exemple : [55 %, 61 %] signifie qu’on estime que le vrai taux est compris dans cet intervalle.
Aléatoire
Définition : Un événement ou une sélection est aléatoire lorsqu’il est fait au hasard, sans biais ni préférence, de sorte que chaque élément a une chance égale d’être choisi. Exemple : Dans un sondage, si on choisit 100 personnes au hasard parmi tous les élèves d’une école, on dit que l’échantillon est aléatoire. Cela signifie que chaque élève a eu la même probabilité d’être sélectionné.
620 cycles, c’est 120 cycles de plus que la moyenne. Puisque l’écart type est de 50 cycles, on peut diviser 120 par 50 pour déterminer combien d’écarts types séparent 620 de la moyenne. Z = 120 cycles / 50 cycles = + 2,4