INTEGRAL DE RIEMANN Y SUMATORIAS DE DARBOUX

INTEGRAL DE RIEMANN Y SUMATORIAS DE DARBOUX

PARA CALCULAR EL AREA BAJO LA CURVA PODEMOS TRAZAR N FORMAS QUE GENERALMENTE SON RECTANGULOS DENTRO DEL AREA, CALCULAR EL AREA DE CADA UNA Y POSTERIORMENTE SUMAR CADA UNA.

PARTICION DE UN INTERVALO [A,B]

Es la división de un segmento [𝑎,𝑏] en subintervalos más pequeños mediante puntos intermedios, lo que permite construir sumas de Riemann. Estas sumas aproximan la integral de una función sumando áreas de rectángulos dentro de cada subintervalo, utilizando un punto de evaluación dentro de cada uno. A medida que refinamos la partición, la suma de Riemann converge a la integral de Riemann, siempre que la función sea integrable en este sentido.

las sumas de darboux

Estas establecen cotas para la integral usando el máximo y mínimo en cada subintervalo. Una función es integrable si, al refinar la partición, ambas sumas convergen al mismo valor, lo que siempre ocurre con funciones continuas o con pocas discontinuidades.

conclusion

Sin embargo, no todas las funciones pueden integrarse con este método. Aquellas con discontinuidades "demasiado densas", como la función característica de los números racionales en [0,1], no cumplen con el criterio de Darboux, ya que la diferencia entre sus sumas superior e inferior no se reduce a cero. Esto muestra que la integrabilidad en el sentido de Riemann requiere cierto grado de regularidad en la función.

Sources