I punti particolari del piano cartesiano + esercizi

I punti particolari del piano cartesiano

IL PIANO CARTESIANO

II

Cos'è?

IV

III

I PUNTI SIMMETRICI

I punti A e B che troviamo in questa figura hanno ascisse uguali e ordinate opposte questo vuol dire che sono simmetrici rispetto all'asse x.I punti aventi ascisse opposte e ordinate uguali sono simmetrici rispetto all'asse y ad esempio i punti C e D. I punti aventi ascisse e ordinate opposte sono simmetrici rispetto alle origini degli assi ad esempio E ed F.

PUNTI E BISETTRICI

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

Costruiamo il punto medio M di un segmento avente per estremi A e B.La ascissa di M è uguale alla semisomma delle ascisse dei punti A e B, la sua ordinata è uguale alla semisomma delle ordinate degli stessi punti. La formula generica per le coordinate del punto medio è: M=((xA+xB)/2,(yA+yB)/2).

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

DISTANZA TRA DUE PUNTI

SEGMENTI PARALLELI AGLI ASSI

Congiungiamo i punti A (-4;2) e B (1;2). I punti hanno la stessa ordinata perciò il segmento AB che li unisce è parallelo all'asse x e notiamo che la distanza tra di loro è 5 volte la misura di u. Utilizzando le coordinate dei punti A e B, possiamo ricavare il valore assoluto di AB facendo la differenza tra l'ascissa di A e l'ascissa di B. Applicando lo stesso ragionamento, possiamo calcolare la distanza tra un punto C(3;3) e D(3;-5) che hanno la stessa ascissa. Ricaviamo tale valore assoluto dalla differenza tra l'ordinata di C e l'ordinata di D. Le formule sono: AB = | Xa - Xb | CD = | Yc - Yd |

SEGMENTI OBLIQUI

I segmenti obliqui nel piano cartesiano sono segmenti di retta che non sono né orizzontali né verticali. La loro inclinazione può variare, ma sono caratterizzati dal fatto che non seguono i bordi degli assi cartesiani. Per calcolare il segmento obliquo del triangolo rettangolo qui a fianco, bisogna applicare il teorema di Pitagora. Nella formula non occorre considerare il valore assoluto delle differenze delle coordinate, perché essendo elevate al quadrato saranno sempre positive.

rette per l'origine

il coefficiente angolare

La funzione y = 3x fa corrispondere a ogni numero x il triplo dello stesso numero.

Riportiamo le coppie ordinate ottenute dalla funzione in un piano cartesiano. Congiungendo i punti ottenuti, abbiamo il grafico della funzione data, ovvero una retta passante per l'origine degli assi. Se tracciamo nello stesso piano un ulteriore retta di equazione (in questo caso " y = 4x " ) possiamo verificare che la sua inclinazione ( angolo che forma con l'asse x ) è diversa da quella della retta di equazione y = 3x . Il coefficiente della x viene chiamato coefficiente angolare ed è indicato con k.

Aumentando il coefficiente angolare di una retta, aumenta anche l'ampiezza dell'angolo che forma con il semiasse positivo delle ascisse.

VERIFICA DELL'APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA

Si può stabilire se un dato punto appartiene a una retta in due modi:

GRAFICAMENTE

ALGEBRICAMENTE

Prendiamo come riferimento di nuovo il punto P(2;6) e la retta y = 3x. Per verificare l'appartenenza, risolviamo l'equazione: sostituiamo le coordinate di P nell'equazione y = 3x: 6 = 3(2) 6 = 6 Se le coordinate soddisfano l'equazione, il punto appartiene alla retta.

Prendiamo come esempio il punto P (2;6) e la retta y = 3x. Per verificare tale appartenenza, basta prolungare la retta e segnare il punto, se si incontrano, l'appartenenza è verificata.

VERIFICA DELL'APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA

RIASSUNTO

OGNI FUNZIONE DEL TIPO y = kx E' UNA RELAZIONE DI PROPORZIONALITA' DIRETTA CHE HA COME GRAFICO UNA RETTA PASSANTE PER L'ORIGINE DEGLI ASSI.IL VALORE k DETERMINA L'INCLINAZIONE DELLA RETTA RISPETTO ALL'ASSE x E VIENE CHIAMATO COEFFICIENTE ANGOLARE.

