Analisi di un andamento esponenziale

Approfondimento di matematica diCorvino Letizia Mazzocchi Riccio Ventre

IV I

Analisi di un andamento esponenziale

5. crescita esponenziale epidemiologica

8. confinamento

7. da S a I nella prima ondata

6. R0 del covid-19

4. covid-19

3. crescita esponenziale

2. funzioni

1. il duplicar degli scacchi

indice

Narra una leggenda che quando il gioco fu presentato per la prima volta a corte il sultano volle premiare l'oscuro inventore esaudendo ogni suo desiderio. Questi chiese per sè un compenso apparentemente modesto, di avere cioè tanto grano quanto poteva risultare da una semplice addizione: un chicco sulla prima delle 64 caselle, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così via... Ma quando il sultano, che aveva in un primo tempo accettato di buon grado, si rese conto che a soddisfare una simile richiesta non sarebbero bastati i granai del suo regno, e forse neppure quelli di tutta la terra, per togliersi dall'imbarazzo stimò opportuno mozargli la testa.

Il duplicar degli scacchi

f(x)=2^(x-1) f(64)=2^(64-1) ∑_(x=1)^64▒2^(x-1)

Genially

f(x)=(0,1mm)*2^x

Se immaginiamo di piegare un foglio di carta spesso soli 0,1mm più volte su se stesso, all’inizio lo spessore resterà limitato: alla terza piega sarà ancora meno di 1cm. Dopo dieci pieghe sarà di poco più di 10cm. Ma l’esponenziale è al lavoro, e —raddoppio dopo raddoppio— alla quarantaduesima piega lo spessore del foglio piegato supererà i 400.000Km: più della distanza Terra-Luna.

Crescita esponenziale

Crescita esponenziale epidemiologica

Nella realtà nessuna crescita può continuare ad essere esponenziale e si osservano dei comportamenti di saturazione. Ma, all’inizio di un’epidemia i numeri (contagiati, malati gravi, morti) salgono esponenzialmente. All’inizio sembrano piccoli, ma all’improvviso le cose cambiano rapidamente.

A livello di numeri e statistiche, la prima ondata della pandemia di Covid-19 ha mostrato un aumento esponenziale dei casi di contagio a livello globale. Ecco una panoramica basata su dati provenienti da fonti ufficiali come l'Organizzazione Mondiale della Sanità(OMS).

DATa

Covid-19

R0,numero di riproduzione di base, indica, in epidemiologia, il numero di nuovi casi generati in media da un individuo al giorno, durante tutto il proprio periodo infettivo. Questo numero è un dato statistico fondamentale da analizzare all’inizio dell’epidemia poiché consente di conoscere la velocità di diffusone del virus e di sviluppare il modello epidemiologico adatto. R0 coronavirus = 2,5… Se R0 è < (minore di) 1 la curva esponenziale cambia andamento, diventando decrescente.

R0 del covid-19

A questo punto, è necessario introdurre il “Modello SIR” (proposto da Kermack e McKendrick nel 1927), dedicato appunto alla “matematica delle epidemie”. I modelli attualmente adoperati originano in gran parte proprio dal Modello SIR. . In particolare, tale modello prevede la divisione della popolazione in tre compartimenti (o classi): i suscettibili “S” (gli individui sani che non sono mai entrati in contatto con la malattia, ma possono esserne infettati), gli infetti “I” (coloro che ne sono stati contagiati) e, infine, i rimossi “R” (coloro che sono guariti, messi in isolamento e immuni e, nella trattazione originale, anche coloro che sono morti per la malattia). Dunque, si nasce in classe “S”. Se un individuo “S” si ammala, cambierà classe, diventando “I”; poi, da “I” accederà alla classe “R”.

Genially

Sapendo che il numero riproduttivo di base del covid-19 è 2,5, Ogni giorno il numero di infetti aumenta del 250%. Dunque: f(x)= I * (1+250%)^x

DATa

- Casi globali: - 31 marzo 2020: 700.000+ casi. - 30 aprile 2020: 3.200.000+ casi. - 31 maggio 2020: 5.700.000+ casi.

Da S a I nella prima ondata

Confinamento

La prima ondata della pandemia ha mostrato una rapida diffusione del virus a livello globale, con un aumento esponenziale dei casi, particolarmente evidente in Europa e negli Stati Uniti. I dati mostrano come la pandemia abbia messo sotto pressione i sistemi sanitari, portando a milioni di infezioni e decine di migliaia di decessi. La rapida crescita dei casi ha richiesto misure di contenimento rigorose, tra cui lockdown, distanziamento sociale e quarantene, per cercare di rallentare la diffusione del virus.

A cosa serve il “confinamento“? Consideriamo una malattia con R0 = 2. Se non si mettessero in atto strategie di contrasto, il contagio crescerebbe in modo esponenziale. Ovviamente, è impossibile isolare tutti. Non è fattibile in una democrazia come la nostra, anche in considerazione dei costi economici e della violazione delle libertà che scaturirebbero da provvedimenti tanto drastici. Tuttavia, se si riuscisse a isolare 1/3 (un terzo) della popolazione, R0 (che si calcola facendo il rapporto tra contagiati al tempo t e contagiati al tempo t-1), calerebbe da 2 a 1,3 periodico (vale a dire: 1,333333…). Se si riuscisse a confinare 2/3 (due terzi) della popolazione, allora avremmo R0 = 0,6 periodico (vale a dire: 0,666666…). Dato che 0,6 periodico è minore di 1, la curva esponenziale cambierebbe andamento e avremmo vinto la malattia e il suo contagio.

Grazie!