Projeto - Investigação

Feito por: Gonçalo Barros e Diogo FerreiraProfessora: Sónia Miriam Marmelo e Silva

Projeto - Investigação

Aplicações das derivadas ao etudo de funções

Conclusão

2.1

2.3

2.4

2.2

Exercício 2

2.4. Determinação da altura máxima, instante e monotonia

(a) Altura máxima atingida pela gota de água.(b) Instante em que a gota atinge a altura máxima(c) Intervalos de monotoniaA variação da altura da gota depende do sinal de 𝑎′(t)=−10t+10:

Resolução do Problema - Sistema de Rega

A gota de água segue um movimento parabólico, sobe até atingir a altura máxima de 5 metros em 1 segundo e depois desce. A variação da altura é maior no início, a gota sobe no intervalo [0,1] e desce após esse ponto. O estudo da função permitiu compreender a trajetória e a velocidade da gota ao longo do tempo.

2.2. Taxa de variação da altura nos instantes dados

A variação da altura é dada pela derivada da função:A taxa de variação é maior quando o valor absoluto de 𝑎′(𝑡)a ′ (t) é maior.No intervalo [0,0.5], temos:No intervalo [0.5,1], temos:A taxa de variação é maior no intervalo [0,0.5], pois 𝑎′(𝑡)a ′ (t) é maior nesse intervalo.

2.1. Taxa média de variação no intervalo [0,1]

A taxa média de variação (TMV) de 𝑎 ( 𝑡 ) a(t) no intervalo [ 0 , 1 ] [0 ,1] é:

Calculamos 𝑎 ( 1 ) a(1) e 𝑎 ( 0 ) a(0):

Significado: No intervalo de 0 a 1 segundo, a altura da gota de água aumenta, em média, 5 metros por segundo.

Resolução do Problema - Sistema de Rega

A Ana ligou o sistema de rega do seu jardim. Os tubos do sistema de rega encontra-se no solo. Os jatos de água, ao partirem do solo, descrevem parábolas. A altura, em metros, de uma gora de água é dada por:

em que a altura da gota, em metros, t segundos após o instante em que sai do solo.

2.3. Taxa de variação da altura nos instantes dados

Usamos 𝑎 ′ ( 𝑡 ) = − 10 𝑡 + 10 a ′ (t)=−10t+10: (a) Para 𝑡 = 0.2 t=0.2:(b) Para 𝑡 = 1 t=1:(c) Para 𝑡 = 1.2 t=1.2:

Interpretação:- Em 𝑡 = 0.2 t=0.2, a altura ainda está crescendo rapidamente. - Em 𝑡 = 1 t=1, a gota atinge o ponto mais alto e sua velocidade vertical é zero. - Em 𝑡 = 1.2 t=1.2, a gota já começou a cair.