TRUCCO

Quando k > 0 la retta si trova nel I e nel III quadrante;Quando k < 0 la retta si trova nel II e nel IV quadrante; Quando k = 1 la retta è la bisettrice del I e del III quadrante; Quando k = -1 la retta è la bisettrice del II e del IV quadrante. PER TRACCIARE IL GRAFICO AVENTE UNA FUNZIONE UGUALE A y = kx BASTA CALCOLARE LE COORDINATE DI UN SOLO PUNTO DIVERSO DA ZERO, PERCHE' PER DUE PUNTI PASSA UNA ED UNA SOLA RETTA.

rettA GENERICA

Consideriamo la funzione y = 2x - 3

Disegniamo un piano cartesiano segnando i punti che corrispondono alle coppie di valori x e y e congiungiamoli, ottenendo così il grafico della funzione y = 2x - 3 . I punti segnati sono tutti allineati su una stessa retta e che codesta interseca l'asse y nel punto P(0; -3). Ora, prendiamo il punto T(-2;-7) e verifichiamo algebricamente se appartiene alla retta.

APPARTIENE

NON APPARTIENE

POSIZIONI DELLE RETTE

k > 0

k = - 1

k = 1

k < 0

rettA GENERICA

La retta generica è una retta che non passa per l'origine. Ogni funzione del tipo y = kx + q (avendo k e q come numeri reali) ha come grafico una retta che interseca y nel punto di ordinata q. il parametro (ovvero costante arbitraria) q è detto anche termine noto.

RETTE PARALLELE

Ricordiamoci innanzitutto che due rette sono parallele quando giacciono in uno stesso piano senza mai coincidere o intersecarsi in alcun punto, dunque mantenendo sempra la stessa distanza.

UGUALE COEFFICIENTE ANGOLARE

Prendiamo come esempio le equazioni di due rette r ed s: r) y = 2x + 1 s) y = 2x - 1 Si nota all'istante che le rette hanno lo stesso coefficiente angolare, perciò sono due rette parallele. Ora verifichiamo il loro parallelismo tracciando i grafici in uno stesso piano cartesiano.

Le rette r ed s sono parallele. In simboli lo indichiamo scrivendo: r // s

UGUALE COEFFICIENTE ANGOLARE

DUE RETTE DI EQUAZIONI y = kx + q e y = k'x + q' SONO PARALLELE SE HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE, OVVERO SE k = k' .

CONDIZIONE DI PARALLELISMO

Prendiamo come esempio una retta di equazione y = 2 . Tale retta, ha tutti i punti con la stessa ordinata (2), perciò il suo grafico è una retta parallela all'asse x. L'equazione generica è del tipo y = k .

Ora, consideriamo la retta di equazione x = 3 . Codesta ha tutti i punti con la stessa ascissa, che è 3. L'equazione generica è del tipo x = k . L'equazione dell'asse x è y = 0 mentre quella dell'asse y è x = 0

rette perPENDICOLARI

Prima di iniziare l'argomento, facciamo un ripasso di quando due rette sono perpendicolari.

COEFFICIENTI ANGOLARI OPPOSTI E INVERSI

Prendiamo in considerazione le equazioni di due rette r ed s: r) y = 3x - 1 s) y = - 1/3x + 2 Notiamo che i coefficienti angolari delle due rette sono uno l'opposto e il reciproco dell'altro. Ora rappresentiamo tali caratteristiche su un piano cartesiano.

Poiché i coefficienti angolari delle due rette hanno segni opposti e sono uno l'inverso dell'altro, il loro prodotto è uguale a -1 : 3(-1/3) = -1

CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA'

DUE RETTE DI EQUAZIONI y = kx + q E y = k'x + q' SONO PERPENDICOLARI SE I LORO COEFFICIENTI ANGOLARI SONO OPPOSTI E INVERSI, CIOE' SE kk' = 1 .

INTERSEZIONE DI UNA RETTA CON GLI ASSI CARTESIANI

Prendiamo una retta r di equazione y = 2x + 4 e determiniamone algebricamente e graficamente le coordinate dei punti d'intersezione della retta stessa con gli assi cartesiani. Tutti i punti in cui la retta r incontrerà l'asse y avranno ascissa uguale a 0.Quindi, ponendo x=0 possiamo ricavare che il valore di y è 4, perciò la retta r incontra l'asse y nel punto A(0;4) . Viceversa per i punti dove la retta r incontra l'asse x, dove si pone y=0.

