"Álgebra de Funciones"

"Álgebra de Funciones"

Definición de Álgebra de Funciones

Operaciones Básicas con Funciones

Definición

Una función es una relación entre un conjunto de entrada (dominio) y un conjunto de salida (codominio), donde cada entrada tiene exactamente una salida

a) Suma de Funciones

b) Resta de Funciones

c) Multiplicación de Funciones

d) División de Funciones

Propiedades del Álgebra de Funciones

Composición de Funciones

• Las funciones cumplen propiedades algebraicas similares a los números reales, pero con algunas particularidades.

• La composición de funciones es una operación que consiste en aplicar una función al r esultado de otra. Se denota como (f∘g)(x)=f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x)).

MAS SOBRE ALGEBRA DE FUNCIONES

• Asociativa: (f+g)+h=f+(g+h)(f+g)+h=f+(g+h) y (f⋅g)⋅h=f⋅(g⋅h)(f⋅g)⋅h=f⋅(g⋅h) • Conmutativa: f+g=g+ff+g=g+f y f⋅g=g⋅ff⋅g=g⋅f (no aplica a la composición) • Distributiva: f⋅(g+h)=f⋅g+f⋅hf⋅(g+h)=f⋅g+f⋅h

Ejemplo Práctico

Problema: Dadas las funciones f(x)=3x−2f(x)=3x−2 y g(x)=x2+1g(x)=x2+1, encuentra (f+g)(x)(f+g)(x), (f⋅g)(x)(f⋅g)(x), y (f∘g)(x)(f∘g)(x). Solución: • (f+g)(x)=3x−2+x2+1=x2+3x−1(f+g)(x)=3x−2+x2+1=x2+3x−1 • (f⋅g)(x)=(3x−2)(x2+1)=3x3+3x−2x2−2(f⋅g)(x)=(3x−2)(x2+1)=3x3+3x−2x2−2 • (f∘g)(x)=f(g(x))=3(x2+1)−2=3x2+3−2=3x2+1(f∘g)(x)=f(g(x))=3(x2+1)−2=3x2+3−2=3x2+1

Ejemplo:

Si f(x)=2x+3f(x)=2x+3 y g(x)=x2g(x)=x2, entonces (f∘g)(x)=2(x2)+3=2x2+3(f∘g)(x)=2(x2)+3=2x2+3.

Aplicaciones del Álgebra de Funciones

• • Ingeniería: Modelado de sistemas dinámicos.
• • Economía: Análisis de funciones de costos y beneficios.
• • Física: Descripción de movimientos y fuerzas.

¿Tieneuna idea?

El álgebra de funciones es una rama de las matemáticas que estudia las operaciones que se pueden realizar con funciones, como la suma, resta, multiplicación, división y composición. Estas operaciones permiten combinar funciones para formar nuevas funciones.

Operaciones Básicas con Funciones

Suma de Funciones(f+g)(x)=f(x)+g(x)

• Aplicación: Útil para combinar efectos aditivos, como en la superposición de ondas en física.
• b) Resta de Funciones(f−g)(x)=f(x)−g(x)

• Aplicación: Se usa para calcular diferencias, como en la resta de costos o ganancias en economía.
• c) Multiplicación de Funciones(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)

• Aplicación: Modela interacciones multiplicativas, como en el cálculo de áreas o volúmenes.
• d) División de Funciones(fg)(x)f(x)g(x),
• siempre queg(x)≠0

• Aplicación: Útil en tasas de cambio, como la velocidad (distancia/tiempo).