T1 = 1 T2 = T1 + 2 = 3 T3 = T2 + 3 = 6 T4 = T3 + 4 = 10 ... Tn = Tn-1 + n
T3 = 6
T4 = 10
Tn = 1 + 2 + 3 + ... + n = Tn-1 + n
Ok... mais comment peut-on trouver le résultat simplement ?
T4 = 15
Verbaliser ... Abstraire ...
Pourrait-on trouver la valeur de Tn, juste en fonction de n... sans calculer tous les termes ?
T4 = 10
Regardons les choses sous un autre angle, et avec 2 couleurs !
Prenons l'exemple de T4 !
Manipuler ...
C ORR E C T I ON
Pourrait-on trouver la valeur de Tn, juste en fonction de n... sans calculer tous les termes ?
T4 = 10
Prenons l'exemple de T4 ! On a donc n = 4.
n+1
Nous obtenons un rectangle avec 2 fois plus de jetons que dans Tn. Le nombre de jetons est n(n+1) dans ce rectangle (ou 4x5 dans le cas particulier de T4) On en déduit que Tn = T4 = = 10
N'hésite pas à le vérifier pour d'autres valeurs de n avec les jetons !
n(n+1)
4 x 5
Verbaliser ... Abstraire ...
n(n+1)
On a donc obtenu
Tn =
n+1
...
...
...
...
...
...
Quel est le 10e nombre triangulaire ?
Quel est le 18e nombre triangulaire ?
Calculer la somme des 12 premiers entiers naturels.
Calculer la somme des 50 premiers entiers naturels.
Abstraire ...
C ORR E C T I ON
n(n+1)
On a donc obtenu
Tn =
Quel est le 10e nombre triangulaire ?
Quel est le 18e nombre triangulaire ?
Calculer la somme des 12 premiers entiers naturels.
Calculer la somme des 50 premiers entiers naturels.
n+1
...
...
...
...
...
...
10 x 11
T10 = = 55
18 x 19
T18 = = 171
1 + 2 + 3 + ... + 12 = T12 = = 78
12 x 13
1 + 2 + 3 + ... + 50 = T50 = = 1 275
50 x 51
Abstraire ...
Que peut-on dire de la somme de deux nombres triangulaires consécutifs?
Manipuler ...
Que peut-on dire de la somme de deux nombres triangulaires consécutifs?
Regardons les choses sous un autre angle, et avec 2 couleurs !
Prenons l'exemple de T4 !
Manipuler ...
C ORR E C T I ON
Que peut-on dire de la somme de deux nombres triangulaires consécutifs?
La somme de 2 nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré !
...
Prenons le cas général de Tn !
Reprenons l'exemple de T4 !
n+1
...
...
...
...
On a Tn + Tn+1 = Cn+1
...
On a T4 + T5 = C5
n+1
Ok... mais maintenant, il faut le démontrer par le calcul (en t'aidant des résultats trouvés précédemment)...
Verbaliser ... Abstraire ...
C ORR E C T I ON
La somme de 2 nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré !
Les nombres triangulaires
Perso
Created on April 1, 2025
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Transcript
Les nombres triangulaires
10
Créé par Audrey DOMINIQUE, d'après un travail de Stéphane HERRERO
Manipuler ...
C ORR E C T I ON
- Quels sont les 10 premiers nombres triangulaires ?
1 - 3 - 6 - 10 - 15 - 21 - 28 - 36 - 45 - 55Manipuler ...
Manipuler ...
C ORR E C T I ON
Et en fonction de celui d'avant ?
Combien ajoute-t-on à chaque fois ?
T1 = 1
T2 = 3
T1 = 1 T2 = 1 + 2 = 3 T3 = 1 + 2 + 3 = 6 T4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ... Tn = 1 + 2 + 3 + ... + n
T1 = 1 T2 = T1 + 2 = 3 T3 = T2 + 3 = 6 T4 = T3 + 4 = 10 ... Tn = Tn-1 + n
T3 = 6
T4 = 10
Tn = 1 + 2 + 3 + ... + n = Tn-1 + n
Ok... mais comment peut-on trouver le résultat simplement ?
T4 = 15
Verbaliser ... Abstraire ...
Pourrait-on trouver la valeur de Tn, juste en fonction de n... sans calculer tous les termes ?
T4 = 10
Regardons les choses sous un autre angle, et avec 2 couleurs !
Prenons l'exemple de T4 !
Manipuler ...
C ORR E C T I ON
Pourrait-on trouver la valeur de Tn, juste en fonction de n... sans calculer tous les termes ?
T4 = 10
Prenons l'exemple de T4 ! On a donc n = 4.
n+1
Nous obtenons un rectangle avec 2 fois plus de jetons que dans Tn. Le nombre de jetons est n(n+1) dans ce rectangle (ou 4x5 dans le cas particulier de T4) On en déduit que Tn = T4 = = 10
N'hésite pas à le vérifier pour d'autres valeurs de n avec les jetons !
n(n+1)
4 x 5
Verbaliser ... Abstraire ...
n(n+1)
On a donc obtenu
Tn =
n+1
...
...
...
...
...
...
Abstraire ...
C ORR E C T I ON
n(n+1)
On a donc obtenu
Tn =
n+1
...
...
...
...
...
...
10 x 11
T10 = = 55
18 x 19
T18 = = 171
1 + 2 + 3 + ... + 12 = T12 = = 78
12 x 13
1 + 2 + 3 + ... + 50 = T50 = = 1 275
50 x 51
Abstraire ...
Que peut-on dire de la somme de deux nombres triangulaires consécutifs?
Manipuler ...
Que peut-on dire de la somme de deux nombres triangulaires consécutifs?
Regardons les choses sous un autre angle, et avec 2 couleurs !
Prenons l'exemple de T4 !
Manipuler ...
C ORR E C T I ON
Que peut-on dire de la somme de deux nombres triangulaires consécutifs?
La somme de 2 nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré !
...
Prenons le cas général de Tn !
Reprenons l'exemple de T4 !
n+1
...
...
...
...
On a Tn + Tn+1 = Cn+1
...
On a T4 + T5 = C5
n+1
Ok... mais maintenant, il faut le démontrer par le calcul (en t'aidant des résultats trouvés précédemment)...
Verbaliser ... Abstraire ...
C ORR E C T I ON
La somme de 2 nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré !
n(n+1)
...
On sait que Tn =
n+1
On a Tn + Tn+1 = Cn+1
...
(n+1)(n+2)
On a donc Tn+1 =
...
...
...
...
n+1
(n+1)(n+2)
n(n+1)
Tn + Tn+1 = +
(n+1)(n+n+2)
Tn + Tn+1 =
(n+1)(2n+2)
Tn + Tn+1 =
Tn + Tn+1 =
(n+1)(n+1)
Tn + Tn+1 = (n+1)² = Cn+1
Verbaliser ... Abstraire ...
Et voilà... C'est pas beau les maths ? :-)