Reto parábola 4 ESO MAT B

4º ESO Matemáticas B

David Martínez Martínez

Representación de funciones elementales

Unidad Didáctica

4º ESO Matemáticas B

David Martínez Martínez

Reto Parábola

Para superar este reto matemático, es fundamental que te conviertas en un experto en funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una parábola. En las siguientes hojas encontrarás toda la información necesaria para lograrlo.

En cada uno de los retos, deberás realizar las siguientes actividades:

1. Escribe o captura la función obtenida.
2. Representa gráficamente la función cuadrática utilizando GeoGebra.
3. Justifica adecuadamente los motivos por los que se cumplen los criterios propuestos en cada reto.

Reto 1 : Encuentra una parábola con las ramas hacia arriba, que su vértice se sitúe sobre el eje x y que no pase por el punto (0,0)

Reto 2 : Encuentra una parábola con las ramas hacia abajo donde los puntos de corte con el eje x sean dos números enteros.

Reto 3 : Encuentra una parábola que no corte con el eje x y que tenga como eje de simetría x= -1

Ejemplo. La trayectoria de un chorro de agua en una fuente. Cuando el agua es expulsada hacia arriba, sigue una trayectoria parabólica antes de caer de nuevo debido a la gravedad.

Para finalizar, encuentra una situación el las ciencias, la economía, la naturaleza, en los deportes, etc. que describa una parábola. Busca o genera una imagen que justifique tu propuesta.

Reto 3 : Encuentra una parábola que no corte con el eje x y que tenga como eje de simetría x= -1

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3. Función lineal : la pendiente

El número ‘m’ se llama ‘pendiente’ y mide la inclinación de la recta, es decir, el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas. La pendiente es la variación de la “y” partido variación de la “x” . Coincide con el coeficiente de la "x" cuando esta despejada la "y". Cuanto más grande sea |m| mayor será la inclinación. Además: * Si la pendiente es positiva, la función es creciente. * Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

Ejemplo :función lineal

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Representación : Ejemplo

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4. Función constante : y= n

Cuando m=0La la ecuación de la recta es y=n. Esta función se llama función constante y su gráfica es paralela al eje de abscisas

Representación : Ejemplo

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5. Función afín

Es aquella que tiene una ecuación del tipo: y = mx + n .Su representación gráfica es una línea recta. Para encontrarla utilizamos una tabla de valores. Donde: x es la variable independiente y es la variable dependiente

Recuerda : Cuanto más grande sea |m| mayor será la inclinación. Además: * Si la pendiente es positiva, la función es creciente. * Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

6. Función afín: elementos

El número ‘m’ se llama ‘pendiente’ y mide la inclinación de la recta, es decir, el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas. La pendiente es la variación de la “y” partido variación de la “x”. El número ‘n’ se llama ‘ordenada en el ’origen’, porque indica el valor de la ordenada ( punto de corte con el eje y).

Ejemplo: y = 3x -2

7. función afín : puntos de corte

Si tenemos, en general, la función afín y=m·x+n: El punto de corte con el eje de ordenadas es aquel que tiene la primera coordenada x=0, es decir (0,n). En el ejemplo y=3x-2: punto de corte con el eje de ordenadas (0,-2). El punto de corte con el eje de abscisas es aquel que tiene la segunda coordenada y=0. Por tanto, para encontrarlo hemos de buscar el valor de x que hace que la y sea 0. Substituiremos en la fórmula y por 0 y aislaremos x (resolvemos la ecuación). En el ejemplo y=3x-2: punto de corte con el eje de abscisas (3/2,0).

Ejemplo :función afín

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8. función afín : de la gráfica a la ecuación

Para encontrar la ecuación hemos de calcular la pendiente ‘m’ y la ordenada en el origen ‘n’. Para calcular ‘n’ observaremos el punto de corte de la recta con el eje de abscisas Para calcular ‘m’ elegimos dos puntos de la recta y estudiamos cual es la variación de la "x" y de la "y". También podemos tomar un punto cualquiera de la gráfica y sustituirlo en la fórmula. Después aislaremos ‘m’

Ejemplo :De la gráfica a la ecuación.

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Ejemplos:

9.La ecuación punto pendiente

Podemos calcular la ecuación de la recta algebraicamente si tenemos:

• Un punto y la pendiente

¿Como? con la ecuación general o con la ecuación punto pendiente. Supongamos que de una ecuación conocemos el punto y su pendiente m . Para hallar la ecuación de la recta utilizamos la ecuación punto-pendiente.

