Algebra lineal PROPIEDADES DE LOS DETERMIANTES

Algebra lineal PROPIEDADES DE LOS DETERMIANTES

¿Que es?

Las propiedades determinantes son reglas fundamentales que rigen el cálculo y manipulación de determinantes de matrices cuadradas. Estas propiedades son esenciales para resolver sistemas de ecuaciones, encontrar valores propios y otras aplicaciones avanzadas en matemáticas e ingeniería

Otras propiedades de los determinantes

4. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz.

1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: |A| = |At|.

5. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula.

2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| × |B|.

6. La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

3. Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.

El método de Gauss

El método de Gauss La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en: Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante. Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero. Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos. Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, es posible considerar múltiples submatrices también cuadradas de orden h, siendo h £ n. El determinante de cada una de estas submatrices se dice menor de orden h de la matriz A. Entonces, se llama rango de una matriz al máximo orden de sus menores no nulos. El rango se simboliza por rang (A).

PROBLEMA RESULTO

Uso de las propiedades de los determinantes

1.Utilizando las propiedades de los determinantes,calcula

Solucion:

Restando la primera fila a las otras dos,queda:

=0,pues tiene dos filas proporcionales.

2.Utilizando trasformaciones de Gauss, halla el valor del determinante de la matriz

A =

Solucion:

Haciendo transformaciones que se indican, se tiene.

=F2+2F1 F3-2F1 F4-2F1

=1

1.Utilizando las propiedades de los determinantes,calcula

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES APLICACION

Tienes un triángulo definido por tres vértices en un plano cartesiano: A (x1, Y1), B(x2, Уz), Y C(x3, Y3). Necesitas calcular el área de este triángulo. Solución usando determinantes: El área del triángulo se puede calcular usando la siguiente fórmula basada en determinantes:

Aquí, el determinante de la matriz formada por las coordenadas de los vértices y una columna de unos nos da información directa sobre el área. El valor absoluto se utiliza porque el determinante puede ser negativo dependiendo del orden de los vértices, pero el área siempre es un valor positivo. Ejemplo: Supongamos que tienes un triángulo con los siguientes vértices: • A (1,1) • B(4,2) • C(2,5)

Entonces, la matriz seria:

Calculamos el determinante:

El área del triángulo es:

Por lo tanto, el área del triángulo es 5.5 unidades cuadradas.

Integrantes:*Gutierrez*Chilaca *Oriol *Solis *Salas

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