Module D : Leçon 3

Module D : Les fonctions

Mathématique 11

Leçon 3 : Les fonctions quadratiques(Le sommet)

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Didactic Unit

Objectifs

C'est quoi que tu vas apprendre dans cette leçon ?

Objectifs

Introduction

Dans cette leçon, tu dois analyser et représenter des fonctions quadratiques, en trouvant leurs sommets et en expliquant leurs liens avec le graphique.

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Tracer le graphique

RF2. démontrer une compréhension des caractéristiques des fonctions quadratiques, y compris : le sommet, les coordonnées à l’origine, le domaine et l’image et l’axe de symétrie.

N'oublie pas que tu as accès à l'Appui aux devoirs.

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

Introduction

Que vas-tu voir ici ?

N'as-tu jamais...

Dans cette leçon, tu vas apprendre à trouver le sommet d’une parabole, à déterminer son axe de symétrie et à décrire le domaine et l’image d’une fonction quadratique. Tu utiliseras les zéros de la fonction pour t’aider à trouver l’axe de symétrie, puis le sommet. Tu verras aussi comment reconnaître si le sommet est un maximum ou un minimum, et comment l’orientation de la parabole influence les valeurs possibles de x et de f(x).

• voulu connaître la hauteur maximale atteinte par un objet lancé ?

• pensé à la façon dont les sauts des personnages sont programmés dans les jeux vidéo ?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Tracer le graphique

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

Vocabulaire important

Voici des termes qui seront importants dans cette leçon.

Objectifs

Le sommet

Introduction

L'axe de symétrie

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

L'abscisses à l'origine

La formecanonique

Domaine et image

Tracer le graphique

Clique sur chaque terme pour en savoir plus.

Développer l'équation

Visionne la vidéo pour apprendre des caractéristiques des paraboles.

Conclusion

Didactic Unit

L'axe de symétrie et le sommet

La symétrie des que si tu peux identifier deux points ayant la même hauteur (c’est-à-dire, la même valeur de 𝑦), alors le point situé exactement entre eux (horizontalement) se trouve sur l’axe de symétrie. Dans le cas de deux abscisses à l’origine (zéros de la fonction), la moyenne de ces deux valeurs de 𝑥 te donne aussi l’abscisse du sommet.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

Le sommet d’une parabole se trouve toujours au centre, entre les deux côtés du graphique.

L'image

La formule 𝑥 = −𝑏/(2𝑎) nous permet de trouver cette position centrale.

Exemple 1

Pratique guidée 1

La formecanonique

L'origine de la formule

Comment est-ce que j'identifie le sommet d'une parabole ?

Tracer le graphique

Exemple

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

L'image : Max ou min ?

L’image d’une fonction quadratique correspond à l’ensemble de toutes les valeurs possibles de 𝑦 (ou 𝑓(𝑥)) que la fonction peut produire. Pour une parabole, l’image commence au sommet (le minimum ou le maximum) et s’étend vers le haut ou vers le bas, selon le sens d’ouverture.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

L'image

Exemple

Exemple 1

Pratique guidée 1

La formecanonique

Tracer le graphique

Si a > 0, le parabole serait ouvert vers le haut. Le sommet serait un minimum, y ≥ -5.

Si a < 0, le parabole serait ouvert vers le bas. Le sommet serait un maximum, y ≤ 5.

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 1 : Le sommet

Identifie l'axe de symétrie, le sommet et l'image du fonction à droite.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

L'image

Exemple 1

Pratique guidée 1

La formecanonique

Tracer le graphique

Explication

Solution

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

Pratique guidée : Le sommet

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

L'image

Exemple 1

Pratique guidée 1

La formecanonique

Tracer le graphique

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

La forme canonique

Les fonctions quadratiques peuvent se trouver dans trois formes ;

• La forme générale : y = ax2 + bx + c
• Elle est aussi connu comme la forme dévéloppé.
• Tu peux directement identifier l'ordonné à l'origine.
• La forme factorisé : y = a(x + x1)(x + x2)
• Tu peux identifier les abscisses à l'origines.
• La forme canonique : y = a(x - h)2 + k

• Tu peux identifier le sommet.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Dans la forme canonique, (h,k) représente le sommet de la parabole et a indique si la parabole est ouverte vers le haut ou vers bas. L'axe de symétrie est aussi évident dans cette forme, x = h.

Convertir à la forme canonique

Exemple 2

Pratique guidée 2

Tracer le graphique

Développer l'équation

Visionne cette vidéo pour apprendre des différentes parties de la forme canonique.

Conclusion

Didactic Unit

Convertir à la forme canonique

C'est possible de convertir de la forme générale (y = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) d'une fonction quadratique à sa forme canonique (y = a(x - h)2 + k).

Objectifs

Voici un survol des étapes nécessaires.