Ejemplo: ecuaciónpunto-pendiente.

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Ejemplos:

9. La ecuación punto pendiente

Podemos calcular la ecuación de la recta algebraicamente si tenemos:

• Dos puntos

¿Como? con la ecuación general o con la ecuación punto pendiente. Supongamos que de una ecuación conocemos el punto y su pendiente m . Para hallar la ecuación de la recta utilizamos la ecuación punto-pendiente. Recuerda : Recuerda

Ejemplo: ecuaciónpunto-pendiente.

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Ejemplo:

10. Aplicaciones de la función lineal

Las funciones lineales sirven para describir multitud de fenómenos en los que se relacionan dos variables o magnitudes.Para la representación de funciones extraídas de situaciones cotidianas, es frecuente tener que utilizar en los ejes escalas adecuadas al contexto en el que se encuentran.

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Ejemplo 1: Aplicaciones dela función lineal.

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Ejemplo : función lineal.

El vértice es el máximo o el mínimo de la función según sea cóncava o convexa. Se calcula :

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11. Función cuadrática

Las funciones cuadráticas son funciones de segundo grado cuya expresión algebraica es: Su representación gráfica es una curva que se llama parábola, en la que se distinguen el vértice y el eje de simetría. La función es continua y su dominio todos los reales.

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12. Función cuadrática: elementos

El número ‘a’ indica la curvatura de la función. Cuanto más grande sea |a| más rápidamente crece o decrece, es decir, es más cerrada. Además:

• Si a>0 la función es cóncava (ramas hacia arriba)
• Si a<0 la función es convexa (ramas hacia abajo)

El número ‘c’ es la ordenada en el origen, llamado así porque indica el valor de la segunda coordenada del punto donde la parábola corta el eje de ordenadas. El número ‘b’ es el eje de simetría de la parábola : . si b=o el eje coincide con el eje Y . si b# 0 el eje de simetría coincide con el valor de x del vértice.

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Ejemplo:

13. función cuadrática : Representación

Si tenemos, en general, la función cuadrátca:1º identificamos a, b y c. 2º Calculamos el eje de simetría 3º Cálculamos el vértice En nuestro ejemplo , y su imagen correspondiente será Por tanto el vértice será el punto (1,- 4) 4º Creamos una tabla de valores: para calcular algunos puntos y representarla, podemos ayudarnos del hecho de que es una función simétrica respecto a su vértice. En nuestro ejemplo a la recta x=1

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Ejemplo:

13. función cuadrática : Representación

Si tenemos, en general, la función cuadrátca:

• El punto de corte con el eje de ordenadas es aquel que tiene la primera coordenada x = 0, es decir (0,c). En el ejemplo :Si x=0, entonces → El punto de corte en el eje de ordenadas es (0,-3)
• El punto de corte con el eje de abscisas es aquel que tiene la segunda coordenada y = 0. Por tanto, para encontrarlo hemos de resolver la ecuación de segundo grado que resulta al igualar a cero la función . Podremos encontrar dos valores para x, uno o ninguno (dependiendo del número de soluciones de la ecuación de segundo grado)

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Ejemplo : Representación de funciones cuadráticas

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14. función cuadrática : de la gráfica a la fórmula

Si tenemos una parábola representada y queremos identificar su ecuación con alguna de las propuestas :Tenemos que identificar algún varlor de la ecuación : a, b y c. 1º Observamos las ramas de la parábola: a > 0, si las ramas van hacia arriba. a < 0, si las ramas van hacia abajo. 2º Observamos el vértice: en nuestro ejemplo el punto (1,- 4) . Tiene que cumplir la ecuación de segundo grado. 3º Nos ayudarnos de los puntos de corte que son puntos que han de cumplir la ecuacíon. 4º Para obtener el valor de c : observamos el punto de corte sobre el eje "y".

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Ejemplo : De la gráfica a la fórmula

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15. función cuadrática : Resolución de problemas

Las funciones cuadráticas sirven para describir multitud de fenómenos en los que se relacionan dos variables o magnitudes. Para la representación de funciones extraídas de situaciones cotidianas, es frecuente tener que utilizar en los ejes escalas adecuadas al contexto en el que se encuentran. Ejemplo :

.Agradecimientos

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Ejemplo : Resolución de problemas