el museo del area imposible

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Funciones no integrables o casos limite

¿Que es una funcion no integrable?

¿Que pasa con f(x)=xq(x)?

funciones que son continuas por partes con infinitos saltos

ejemplos

fUNCION NO INTEGRABLE

Una función se considera no integrable (en el sentido de Riemann) se da si su integral no está bien definida en un intervalo. Esto suele ocurrir cuando la función:

• Tiene infinitos saltos dentro del intervalo.
• Crece demasiado rápido (diverge) en algún punto del intervalo.
• No se puede aproximar mediante sumas de Riemann de manera uniforme en todo el intervalo.

Por otro lado, algunas funciones pueden ser no integrables en el sentido de Riemann, pero sí en el sentido de Lebesgue, un enfoque más avanzado del análisis matemático

funcion caracteristica de los racionales

Propiedades principales:Es discontinua en todos los puntos de 𝑅 No es integrable en Riemann porque las sumas superiores e inferiores no convergen al mismo valor en ningún intervalo. Sin embargo, en el sentido de Lebesgue, su integral es 0, porque los racionales tienen medida cero en la recta real.

Nota: No es integrable en Riemann, pero sí en Lebesgue

funciones con infinitos puntos de discontinuidad

Un ejemplo podria ser la función de Dirichlet modificada, que se define como:

• Es continua en todos los irracionales, pero discontinua en cada número racional.
• Es integrable en Riemann, aunque tenga infinitos saltos, porque los racionales donde la función es discontinua tienen medida cero.

BARROCO

Grafica con infinitos puntos de discontinuidad pero continua en algunas partes.

xx/xx/xxxx-xxxx

Tenemos la funcion

No es integrable porque la función crece demasiado cerca de x=0

Se observa que la función se "va al infinito" en 𝑥=0, justificando que su integral diverge.

funciones engañosas

f(x)=sin(1/x)/x en (0,1]

¿Por que parece no integrable? Oscila infinitamente conforme x tiende a 0 y luce como 1/x que anteriormente comprobamos que no es integrable

¿Por que si es integrable? Aunque oscila, su valor absoluto esta acotado por 1/x y aplicando tecnicas de integracion como Lebesgue, se puede demostrar que converge

CONclusion

El concepto de integrabilidad es más sutil de lo que parece. No basta con que una función tenga "huecos" o "saltos" para que sea no integrable; lo que realmente importa es cómo se comporta en el conjunto de los números reales. Algunas funciones como 𝜒𝑄(𝑥) son tan irregulares que no se pueden integrar en Riemann, pero en el análisis de Lebesgue sí tienen sentido.