• Étape 1 : Mettre le coefficient 𝑎 en évidence (divise les 2 premiers termes par a).
• Étape 2 : Compléter le carré à l’intérieur des parenthèses
• Étape 3 : Réintégrer le tout dans l’équation finale en n’oubliant pas de multiplier le terme ajouté par 𝑎.

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

Visionne l’exemple pratique présenté dans cette vidéo.

La formecanonique

Convertir à la forme canonique

Exemple 2

Comment transformer une fonction quadratique en forme canonique ?

Pratique guidée 2

Tracer le graphique

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 2 : La forme canonique

Quel est le sommet de la fonction; f(x) = -2x2 + 8x - 6 ?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Convertir à la forme canonique

Exemple 2

Pratique guidée 2

Tracer le graphique

Solution

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

Pratique : La forme canonique

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Convertir à la forme canonique

Exemple 2

Pratique guidée 2

Tracer le graphique

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

Tracer une fonction quadratique

Quand une fonction quadratique est écrite en forme canonique, on peut voir facilement le sommet de la parabole. Cela rend le dessin du graphique plus simple. Quand tu sais si le sommet est un maximum ou un minimum, c’est plus facile de décider comment placer et étiqueter les axes sur le plan cartésien.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Tracer le graphique

Exemple 3

Comme les paraboles sont symétriques, tu peux trouver des points d’un seul côté du sommet. Ensuite, tu peux utiliser cette symétrie pour placer les mêmes points de l’autre côté, à la même hauteur.

Développer l'équation

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 3 : situation contextuelle

Tu conçois une petite montagne russe en carton pour un projet scolaire. Le sommet de la pente est modélisé par cette équation : ℎ(𝑥) = −0,25(𝑥 − 4)2 + 3, h(x) est la hauteur du chariot (en mètres) par rapport au point de départ horizontal 𝑥 (en mètres).

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Tracer le graphique

• Détermine le sommet (le point le plus haut).

• Trace le graphique sur un plan cartésien.
• Quelle est la distance totale entre les deux points où le chariot est au sol ?

Exemple 3

Explication

Développer l'équation

Solution

Conclusion

Didactic Unit

Développer l'équation

Quand tu es présenté avec une graphique, c'est possible de développer la fonction quadratique correspondant. Les deux formes les plus faciles à développer sont la forme canonique (le sommet) et la forme factorisée (les abscisses à l'origine).

Objectifs

Introduction

Étape 1 : Identifie les points clés du graphique Le sommet ou les racines, s’il y en a, ainsi qu'un autre point, comme l’ordonnée à l’origine. Étape 2 : Utilise la forme factorisée ou canonique

• Si tu connais les racines, utilise la forme factorisée :

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥−x1)(𝑥−x2)

• Si tu connais le sommet, utilise la forme canonique :

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘 Étape 3 : Remplace un point connu pour trouver la valeur de 𝑎. Choisis un point sur la courbe (comme l’ordonnée à l’origine) et remplace 𝑥 et 𝑓(𝑥) dans l’équation pour trouver 𝑎. Étape 4 : Développe et simplifie Une fois que tu connais 𝑎, développe les parenthèses pour obtenir la forme générale : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Vocabulaire

Développer la forme canonique

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Développer la forme factorisée

Tracer le graphique

Comment développer la formule d'une fonction quadratique ?

Développer l'équation

Exemple 4

Pratique guidée 3

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 4 : Développer l'équation

Développer la fonction du graphique ci-dessous.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Tracer le graphique

Développer l'équation

Exemple 4

Pratique guidée 3

Solution

Conclusion

Didactic Unit

Pratique : Les graphiques

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Tracer le graphique

Développer l'équation

Exemple 4

Pratique guidée 3

Conclusion

Didactic Unit

Voici les grandes idées que tu aurais dû apprendre dans cette leçon ;

L’axe de symétrie passe au milieu des deux racines, on peut le trouver en utilisant la formule : 𝑥 = −𝑏/(2𝑎). Le sommet, le point le plus haut ou le plus bas de la parabole, permet de déterminer l’image de la fonction dans la situation. Tu peux facilement identifier le sommet d'une fonction quadratique si elle se trouve dans la forme canonique. f(x) = a(x - h)2 + k

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

L'axe de symétrie et le sommet

La formecanonique

Tracer le graphique

Développer l'équation

Voici un peu de pratique en avance de ta leçon.

As-tu des questions ? Communique avec ton enseignant !

Conclusion

Rends-toi à la révision sur la feuille d'accompagnement.

La signe associés au coefficient a indique si la parabole est ouvert en haut (+ = U) ou en bas (- = ∩). Quand la parabole est ouvert en bas (∩) le sommet est un maximum. Quand la parabole est ouvert en haut (U) le sommet est un minimum.

Solutionécrite

Le sommet

Le sommet d’une parabole est le point le plus haut ou le point le plus bas de la courbe, selon l’orientation de la parabole.

