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Module D - Leçon 2
École Virtuelle
Created on March 24, 2025
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Transcript
Module D : Les fonctions
Mathématique 11
Leçon 2 : Les fonctions quadratiques(Les racines)
Commencer
Didactic Unit
Objectifs
C'est quoi que tu vas apprendre dans cette leçon ?
Objectifs
Dans cette leçon, tu dois analyser et représenter des fonctions quadratiques, en trouvant leurs racines et en expliquant leurs liens avec le graphique.
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
La formule quadratique
Les graphiques
RF2. démontrer une compréhension des caractéristiques des fonctions quadratiques, y compris : le sommet, les coordonnées à l’origine, le domaine et l’image et l’axe de symétrie.
Conclusion
N'oublie pas que tu as accès à l'Appui aux devoirs.
Didactic Unit
Introduction
Que vas-tu voir ici ?
N'as-tu jamais...
En 10ᵉ année, vous avez appris à factoriser des fonctions quadratiques sous la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Cette année, nous allons avancer avec des cas plus complexes et introduire la formule quadratique, qui peut être utilisée lorsque la factorisation est difficile ou impossible.
- observé un pont en arc et pensé à la façon dont sa forme parabolique répartit le poids ?
- réalisé que les entreprises utilisent des paraboles pour déterminer le prix optimal et maximiser leurs profits ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
La formule quadratique
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
Vocabulaire important
Voici des termes qui seront importants dans cette leçon.
Objectifs
Les fonctions quadratiques
Introduction
Les racines/zéros/les abscisses à l'origine
Vocabulaire
La factorisation
L'ordonné à l'origine
La formule quadratique
Factorisation
Les graphiques
Conclusion
Clique sur chaque terme pour en savoir plus.
Didactic Unit
La factorisation
En 10ᵉ année, vous avez appris à factoriser des fonctions quadratiques sous la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. La décomposition en facteurs consiste à réécrire un trinôme sous forme d’un produit de deux binômes, ce qui simplifie la résolution d’équations quadratiques. Voici trois méthodes que tu-peux appliquer pour faire la factorisation;
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
- Mise en évidence simple
Mise en évidence
- Méthode du produit-somme
Produit-somme
- Méthode du trinôme carré parfait
Carré parfait
Comment est-ce que j'identifie les abscisses à l'origine (les zéros) d'une fonction quadratique ?
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée
La formule quadratique
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
La mise en évidence simple
Cette méthode consiste à repérer un facteur commun dans tous les termes d'une expression algébrique et à le mettre en facteur. Exemple : 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 9𝑥 Ici, 3𝑥 est le facteur commun aux deux termes. 𝑓(𝑥) = 3𝑥(2𝑥 + 3) Quand on veut identifier les racines, 𝑓(𝑥) = 0. Alors on peut remplacer 𝑓(𝑥) avec 0. Puisque 3x et (2x + 3) sont des facteurs, si un est égale à zéro, le tout serait zéro (la règle du produit nul). On peut alors identifier quand chaque facteurs devient zéro par isolé la valeur de x dans chaque cas.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
Mise en évidence
Produit-somme
Carré parfait
Exemple 1
Exemple 2
0 = 3x1 0 = x1 Si x1 = 0, 𝑓(𝑥) = 0
0 = 2x2 + 3 -3 = 2x2 -3/2 = x2 Si x2 = -3/2, 𝑓(𝑥) = 0
Pratique guidée
La formule quadratique
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
La méthode produit-somme
Comme avec la mise en évidence simple, commence avec ta formule dans la forme générale, 𝑓(𝑥) = a𝑥2 + b𝑥 + c. Pour factoriser en utilisant la méthode produit-somme, on cherche deux nombres qui additionnent pour donner b et qui multiplient pour donner le produit de a et c.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
Mise en évidence
Produit-somme
Carré parfait
Exemple 1
Visionne la vidéo pour apprendre comment appliquer la méthode produit-somme.
Exemple 2
La méthode produit-somme classique s'applique surtout quand 𝑎 = 1, où l’on cherche deux nombres qui additionnent pour donner 𝑏 et multiplient pour donner 𝑐.
Pratique guidée
La formule quadratique
Exemple
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
La méthode du trinôme carré parfait
Un trinôme carré parfait est une expression quadratique qui peut être écrite sous la forme développée suivante : a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ou a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
Mise en évidence
Produit-somme
NB* Les lettres a et b ici, ne sont pas les mêmes a et b que dans la forme générale (ax2 + bx + c).
Carré parfait
Visionne la vidéo pour apprendre comment appliquer la méthode de trinôme carré parfait.
Exemple 1
Exemple 2
L’objectif de cette méthode est de reconnaître si un trinôme donné est un carré parfait, puis de le factoriser sous forme de carré d’un binôme.
