Graficas de solidos de revolución

Graficas de solidos de revolución

Longitud de Curvas

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Formula general

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Tipos de sólidos de revolución

Método de las capas cilindras

Método del disco

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Cálculo de Volúmenes de Sólidos de Revolución

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Método de los discos para calcular su volumen.

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• Metodología Para El Aprendizaje Del Calculo Integral: Conforme a Los Programas de Estudio de Calculo Integral Orientado a Competencias. (2014). Estados Unidos: Trafford Publishing.
• Cálculo 21. 2025 Astra para wordpress. https://calculo21.com/volumenes-de-revolucion-capas-cilindricas/
• Lifeder. (12 de mayo de 2020). Sólidos de revolución: volumen, tipos, ejercicios resueltos. Recuperado de: https://www.lifeder.com/solidos-de-revolucion/.

Fuentes

Longitud de curvas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible, escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.

Tipos de sólidos de revolución

Los sólidos de revolución pueden clasificarse según la curva que los genera:

Los sólidos de revolución pueden clasificarse según la curva que los genera: Esfera: basta con rotar un semicírculo alrededor de un eje que será el diámetro de la esfera de radio R. Su volumen es: Vesfera = (4/3)πR3 Cono: para obtener un cono de altura H y radio R, la superficie que se debe rotar es un triángulo rectángulo, alrededor del eje axial que pasa por uno de los catetos. Su volumen es: Vcono = (1/3)πHR2 Cilindro: rotando un rectángulo alrededor de un eje axial que pasa por uno de los lados, que puede ser el lado corto o el lado largo, se obtiene un cilindro circular recto de radio R y altura H, cuyo volumen es: Vcilindro = πR2H Toroide: el toroide tiene la forma de un donut. Se obtiene rotando una región circular alrededor de una recta en el plano que no intersecta al círculo. Su volumen viene dado por: Vtoroide = 2πa2R

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Si una función se gira con respecto a un eje del plano se genera un volumen conocido como sólido de revolución y al eje se le llama eje de revolución. Gráficamente, esto es:

En general, una función puede girarse libremente, por lo que la forma del sólido que se genera depende, tanto de la naturaleza de la función, como del eje de revolución.

Método para el calculo de curvas:

1. Haga el bosquejo de las gráficas e identifique la longitud de la curva a calcular.
2. Identifique a , b y f(x), y obtenga: f´(x) y (f´(x))2
3. Formule la integral para el cálculo de longitud de la curva a calcular.
4. Calcule la longitud de la curva.

Método de discos

El método de los discos consiste en tomar una sección transversal de la figura, que al momento de hacerla girar alrededor de algún eje genere una forma determinada. De acuerdo con las siguientes figuras:

El volumen generado al girar el rectángulo en torno al eje de revolución genera un disco cuyo volumen es: El volumen exacto para eje de revolución horizontal será: Si el eje de revolución es vertical se tendrá:

Calculo de volúmenes de sólidos de revolución

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica.

• Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es wR2π , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Longitud de curvas

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

Método de las capas cilíndricas

Sea f (x) una función continua y no negativa. Y sea R la región delimitada arriba por la gráfica de f (x), abajo por el eje x, a la izquierda por la recta x = a, y a la derecha por la recta x = b. Entonces el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor del eje y está dado por:

Sea g(y) una función continua y no negativa. Y sea Q la región delimitada a la derecha por la gráfica de g(y), a la izquierda por el eje y, debajo por la recta y = c, y arriba por la recta y = d. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar Q alrededor del eje x viene dado por

¿Qué método debemos usar?

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

En general, una función puede girarse libremente, por lo que la forma del sólido que se genera depende, tanto de la naturaleza de la función, como del eje de revolución. En las siguientes gráficas se aprecia cómo se forman sólidos de revolución conocidos, si se giran funciones muy elementales:

Un volumen del sólido de revolución se conforma de la suma infinita de franjas unitarias de volumen y si se genera haciendo girar a una función alrededor del eje se puede calcular por medio de: donde y representan las rectas que lo limitan, es decir, son los extremos.