Les nombres carrés

Les nombres carrés

En arithmétique, un nombre figuré est un nombre entier qui peut être représenté par un ensemble de points disposés régulièrement et formant une figure géométrique. Voici par exemple les premiers nombres carrés :

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Créé par Audrey DOMINIQUE, d'après un travail de Stéphane HERRERO

• Quels sont les 10 premiers nombres carrés ?

• 42 est-il un nombre carré ?

• Donner cinq nombres qui ne sont pas carrés.

Manipuler ...

C ORR E C T I ON

• Quels sont les 10 premiers nombres carrés ?

1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 - 81 - 100

• 42 est-il un nombre carré ?

• Donner cinq nombres qui ne sont pas carrés.

Manipuler ...

• Connaissant un nombre carré (et son rang), comment déterminer le nombre carré suivant ?

• Voyez-vous une méthode pour déterminer facilement tous les nombres carrés ?

Manipuler ...

C ORR E C T I ON

Et ça donne quoi finalement ?

Combien ajoute-t-on à chaque fois ?

C1 = 1

C2 = 3

C1 = 1 C2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 C3 = 4 + 2 + 2 + 1 = 9 C4 = 9 + 3 + 3 + 1 = 16 ... Cn+1 = Cn + n + n + 1 = Cn + 2n + 1

C1 = 1² C2 = 2² C3 = 3² C4 = 4² ... Cn = n² Cn+1 = (n+1)²

C3 = 9

C4 = 16

Donc (n+1)² = n² + 2n + 1

Ok... donc on retrouve une identité remarquable ?

C5 = 25

Verbaliser ... Abstraire ...

(n+1)² = n² + 2n + 1

On peut visualiser facilement cette identité remarquable à l'aide des nombres carrés.

Regardons les choses sous un autre angle, et avec 3 couleurs !

En bleu : Cn = n² C'est un carré de côté n

...

Au total, on a un carré de côté (n+1), donc :

...

En Rose : n + n = 2n 2 bandes de longueur n

n+1

...

...

(n+1)² = n² + 2n + 1

En noir : 1

...

n+1

Manipuler ...

Et voilà... C'est magique !