Pratique guidée
Étapes
La formule quadratique
Exemple
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 1 : La factorisation
Identifie les abscisses à l'origine de la fonction : 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 - 15.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
Mise en évidence
Produit-somme
Carré parfait
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée
Solution
La formule quadratique
Explication
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 2 : La factorisation
Identifie les abscisses à l'origine de la fonction : 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 12𝑥 + 9.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
Mise en évidence
Produit-somme
Carré parfait
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée
Solution
La formule quadratique
Explication
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
Pratique guidée : Factorisation
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
Mise en évidence
Produit-somme
Carré parfait
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée
La formule quadratique
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
La formule quadratique
La formule quadratique est une méthode utilisée pour trouver les racines d’une équation quadratique sous la forme standard : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Objectifs
La formule est la suivante :
*NB* Puisqu'il y a le symbole ±, il existe la possibilité d'avoir 2 réponses.
Introduction
𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
Vocabulaire
La factorisation
La formule quadratique
On utilise la formule quadratique lorsque la factorisation est difficile ou impossible. Comme pour toute équation quadratique, il peut y avoir 0, 1 ou 2 zéros réels.Visionne la vidéo à droite pour voir comment utiliser la formule quadratique.
Le discriminant
Exemple 3
Exemple 4
Pratique guidée 2
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
Le discriminant
Pour déterminer combien de solutions existent, on peut utiliser le discriminant (𝑏2 − 4𝑎𝑐), qui est la partie sous la racine carrée de la formule quadratique :
Objectifs
- Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 → Il y a deux solutions réelles distinctes.
- Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 → Il y a une seule solution réelle (racine double).
- Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 → Il n’y a aucune solution réelle.
Introduction
Vocabulaire
Exemples
La factorisation
La formule quadratique
Le discriminant
Exemple 3
Exemple 4
Pratique guidée 2
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 3 : La formule quadratique
Quelles sont les abscisses de la fonction quadratiques suivante ?𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1,75𝑥 - 0,5
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
La formule quadratique
Le discriminant
Exemple 3
Exemple 4
Pratique guidée 2
Explication
Solution
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 4 : La formule quadratique
Un joueur de basketball lance un ballon vers le panier. La hauteur (y) du ballon en fonction du temps (x) est donnée par l’équation suivante :ℎ(𝑡) = −4,9𝑡2 + 5𝑡 + 2
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
t est le nombre de secondes qui ont découlé et h(t) est la hauteur de la balle. Pendant combien de temps la balle reste-t-elle en l'air ?
La factorisation
La formule quadratique
Le discriminant
Exemple 3
Exemple 4
Explication
Pratique guidée 2
Les graphiques
Solution
Conclusion
Didactic Unit
Pratique : La formule quadratique
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
La formule quadratique
Le discriminant
Exemple 3
Exemple 4
Pratique guidée 2
Les graphiques
Conclusion
Didactic Unit
Tracer une fonction quadratique
Pour dessiner le graphique d'une fonction quadratique, tu dois savoir quelques coordonnées. On suggère que t'utilises un minimum de cinq points et d'utiliser un tableau x/y pour orgranisé tes données.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Les étapes
La factorisation
La formule quadratique
Astuces : - Si ton fonction est dans la forme générale f(x) = ax2 + bx + c, la valeur c est l'ordonné à l'origine du graphique (où le graphique croisse l'axe des y, ou la valeur d'y quand x = 0).
- Si la valeur de a est positive, la parabole est ouverte vers le haut (U), si a est négative, la parabole est ouverte ver les bas (∩).
- Si tu n'as pas de racines, tu peux toujours utiliser l'ordonné à l'origine est quatre autres coordonnées.
Les graphiques
Comment est-ce que je dessine le graphique d'une fonction quadratique ?
Exemple 5
Pratique guidée 3
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 5 : Les graphiques
Dessine le graphique de la fonction ; f(x) = 2x2 + 4x - 6.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
La formule quadratique
Les graphiques
Exemple 5
Pratique guidée 3
Conclusion
Didactic Unit
Pratique : La formule quadratique
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
La formule quadratique
Les graphiques
Exemple 5
Pratique guidée 3
Conclusion
Didactic Unit
Voici les grandes idées que tu aurais dû apprendre dans cette leçon ;
Il existe trois méthodes pour factoriser une fonction quadratique : la mise en évidence simple, le produit-somme et le trinôme carré parfait. La formule quadratique peut être utilisée pour identifier les racines d’une fonction lorsqu’il est impossible de la factoriser. Il est possible de calculer une valeur qui ne fait pas réellement partie de la situation (une valeur non admissible).
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La factorisation
La formule quadratique
Les graphiques
Conclusion
Voici un peu de pratique en avance de ta leçon.