INTERSEZIONE DI DUE RETTE

COME SI RICAVA IL PUNTO D'INTERSEZIONE

Prendiamo come esempio due rette r ed s con le seguenti equazioni: r) y = 2x + 3 s) y = x - 1 Osserviamo che le due rette si incontrano nel punto P( -4;-5) .OO

INTERSEZIONE DI DUE RETTE

COME SI RICAVA IL PUNTO D'INTERSEZIONE

Il punto P ci avvantaggia, perché appartiene a tutte e due le rette, quindi le sue coordinate soddisferanno entrambe le equazioni delle rette.Tali equazioni sono ugualianze che avranno uguale sia il primo membro (y) che il secondo membro (x). Grazie a questa affermazione, possiamo scrivere: 2x + 3 = x - 1 2x - x = - 1 - 3 x = - 4 Abbiamo calcolato l'ascissa del punto di intersezione delle due rette, ora calcoliamo l'ordinata: Per farlo, basta sostituire in una delle due equazioni il valore di x con -4; y = 2(-4) + 3 y = -8 +3 y = -5 Perciò, P(-4;-5). Per verificare algebricamente che P appartenga alle due rette, si deve sostituire in entrambe le equazioni il valore -4 al posto di x. OO

ALLA LAVAGNAOO

ESERCIZI

ESERCIZI

ESERCIZIO ALLA LAVAGNA

+punto medio segmenti

AB) ........ B

A'B') ........ B

A''B'') ........ B

A'''B''') ........ B

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

Rappresenta in un piano cartesiano i segmenti di cui sono dati gli estremi e calcola le coordinate del punto medio di ciascuno di essi.

Sottotitolo

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

+ DISEGNO PIANO CARTESIANOOO

Sottotitolo

ESERCIZI ALLA LAVAGNAOO

Tra le seguenti equazioni individua quelle che esprimono una funzione di proporzionalità diretta. Indica il loro coefficiente angolare e rappresentale graficamente:

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

Individua le coppie di rette parallele e poi fai la verifica mediante i rispettivi grafici:

Rappresenta graficamente le rette di equazione:

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

Risolvi questo problema:

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

COMPLETA

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

+ piano cartesiano

ESERCIZI ALLA LAVAGNA

Congratulazioni!

10 +++

Punto

Qualsiasi coppia ordinata di numeri individua un punto nel piano cartesiano in questo caso, il punto ha come ascissa 4 e ordinata 2. Quando si scrive, si mette prima la lettera e poi tra parentesi l'ascissa per prima e l'ordinata per seconda. Grazie a tali punti possiamo disegnare figure all'interno del piano cartesiano.

Asse y o asse delle ordinate

L'asse y o asse delle ordinate è l'asse verticale orientato e graduato che si disegna nella rappresentazione di un piano cartesiano.

Primo quadrante

Il piano cartesiano si divide in 4 quadranti che si numerano partendo da quello in alto a destra e andando in senso anti-orario. Il primo quadrante (in alto a destra) contiene i punti con ascissa e ordinata positive.

II Quadrante

• Punti aventi ascissa e ordinata opposte, se l'acissa è negativa e l'ordinata è positiva, appartengono alla bisettrice del II quadrante.

IV Quadrante

• Punti aventi ascissa e ordinata opposte, se hanno l'ascissa positiva e l'ordinata negativa, appartengono alla bisettrice del IV quadrante.

I Quadrante

• Punti aventi ascissa e ordinata entrambe positive e uguali, appartengno alla bisettrice del I quadrante.

Secondo quadrante

Il secondo quadrante (in alto a sinistra) contiene i punti avente ordinata positiva e ascisse negativa.

Il punto d'origine

Il punto d'origine (indicato con O) rappresenta, appunto, il punto in cui si originano ed incrociano l'asse delle ordinate e l'asse delle ascisse. Ha come ordinata 0 e come ascissa 0

L'asse x o asse delle ascisse

L'asse x o asse delle ascisse è l'asse orrizontale orientato e graduato che si disegna nella rappresentazione di un piano cartesiano.

III Quadrante

• Punti aventi ascissa e ordinata entrambe negative e uguali, appartengono alla bisettrice del III quadrante.

Terzo quadrante

Il terzo quadrante (in basso a sinistra) contiene i punti aventi ascisse negativa e ordinata negativa.

Quarto quadrante

Il quarto quadrante (in basso a destra) contiene i punti avente ordinata negativa e ascissa positiva.

L'unità di misura

L'unità di misura (indicata con u) rappresenta, in questo caso, il valore di un segmento.