Solutionécrite

Dans l’exemple à droite, le sommet de la parabole est au point (2,−1). La valeur minimale que 𝑦 peut prendre est -1, mais 𝑦 peut aussi être n’importe quelle valeur plus grande que -1 (y compris les décimales). La nomenclaure suivante est utilisé pour démontrer les valeurs de y possibles. Image : {y|yƐR, y≥-1}

Indique quelle variable est en question.

Précise les types de nombres inclus.

Identifie les limites de la situation.

Domaine et l'image

Le domaine d’une fonction représente l'ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est définie. Par exemple, pour une fonction quadratique, le domaine est souvent tout l'ensemble des réels, car on peut insérer n'importe quelle valeur de 𝑥 dans l'équation et obtenir une valeur pour 𝑦. Cela dit, une situation contextuelle peut parfois restreindre le domaine.

L'image d’une fonction correspond à l’ensemble des valeurs de 𝑦 que la fonction peut prendre. Dans une fonction quadratique, le sommet indique la valeur maximale ou minimale de 𝑦, ce qui permet de déterminer l’image.

Dans la forme canonique f(x) = a(x - h)2 + k, les valeurs h et k représente les valeurs x et y du sommet.

La formule pour trouver les racines d’une fonction quadratique 0 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 est : Regarde ce qu’il y a au milieu de cette formule : il y a deux solutions (les racines), et elles sont distribuées également autour d’un point central, parce que ; l’un est l'autre est Pour trouver le milieu (la moyenne) de ces deux racines, on fait :

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥1 = −𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥2 = −𝑏 - 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−𝑏 - 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

-2𝑏2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 2

-𝑏2𝑎

𝑥 =

Cette formule nous donne la position du sommet, donc le centre du graphique. Même si la parabole ne touche pas l’axe des 𝑥, elle a quand même un sommet et reste symétrique autour d’une ligne verticale.

Solutionécrite

Les racines, les zéros, les abscisses à l'origine

Ce sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction 𝑓(𝑥) = 0. Par exemple, si tu résous l'équation 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, tu trouves les valeurs de x ou le parabole croisse l'axe des x (c'est-à-dire quand y = 0).

Développer une fonction quadratique en forme canonique

Étape 1 : Identifie le sommet Dans le graphique à droite le sommet est (-2,-1). Étape 2 : Remplace h et k dans la forme canonique . f(x) = a(x - (-2))2 + (-1) f(x) = a(x + 2)2 - 1 Étape 3 : Utilise une coordonnée pour identifier la valeur de a. L'ordonnée à l'origine est (0,3). On peut remplace f(x) et x avec ces valeurs et ensuite isolé a. 3 = a(0 + 2)2 - 1 3 = 4a - 1 4 = 4a a = 1 f(x) = (x + 2)2 - 1

Comment multiplier un binôme

Étape 4 : (optionnel) Pour écrire cette formule sous la forme générale, f(x) = ax2 + bx + c, il suffit de faire le carré, puis simplifier.

f(x) = x2 + 2x + 2x + 4 - 1f(x) = x2 + 4x + 3

• 𝑎 = 1
• 𝑏 = -4
• c = 3

Question : Identifie les zéros de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 - 4𝑥 + 3. La formule suivante peut être utilisée pour calculer l’axe de symétrie. On peut remplacer les lettres 𝑎 et 𝑏 par les valeurs qu’on a trouvées à droite. On sait maintenant que l’axe de symétrie est 𝑥 = 2, alors on peut insérer cette valeur dans la formule originale pour trouver les coordonnées du sommet. Les coordonnées du sommet sont (2,-1).

−𝑏 2𝑎

𝑥 =

−(-4) 2(1)

4 2

𝑓(𝑥) = 𝑥2 - 4𝑥 + 3𝑓(2) = (2)2 - 4(2) + 3 𝑓(2) = 4 - 8 + 3 𝑓(2) = -1

Développer une fonction quadratique en forme factorisée

Étape 1 : Identifie les abscisses à l'origine Dans le graphique à droite les abscisses sont -3 et -1. Étape 2 : Remplace x1 et x2 dans la forme factorisée pour créer les facteurs. En utilisant la logique inverse de la produit nul, on peut identifier les facteurs comme étant (x + 3) et (x + 1). Alors : f(x) = a(x + 3)(x + 1). Étape 3 : Utilise une coordonnée pour identifier la valeur de a. L'ordonnée à l'origine est (0,3). On peut remplace f(x) et x avec ces valeurs et ensuite isolé a. 3 = a(0 + 3)(0 + 1) 3 = 3a a = 1 f(x) = (x + 3)(x + 1)

Comment multiplier un binôme

Étape 4 : (optionnel) Pour écrire cette formule sous la forme générale, f(x) = ax2 + bx + c, il suffit de faire la multiplication des deux binômes, puis simplifier.

f(x) = x2 + x + 3x + 3f(x) = x2 + 4x + 3

L'ordonnée à l'origine

C’est la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 = 0. Sur le graphique, c’est l’endroit où la courbe coupe l’axe des 𝑦.