As-tu des questions ? Communique avec ton enseignant !
Rends-toi à la révision sur la feuille d'accompagnement.
Question : Identifie les zéros de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6. - Étape 1 : Identifie le produit de a·c.
1 x 6 = 6 - Étape 2 : Identifie les facteurs de ce produit.
1 x 6 et 2 x 3 - Étape 3 : Identifie de ces facteurs quelle paire font une somme qui est égale à b (5), s'il y'en a.
1 + 6 = 7 X 2 + 3 = 5 ✔ - Étape 4 : Écrit les facteurs en faisant attention aux signes.
𝑓(𝑥) = (x + 2)(x + 3) - Étape 5 : Utilise le règle de la produit nul pour identifier les zéros.
Si x = -2 ou si x = -3, 𝑓(𝑥) = 0.
- Dans ce cas, il n'y a pas de facteurs en communs entre x2, 2x et -15, alors la méthode de mise en évidence ne fonctionne pas.
- -15 n'est pas un carré parfait, alors on ne peut pas utiliser la méthode de trinôme carré parfait.
- Tu peux au lieu essayer utiliser la méthode de produit-somme.
Solutionécrite
Les fonctions quadratiques
Une fonction quadratique est une fonction dont l'équation a la forme ; 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres. Le graphique de cette fonction est une parabole, c'est-à-dire une courbe en forme de U ou de ∩. Elle peut ouvrir vers le haut ou vers le bas, selon la valeur de 𝑎.
Factorisation
La factorisation consiste à écrire une expression comme un produit de facteurs. Par exemple, une équation quadratique comme 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 peut être factorisée en (𝑥+𝑟1)(𝑥+𝑟2), où 𝑟1 et 𝑟2 sont les racines de la fonction. Factoriser permet de trouver facilement les solutions de l'équation.
Les racines, les zéros, les abscisses à l'origine
Ce sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction 𝑓(𝑥) = 0. Par exemple, si tu résous l'équation 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, tu trouves les valeurs de x ou le parabole croisse l'axe des x (c'est-à-dire quand y = 0).
- Nous avons trois stratégies qu'on peut utiliser. Dans ce cas, il n'y a pas de facteurs en communs entre 4x2, 12x et 9, alors la méthode de mise en évidence ne fonctionne pas.
- 4x2 et 9 sont des carrés parfaits, alors on doit vérifier que 12x correspond à 2𝑎𝑏.
- C'est aussi possible que tu pourrais utiliser la méthode produit-somme, mais c'est plus difficile quand il a y plusieurs facteurs pour le coefficient a.
Étape 1 : Identifie les zéros. Ils peuvent servir comme une bonne base, et te donne déjà deux coordonnées. Étape 2 : Commence un tableau x/y. Identifie 3 autres valeurs de x, inclus au moins un qui est entre les zéros que tu as déjà identifier. Insert les valeurs de x choisis dans la formule pour trouver les coordonnées. Étape 3 : Dessine le graphique utilisant les coordonnées que tu as indiqués.
L'ordonnée à l'origine
C’est la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 = 0. Sur le graphique, c’est l’endroit où la courbe coupe l’axe des 𝑦.
Étape 1 : Vérifier si le trinôme est un carré parfait. Un trinôme est un carré parfait si; Le premier et le dernier termes sont des carrés parfaits. Le terme du milieu est le double du produit des racines carrées du premier et du dernier terme. Étape 2 : Identifier 𝑎 et 𝑏. Trouver la racine carrée du premier et du dernier terme. Vérifier que le terme du milieu correspond bien à 2𝑎𝑏. Étape 3 : Factoriser sous la forme (𝑎+𝑏)2 ou (𝑎−𝑏)2
Question : Factoriser 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 Étape 1 : Identifier les carrés parfaits 𝑥2 est un carré parfait : 𝑥2 = (𝑥)(𝑥). 9 est un carré parfait : 9 = (3)(3). Étape 2 : Vérifier le terme du milieu 6𝑥 = 2(𝑥)(3), ce qui correspond bien à la règle 2ab. Étape 3 : Factoriser 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 Étape 4 : Utile la règle de produit nul pour identifier le racine. Si x = -3, 𝑓(𝑥) = 0. Il y a seulement un racine.
Dans la forme générale 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, les coefficients 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des valeurs numériques. Les variables 𝑥2 et 𝑥 ne font pas partie de ces coefficients et ne sont pas utilisées dans la formule quadratique.
Si tu vérifies avec le discriminant, tu trouveras qu’il y a techniquement deux racines. Cependant, l’une d’elles est négative. Un temps négatif correspondrait à un moment avant le lancer du ballon, donc avant le début de la situation. Ce n’est pas une solution possible dans ce contexte, c'est une valeur non admissible.