Parábolas Cónicas

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Parábolas Cónicas

Índice

01. ¿Qué es ?

02. Características

03. Fórmulas

04. Representación

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¿Qué es una parábola cónica?

Una parábola cónica es una de las conicidades, es decir, una de las figuras geométricas que se obtienen al cortar un cono con un plano. Cuando el corte es paralelo a una de las generatrices del cono, se obtiene una parábola. En términos simples, una parábola cónica es la curva que se forma cuando un plano corta un cono de manera tal que la intersección entre el plano y el cono forma una curva simétrica, y no corta el cono de forma transversal.

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Características

Simetría: La parábola tiene un eje de simetría, que es una línea imaginaria que la divide en dos partes iguales. Foco y directriz: Al igual que una parábola en el plano cartesiano, la parábola cónica tiene un foco (un punto dentro de la parábola) y una directriz (una línea fuera de ella). Todos los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco y de la directriz. Forma: La parábola cónica tiene la forma característica de "U", donde el vértice de la parábola es el punto más cercano al foco y también es el punto donde la parábola cambia de dirección.

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Fórmulas

Ecuación general de la parábola vertical -->y=ax^2+bx+c -a:Determina la apertura y concavidad de la parábola -si a>0 la parábola se abre hacia arriba -si a<0 la parábola se abre hacia abajo -b y c afectan la posición y forma de la parábola. Ecuación estándar de la parábola vertical y=a(x-h)^2+k -(h,k):coordenadas del vértice de la parábola -a:Determina la apertura y la concavidad Ecuación estándar de la parábola vertical Si la parábola esta orientada verticalmente y su vértice está en el origen (0,0), su ecuación reducida es: y=ax^2 -Vértice:(0,0) -Foco:(0,1/4a) -Directriz:y=-1/4a

03

Fórmulas

Ecuación reducida de la parábola horizontal Es una de las formas mas cómunes de representar una parábola horizontal con su vértice en el origen (0,0): y^2=2px -p: es la distancia del vértice al foco. También determina la apertura. -Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha. -Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda. -Vértice:(0,0) -Foco:(p/2,0) -Directriz:x=-p/2 -Eje de simetría: el eje x(y=0) Ecuación reducida de la parábola horizontal Si la parábola horizontal no esta centrada en el origen, su ecuación será: (y-k)^2=4a(x-h) -(h,k):coordenadas del vértice de la parábola -a:Distancia del vértice al foco -Si a>0 se abre hacia la derecha y si a <0 se abre hacia la izquierda

(y-k)^2=4a(x-h) Ejemplo: (y+1)^2=12(x-3 Aquí,h=3,k=-1,y 4a=-12 por lo que a =-3 a<0, la parábola se abre hacia la izquierda El vértice está en (h,k)=(3,-1) El foco está en(h+a,k)=(0,-1) La directriz es x=h-a=6

Ecuación estándar de la parábola horizontal

Ecuación reducida de la parábola vertical

Fórmula(ejemplos

y=ax^2+bx+c Ejemplo:2x^2-4x+1 Aquí,a=2,b=-4 y c=1 Como a>0, la parábola se abre hacia arriba La concavidad es hacia arriba

Ecuación general de la parábola vertical:

y=a(x-h)^2+k Ejemplo=-3(x-2)^2+4 Aquí a,=-3,h=2,y k=4 Como a<0, la parábola se abre hacia abajo El vértice está en (h,k)=(2,4)

Ecuación estándar de la parábola vertical:

y=ax^2 Ejemplo:y=1/2x^2 Aquí,a=1/2 Como a>0, la parábola se abre hacia arriba El vértice está en (0,0) El foco está en(0,1/4a)=(0,1/2) La directriz es y=-1/4a=-1/2

Ecuación reducida de la parábola horizontal

y^2=2px y^2=8x 2p=8, por lo que p=4 Como p>0, la parábola se abre hacia la derecha El vértice está en (0,0) El foco está en(p/2,0)=(2,0) La directriz es x=-p/2=-2 El eje de simetría es el eje x(y=0)

REPRESENTACION

Parábola con eje de simetría vertical

La parábola tiene esa forma porque cada punto en ella está a la misma distancia de un punto fijo llamado foco (en la imagen es el punto negro sobre el vértice) y de una línea recta llamada directriz (que es la línea horizontal debajo de la parábola)Es una curva abierta que se extiende hacia arriba, ya que el foco está por encima de la directriz El vértice es el punto central más cercano a la directriz y marca el punto más bajo de la parábola. La curva es simétrica respecto a un eje vertical (la línea morada) que pasa por el vértice y el foco, dividiendo la parábola en dos mitades iguales La parábola se extiende infinitamente hacia arriba en ambas direcciones, manteniendo siempre esta relación geométrica

REPRESENTACION

Parábola con eje de simetría horizontal

La parábola tiene esa forma porque surge de una regla geométrica muy específica-Cada punto de la parábola está siempre a la misma distancia de Un punto fijo llamado foco. Una línea recta llamada directriz. La forma de la parábola es abierta y tiene un punto central llamado vértice, que es el punto más cercano a la directriz. Además, la curva se extiende infinitamente en dos direcciones porque siempre es posible encontrar puntos que cumplen con la regla, incluso si están muy lejos del foco y la directriz. La simetría de la parábola se debe a que la relación con el foco y la directriz es la misma en los dos lados de un eje imaginario llamado eje de simetría que pasa por vertice y el foco.