REPASO POTENCIAS Y RAICES

PROBLEMAS AUTOEVALUABLES Potencias y raíces

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a) Calcula cuántas filas y cuántas columnas tiene un tablero de ajedrez sabiendo que tiene 64 casillas organizadas formando un cuadrado.

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Ejercicio 8. Resuelve los siguientes problemas:

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Comprobación área: 9 × 9 = 81 m² ✓ Perímetro: 4 × 9 = 36m Lado 1 + Lado 2 + Lado 3 + Lado 4 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36m ✓ Presupuesto: 36m × 55€/m = 1.980€ 36 × 55 = 1.980€ ✓

Posibles errores conceptuales: Confundir área con perímetro No calcular raíz cuadrada correctamente Olvidar multiplicar por 4 para obtener perímetro Errores en cálculo de precio total

Solución: Presupuesto total: 1.980€

Estrategia: Pasos de resolución: Calcular lado del terreno Determinar perímetro Multiplicar perímetro por precio de valla Resolución: Lado = √81 = 9m Perímetro = 4 × 9 = 36m Presupuesto = 36m × 55€/m = 1.980€

Estimación: El área es 81 m², por lo que el lado será menor de 81. Estimamos que el perímetro será mayor que 30m (4 × 9) El presupuesto será superior a 1500€

Datos y relación entre los datos:Área del terreno: 81 m² Precio de valla: 55€/m Necesitamos calcular el perímetro para el presupuesto

Respuesta: Filas: 8 Columnas: 8

Comprobación 8 filas × 8 columnas = 64 casillas ✓ Cada fila tiene 8 casillas. Cada columna tiene 8 casillas Posibles errores conceptuales: Confundir el número total de casillas con filas y columnas No realizar la raíz cuadrada Pensar que 64 significa 64 filas o 64 columnas

Resolución paso a paso: Análisis inicial: Tenemos un total de 64 casillas El tablero es un cuadrado Necesitamos encontrar las filas y columnas Razonamiento matemático Para saber cuántas filas y columnas, necesitamos encontrar la raíz cuadrada de 64 Matemáticamente: √64 = 8

Comprobación 27= 3x3x3 por lo que el lado es 3m ✓ 27000 litros : 1000=27 que coincide con el volumen del cubo

Posibles errores conceptuales: Confundir las unidades de volumen (m³) con las de capacidad (litros) Olvidar el factor de conversión (1 m³ = 1.000 litros) Calcular incorrectamente la potencia al cubo por ejemplo confundiéndolo con una multiplicación

Solución: En el depósito cúbico de 3 metros de lado caben 27.000 litros de agua

Estrategia: Pasos de resolución: Calcular el volumen del cubo en metros cúbicos Convertir de metros cúbicos a litros Resolución: Volumen = 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 m³ Conversión: 1 m³ = 1.000 litros Capacidad en litros = 27 m³ × 1.000 litros/m³ = 27.000 litros

Datos y relación entre los datos:Depósito cúbico Dimensión: 3 metros de lado x= capacidad en litros

Comprobación Verificamos el volumen por depósito: 3375 ÷ 5 = 675 litros ✓ Comprobación aproximada: 8,77³ ≈ 675 8,77 × 8,77 × 8,77 ≈ 673,4 (muy cercano a 675) ✓ Comprobación total: 5 depósitos × 675 litros = 3375 litros ✓ Coherencia con estimación: estimamos entre 8 y 9 dm, y el resultado es 8,77 dm ✓

Posibles errores conceptuales: No dividir correctamente el volumen entre los 5 depósitos Confundir litros con dm³ No calcular la raíz cúbica correctamente Redondear incorrectamente (8,77 no es exacto, pero es una aproximación cercana)

Solución: Para repartir 3375 litros en 5 depósitos cúbicos iguales, cada depósito debe tener aproximadamente 8,77 dm de lado.

Estrategia: Pasos de resolución: Calcular el volumen de cada depósito Aplicar la raíz cúbica para encontrar el lado Estimación: Cada depósito contiene: 3375 ÷ 5 = 675 litros Esto es mucho mayor que los 27 litros del problema anterior Si 27 litros necesitan 3 dm de lado, 675 litros necesitarán un lado mayor Aproximadamente entre 8 y 9 dm de lado Resolución: Volumen por depósito = 3375 ÷ 5 = 675 litros = 675 dm³ Para un cubo: volumen = lado³ Por tanto: lado³ = 675 dm³ lado = ∛675 ≈ 8,77 dm

Datos y relación entre los datos:Volumen total de agua: 3375 litros (del problema anterior) Número de depósitos: 5 Depósitos cúbicos Necesitamos encontrar el lado de cada depósito

Comprobación 125 depósitos × 27 litros/depósito = 3375 litros ✓ Coherencia con estimación: Estimación: aproximadamente 136 depósitos Resultado final: 125 depósitos (cercano a nuestra estimación) ✓

Posibles errores conceptuales: Confundir las unidades de volumen (m³) con las de capacidad (litros) Olvidar el factor de conversión (1 m³ = 1.000 litros) Calcular incorrectamente la potencia al cubo por ejemplo confundiéndolo con una multiplicación

Solución: Se pueden llenar 125 depósitos cúbicos de 3 dm de lado con los 3375 litros de agua

Estrategia: Pasos de resolución: Averiguar cuántos litros caben en cada depósito cúbico Dividir el volumen total entre la capacidad de cada depósito Estimación: Volumen de un depósito: 3³ = 27 dm³ Recordamos que 1 dm³ = 1 litro Por tanto, cada depósito tiene capacidad para 27 litros Estimación aproximada: 3400 ÷ 25 ≈ 136 depósitos Resolución: Volumen de cada depósito: 3 dm × 3 dm × 3 dm = 27 dm³ Sabiendo que 1 dm³ = 1 litro, cada depósito tiene capacidad para 27 litros Número de depósitos: 3375 litros ÷ 27 litros/depósito = 125 depósitos

Datos y relación entre los datos:Agua recogida: 3375 litros Depósitos cúbicos de 3 dm de lado x= cuántos depósitos se pueden llenar

Comprobación Estimación inicial: aproximadamente 25€ Resultado final: 18,75€ La diferencia se debe al redondeo usado en la estimación (0,15€ a 0,2€) ✓

Posibles errores conceptuales: CConfundir dimensiones lineales con volumen Sumar las canicas (5+5+5) en lugar de multiplicarlas (5×5×5) Error de cálculo al multiplicar decimales

Solución: El precio total de las canicas de Alba es 18,75€.

Estrategia: Pasos de resolución: Calcular el número total de canicas (multiplicando las tres dimensiones) Multiplicar el número total por el precio de cada canica Resolución: Número total de canicas = 5 × 5 × 5 = 125 canicas Precio total = 125 canicas × 0,15€/canica = 18,75€

Estimación: Número aproximado de canicas: 5×5×5 = 125 ≈ 120Precio aproximado por canica: 0,15€ ≈ 0,2€ (para simplificar) = 20 céntimos Estimación: 120 × 0,2€ = 25€

Datos y relación entre los datos:Caja cúbica llena de canicas Dimensiones: 5 canicas × 5 canicas × 5 canicas Precio por canica: 0,15€ x= precio total