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Este problema pertenece al área de Matemáticas, dentro de las ramas de Álgebra y Geometría. Se enfoca en el uso de ecuaciones cuadráticas para modelar relaciones geométricas y resolver problemas de dimensiones. Este tipo de ecuaciones se utilizan en diversas aplicaciones, como el cálculo de áreas, la planificación de espacios arquitectónicos y la optimización en ingeniería.

El problema consiste en determinar las dimensiones de una carpa rectangular, conociendo que su longitud es 2 metros mayor que su ancho y que su área total es de 48 metros cuadrados. Se requiere encontrar los valores de la longitud y el ancho utilizando ecuaciones cuadráticas.

Problema a tratar y su área de conocimiento

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inteligencia artificial

Elaboración de un problema real con el uso de:

Explicación de cómo se ocupan las ecuaciones cuadráticas en este campo

En geometría y álgebra, las ecuaciones cuadráticas aparecen cuando existe una relación no lineal entre las variables, como en el caso del área de un rectángulo, donde el producto de la longitud y el ancho genera una ecuación de segundo grado. Posteriormente, se utiliza la factorización para encontrar los valores desconocidos. Se emplean en situaciones que requieren encontrar valores óptimos de dimensiones o resolver problemas de crecimiento y decaimiento.

Innovamath

Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Preparatoria No.3 “Justo Sierra”

Grupo: 401Mtra Ochoa Hofmann Giselle

24/mar/2025

GRÁFICA Y EXPLICACIÓN DE LA GRÁFICA

Si estuviéramos graficando la ecuación, ambas soluciones serían necesarias, ya que representan los puntos donde la parábola corta el eje x.

Como ya habíamos mencionado, en este problema solo tomamos la solución positiva (x = 6) porque estamos trabajando con dimensiones físicas, y un valor negativo no tendría sentido en este contexto.

Explicación de las soluciones con fórmula general

¿Por qué de esta forma?

inteligencia artificial

chatgpt

¿Cómo podemos plantearlo?

Solución de la ecuación por fórmula general

Solución por el método de completar el T.C.P.

Explicación de la solución del problema

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utilidades para la solución de ecuaciones cuadráticas

inteligencia artificial

La IA es una gran aliada en el aprendizaje de álgebra. Sin embargo, es importante no depender completamente de ella y siempre verificar los resultados con métodos tradicionales para asegurarnos de que hemos entendido el proceso correctamente.

Experiencia en el planteamiento de un problema con Inteligencias Artificiales

Geogebra

inteligencias

Al momento de plantear nuestro problema, utilizamos la inteligencia artificial NERD-IA, la cual nos ayudó a estructurar de manera clara la ecuación cuadrática que debíamos resolver. Nos dimos cuenta de que una buena formulación del problema es clave para obtener respuestas precisas, ya que si los datos no están bien organizados o el problema no está bien definido, incluso la mejor IA puede generar resultados incorrectos o confusos.

Algunas paginas utilizadas:

• Nerd ai.
• ChatGPT.
• GeoGebra

Una de las ventajas de NERD-IA fue que nos permitió enfocar correctamente el planteamiento, asegurándose de que los valores y la ecuación estuvieran bien formulados. Nos ayudó a identificar la relación entre los datos y nos dio un modelo matemático claro para trabajar. Sin embargo, también notamos que, aunque la IA fue de gran ayuda, sigue siendo importante revisar los planteamientos y analizarlos con nuestros propios conocimientos para evitar depender completamente de la tecnología. Hoy en día, la Inteligencia Artificial (IA) ha cambiado la forma en que aprendemos matemáticas. Existen muchas aplicaciones que nos ayudan a resolver problemas de álgebra de manera más rápida y sencilla. Por ejemplo, hay apps como Photomath o Socratic que permiten escanear ecuaciones con la cámara del celular y nos muestran la solución paso a paso. Esto es muy útil porque no solo dan la respuesta, sino que explican cómo llegar a ella, lo que ayuda a entender mejor los procedimientos.

Este problema se resuelve mediante ecuaciones cuadráticas porque la relación entre el ancho y la longitud involucra una multiplicación, lo que genera una ecuación de segundo grado. El método de factorización es adecuado porque la ecuación tiene raíces enteras, y es importante descartar soluciones negativas, ya que en geometría las dimensiones deben ser valores positivos. En conclusión, las ecuaciones cuadráticas son herramientas fundamentales en la resolución de problemas geométricos y de planificación de espacios. Permiten encontrar valores desconocidos de manera precisa y son aplicables en múltiples áreas, como la arquitectura, la construcción y el diseño. En este caso, se logró determinar que la carpa debe tener un ancho de 6 metros y una longitud de 8 metros para cumplir con las condiciones del problema.

Como el ancho no puede ser negativo, tomamos x = 6 metros. La longitud se calcula como: L= x + 2 = 6 + 2 = 8 = metros Explicación de las soluciones con fórmula general: Como ya habíamos mencionado, en este problema solo tomamos la solución positiva (x = 6) porque estamos trabajando con dimensiones físicas, y un valor negativo no tendría sentido en este contexto. Si estuviéramos graficando la ecuación, ambas soluciones serían necesarias, ya que representan los puntos donde la parábola corta el eje x.

