Matriz Inversa: Método de Gauss Jordan. Matriz adjunta.

Inversa

Matriz

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz B con la propiedad de que

¿Qué es?

donde I es la matriz identidad . La matriz B es única, la llamamos la inversa de A y la denotamos por Esto es,

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/determinantes/matriz-inversa.html

Una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero

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Consiste en poner la matriz que queremos invertir seguida de la matriz identidad separadas por una línea recta.

1. Pongamos que queremos invertir la matriz:

PASOS CON EJERCICIO

2. Para empezar colocamos la matriz A seguida de la matriz identidad I_3 en este caso.

3. Vamos a hacer ceros en los elementos de la primera columna filas dos y tres.

4. Tras esto hacemos combinamos las filas dos y tres para obtener un cero en el elemento de la matriz izquierda de la fila tres columna dos.

5.Ahora vamos a buscar hacer ceros en la tercera columna filas uno y dos.

6.Buscamos hacer cero el elemento de la primera fila segunda columna.

7.Una vez que hemos hecho todo ceros menos en la diagonal principal tenemos que poner unos en la diagonal principal dividiendo o multiplicando las filas.

https://www.motyscience.com/bachillerato/2o-bachillerato/matematicas-ii-2o-bach/matriz-inversa-definicion-y-metodo-de-gauss-jordan/

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Método de Gauss Jordan

El procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A por el método de la adjunta es el siguiente:

Matriz Adjunta

1. Se calcula el determinante de A Si entonces tiene matriz inversa (en caso contrario se dice que es una matriz singular)

2. Se obtiene la transpuesta de A es decir,

3. Se calcula la matriz de cofactores de dando lugar a la matriz adjunta de A esto es,

4.Se forma el producto

EJERCICIO

1.

Obtener la matriz inversa de:

2.

3.

4.

COMPROBACIÓN

La matriz inversa de una matriz A es igual a la matriz adjunta de su matriz traspuesta, dividida por su determinante, siempre que este no sea cero.

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Video

http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/tsm/Applets_Geogebra/matrizinversa.html

Una empresa tiene 3 centros de distribución (A, B y C) y debe abastecer 3 almacenes (X, Y y Z). La cantidad de productos enviados desde cada centro de distribución a cada almacén está representada por la siguiente matriz:

Aplicación

Cada almacén necesita recibir la sig. cantidad de productos y se busca determinar cuántos productos deben enviarse desde cada centro de distribución para cubrir la demanda de los almacenes. 1. Almacén X: 100 Unidades 2. Almacén Y: 50 Unidades 3. Almacén Z: 80 Unidades

1.Construir una matriz del tipo

2.Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1

La matriz inversa es:

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3. Matriz de coeficientes A representa las relaciones entre los centros de distribución y los almacenes. Vector de demanda C= (100, 50, 80) representa la cantidad de productos que deben recibir los almacenes Para encontrar el vector X (las cantidades a transportar desde cada centro), calculamos: X=A^-1 C

Solución final Para cumplir con la demanda de los almacenes lo centros de distribución deben enviar:

• Centro A 20 Unidades
• Centro B 80 Unidades
• Centro C 130 Unidades

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