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Module E - Leçon 1
École Virtuelle
Created on April 15, 2025
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Transcript
Module E : Les STATISTIQUES
Mathématique 11
Leçon 1 : La distribution normale
Commencer
Didactic Unit
Objectifs
C'est quoi que tu vas apprendre dans cette leçon ?
Objectifs
Introduction
Dans cette leçon, tu dois expliquer ce qu’est une distribution normale, ce que représente l’écart type et comment utiliser une cote Z pour décrire la position d’une donnée dans un ensemble. Tu utiliseras ces concepts pour interpréter ou comparer des données dans des situations concrètes.
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
S1. Démontrer une compréhension de distribution normale, y compris : – l’écart type – les cotes Z.
68-95-99,7
La cote Z
N'oublie pas que tu as accès à l'Appui aux devoirs.
Conclusion
Didactic Unit
Introduction
Que vas-tu voir ici ?
N'as-tu jamais...
Dans cette leçon, tu apprendras à décrire et comparer des données à l’aide d’une courbe en cloche appelée distribution normale. Tu verras comment la moyenne et l’écart type aident à comprendre les résultats, et comment estimer combien de données se trouvent dans un certain intervalle.
- regardé si ta taille est normale pour ton âge ?
- voulu savoir si ton résultat à un test est bon comparé aux autres ?
- voulu savoir comment ils font des sondages d'opinion pendant une élection ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Vocabulaire important
Voici des termes qui seront importants dans cette leçon.
Moyenne
Objectifs
Écart type
Introduction
Distribution normale
Vocabulaire
Cote Z (score Z)
Révision
Activité d'introduction
Les symboles :
μ - Moyenneσ - Écart type
Z - Cote Z
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
Clique sur chaque terme pour en savoir plus.
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Révision
Repassons des concepts clés en statistiques:
C'est quoi que j'ai besoin de savoir pour commencer à traiter des données ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
C'est quoi les statistiques ?
Révision
Activité d'introduction
Comment calculer une moyenne
La moyenne
L'écart-type
C'est quoi le logiciel Google Sheets
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Activité d'introduction
Deux classes ont fait un test. Voici leurs résultats. À ton avis, quelle classe a mieux réussi?
Objectifs
Considère ces questions
- Est-ce qu’un élève avec une note très haute ou très basse change ton opinion?
- Est-ce que les résultats des élèves dans chaque classe se ressemblent ou sont très différents?
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
Classe A a mieux réussi
68-95-99,7
Je pense que...
La cote Z
Classe B a mieux réussi
Conclusion
Didactic Unit
La moyenne
Comment peut-on comparer ces deux groupes ?
Imagine que tu veux savoir comment une classe a performé à un test. Si tu regardes seulement chaque note une par une, c’est difficile de te faire une idée. Mais si tu additionnes toutes les notes et que tu les divises également entre tous les élèves, tu obtiens une valeur moyenne. La moyenne est une façon de résumer un ensemble de données avec une seule valeur représentative. Elle nous donne une idée générale de la performance du groupe dans son ensemble.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
Calculons les moyennes des deux classes :
La moyenne
Classe A :
70+71+69+72+68
L'écart-type
Les deux groupes ont la même moyenne. Mais... est-ce qu’ils ont vraiment eu les mêmes performances?
= 70
Distribution normale
Classe B :
90+50+75+65+70
68-95-99,7
= 70
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
La moyenne
Limite de la moyenne
Même si les moyennes sont identiques, la façon dont les notes sont réparties peut être très différente.
- Classe A : les notes sont regroupées près de 70 → groupe stable, résultats constants.
- Classe B : des notes très éloignées les unes des autres → groupe inégal, performance plus variable.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne est utile pour comparer des groupes. Elle nous dit où se situe le centre des résultats. Mais seule, elle ne raconte pas toute l’histoire. Pour juger de la performance ou de la régularité d’un groupe, on a besoin de plus qu’un simple chiffre. C’est là qu’on introduit l’écart type : il nous aide à voir à quel point les données sont proches ou éloignées de la moyenne.
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
L'écart-type
Pourquoi on veut mesurer l’écart?
Quand on a un groupe de données (ex : les notes d’un test), on veut savoir :
- Est-ce que tout le monde est proche de la moyenne?
- Ou est-ce que les résultats sont très différents les uns des autres?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
L'écart-type
Calculer l'écart-type (On va prendre l'exemple de la classe A)
Étape 1 : Calculer la moyenne
Objectifs
Classe A :
70+71+69+72+68
Introduction
= 70
Vocabulaire
Révision
Étape 2 : Calculer l’écart de chaque valeur par rapport à la moyenne
Activité d'introduction
On soustrait la moyenne de chaque valeur.
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
L'écart-type
Étape 3 : Élever chaque écart au carré
Pourquoi au carré? Pour rendre toutes les distances positives (sinon les valeurs négatives s’annulent).
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
Étape 4 : Faire la moyenne des écarts au carré
Additionner tous les écarts au carré, puis diviser.
68-95-99,7
La cote Z
Classe A :
0 + 1 + 1 + 4 + 4
= 2
Conclusion
Didactic Unit
L'écart-type
Étape 5 : Faire la racine carrée du résultat
La dernière étape : prendre la racine carrée pour revenir à l’unité d’origine (ici, les points du test).
Objectifs
Introduction
√2 ≈ 1,41
Vidéo
Vocabulaire
Révision
Donc, l’écart type est environ 1,41 points pour cet ensemble de notes.