Para nuestra ecuación: x²+2x-48=0, identificamos los coeficientes: a=l b=2 c=-48 Obtención del discriminante y su explicación El discriminante se obtiene con: =b-4ac Sustituyéndolo: 2² - 4 (1) (-48) = 4 + 192 = 196<0 El discriminante es positivo, lo que significa que la ecuación tiene dos soluciones reales. Resolviendo la ecuación Sustituyéndolo en la fórmula general:

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x^2+2x-48=0 Transponer el término independiente del otro lado de la ecuación x^2+2x=48 Completar el T.C.P.

Encontrar los valores de x Caso 1: x+1=7 x=7-1 x=6 Caso 2: x+1=-7 x=-7-1 x=-8

Explicación de la solución del problema

Como anteriormente lo vimos, el problema nos pedía encontrar las dimensiones de una carpa rectangular con un área de 48 metros cuadrados. Sabíamos que el ancho era X y el largo era X + 2. Entonces, multiplicamos ambos valores para igualarlo a 48: X(X + 2) = 48 Al resolver esta ecuación, obtuvimos dos posibles respuestas: X = 6 y X = -8. Sin embargo, y reiterando lo ya mecionado, una medida no puede ser negativa, descartamos X = -8 y nos quedamos con X = 6. Por lo tanto, el ancho de la carpa es 6 metros y el largo es 8 metros

La gráfica muestra la parábola de la ecuación cuadrática X^2 + 2X - 48 = 0. • Los puntos (-8,0) y (6,0) representan las soluciones de la ecuación. Como el ancho no puede ser negativo, solo tomamos la solución positiva X = 6. • El vértice de la parábola (-1, -49) es el punto más bajo de la gráfica y representa el valor mínimo de la función, aunque en este problema no es relevante porque estamos buscando valores de X donde la ecuación es igual a cero. En resumen, la gráfica confirma que las soluciones de la ecuación son X = 6 y X = -8, pero en el contexto del problema, solo nos sirve la positiva.

Explicación de la gráfica en el contexto del problema

Utilidad de GeoGebra para la solución de ecuaciones cuadráticas

Otra herramienta importante es GeoGebra, que permite graficar ecuaciones cuadráticas y visualizar sus soluciones de manera interactiva. Aunque puede ser un poco difícil de usar al principio, con práctica se vuelve una gran herramienta para comprobar respuestas y entender cómo funcionan las gráficas. GeoGebra es una herramienta poderosa para la resolución de ecuaciones cuadráticas, ya que permite representar gráficamente sus soluciones y comprender mejor su comportamiento. Al ingresar la ecuación, el programa genera una parábola, mostrando los puntos donde cruza el eje x, es decir, sus soluciones. En nuestro trabajo, utilizamos GeoGebra para visualizar la ecuación cuadrática que planteamos. Gracias a esto, pudimos comprobar que una de las soluciones era negativa y, en el contexto del problema, esa respuesta no tenía sentido. Esto nos ayudó a interpretar los resultados de manera más precisa. Además, GeoGebra nos permitió identificar el vértice de la parábola, lo que nos dio información extra sobre la ecuación.

Utilidad de las Inteligencias Artificiales: Aciertos y Errores

Las inteligencias artificiales han demostrado ser muy útiles en la resolución de problemas matemáticos, pero también tienen ciertas limitaciones. Durante nuestro trabajo, identificamos varios aciertos y errores en el uso de estas herramientas. Aciertos: • Nos ayudaron a resolver ecuaciones cuadráticas de manera rápida. • Brindaron explicaciones paso a paso, lo que facilitó la comprensión del procedimiento. • Permitieron verificar los resultados obtenidos manualmente. Errores y limitaciones: • Algunas veces, las respuestas no fueron exactas o no coincidieron con lo esperado. • No todas las aplicaciones explican de manera detallada cómo obtener la solución. • Dependiendo de la herramienta utilizada, en ocasiones interpretó mal la ecuación si no estaba bien escrita.

Para plantear el problema, primero se definen las variables. Se designa el ancho de la carpa como X y, dado que la longitud es dos metros mayor, se expresa como x + 2 Dado que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando longitud por ancho, se establece la ecuación 48= x (x + 2) Expandiendo la ecuación, se obtiene X2 + 2x – 48= 0 lo que representa una ecuación cuadrática en su forma estándar. Para resolver esta ecuación, existen varios métodos. En este caso se emplea la factorización. Se buscan dos números que multiplicados den -48 y sumados den 2; en este caso, 8 y -6 cumplen con estas condiciones, por lo que la ecuación se factoriza como (x + 8) (x – 6) =0 Al igualar cada factor a cero, se obtienen las soluciones X1= -8 X2= 6 La solución x= -8 se descarta porque un ancho negativo no tiene sentido en este contexto. Así, el ancho de la carpa es de 6 metros. Luego, sustituyendo en la ecuación de la longitud, se obtiene 6 + 2= 8 por lo que la longitud es de 8 metros. Y su ancho es de 6 metros.