Activité d'introduction
La moyenne
Maintenant, tu vas calculer l'écart-type de la classe B. Utilise le docs ci-dessous pour pratiquer les calcules.
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
Pratique guidée
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
L'écart-type : Résumé
Voici un résumé des étapes pour calculer l’écart type d’un échantillon :
- Trouve la moyenne (additionne tous les nombres, puis divise par le nombre de données).
- Soustrais la moyenne de chaque donnée (pour voir l’écart entre chaque valeur et la moyenne).
- Élève chaque écart au carré (pour éviter les signes négatifs).
- Fais la moyenne des carrés des écarts (somme des carrés ÷ n−1, si c’est un échantillon).
- Prends la racine carrée du résultat : c’est l’écart type.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Distribution normale
Maintenant qu’on comprend comment mesurer la variation des données avec l’écart type, on peut aller plus loin : distribution normale.Une distribution normale est une façon naturelle dont les données se répartissent autour d’une moyenne. Elle ressemble à une cloche symétrique (voir les images ci-dessous)
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
ou
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Distribution normale
2 caractéristiques importantes
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
1. Moyenne
- La moyenne se trouve au centre exacte de la courbe
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
MOYENNE
L'écart-type
2. Forme symétrique
- Les données sont également réparties de chaque côté de la moyenne.
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Distribution normale
Où peux-je voir la distribution normale en action?
La distribution normale se trouve partout quand on sait ce que l'on cherche. Voici quelques exemples :
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Taille des humains
Résultats de tests standardisés
Révision
Activité d'introduction
Temps pour courir un 100 mètres
Les résultats d'un grand nombre de tire de deux dés
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
Taux d'absentéisme à l'école
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Pratique guidée
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
La règle des 68-95-99,7
Les données sont réparties dans une courbe normale selon la règle 68-95-99,7.
- 68 % des données se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne.
- 95 % des données se trouvent environ à deux écarts types.
- 99,7 % des données se trouvent environ à trois écarts types.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
μ (prononcer mu) : moyenne σ (prononcer sigma) : écart-type
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
La règle des 68-95-99,7
Voici un exemple :
Si que les résultats d'un test suit une loi normale et que la moyenne (μ) des notes d’un test est 70 et que l’écart type (σ) est 10, ça voudrait dire que :
- Environ 68 % des élèves ont une note entre 60 et 80.
- Environ 95 % sont entre 50 et 90.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
- Presque tous les élèves (99,7 %) sont entre 40 et 100.
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
Vidéo
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
La règle des 68-95-99,7
Pratiquons ensemble 1 :
Un producteur de pommes récolte des pommes qui suivent une distribution normale en poids.
- Moyenne : 180 g
- Écart type : 10 g
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
Pratique guidée
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
La règle des 68-95-99,7
Pratiquons ensemble 2 :
Un producteur de pommes récolte des pommes qui suivent une distribution normale en poids.
- Moyenne : 180 g
- Écart type : 10 g
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
Pratique guidée
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
La cote Z
La cote Z mesure combien d’écarts types une valeur est au-dessus ou en dessous de la moyenne. C'est utile par ce que :
Objectifs
- Ça nous aide à comparer des données, même quand elles viennent de différentes situations.
- Ça permet de savoir si une valeur est "typique" ou "exceptionnelle".
- C’est nécessaire pour lire une table de distribution normale et pour calculer des probabilités.
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
Voici la formule de la cote Z :
La moyenne
Variables : Z = cote Z x = valeur observée μ = moyenne σ = écart-type
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
La cote Z
Revenons à notre exemple
Un producteur de pommes récolte des pommes qui suivent une distribution normale en poids.
- Moyenne : 180 g
- Écart type : 10 g
Vidéo
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
Z =
x - μ
Ceci signifie que la pomme de 155g se trouve à environ -2,5 écarts types de la moyenne.
La moyenne
Z =
155 - 180
10
L'écart-type
Dans notre distribution normale, elle se trouvera environ ici.
Distribution normale
Z =
- 25
10
= -2,5
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Analyse des données brutes
Voici une base de données de la taille (en cm) de 25 élèves de 11e année, qui suit approximativement une distribution normale. Voici les résultats :
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Environ 68 % des élèves ont une hauteur comprise entre quelles deux valeurs ?
Activité d'introduction
La moyenne
Visionne la vidéo à droite pour apprendre comment faire l'analyse des données bruts.
L'écart-type
Distribution normale
68-95-99,7
La cote Z
Conclusion
Didactic Unit
Voici les grandes idées que tu aurais dû apprendre dans cette leçon ;
Reconnaître et décrire une distribution normale (courbe en cloche) et comprendre comment les données sont réparties autour de la moyenne. Utiliser l’écart type pour estimer combien de données se trouvent dans certains intervalles (ex. 68 %, 95 %, 97,5). Calculer une cote Z pour savoir à quel point une valeur est loin de la moyenne, en nombre d’écarts types.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
Activité d'introduction
La moyenne
L'écart-type
Distribution normale
Voici un peu de pratique en avance de ta leçon.
As-tu des questions ? Communique avec ton enseignant !
68-95-99,7
Rends-toi à la révision sur la feuille d'accompagnement.
La cote Z
Conclusion
Écart type
Mesure à quel point les données sont dispersées autour de la moyenne.
Moyenne
la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs
70+71+69+72+68
Exemple :
= 70
Combien d'heures dépenses-tu par jour sur les médias sociaux ?
50 élèves ont été posés cette question, voici leurs réponses.