I TRIANGOLI
Spedicato eva 1B les
Il capitolo approfondisce le caratteristiche e le proprietà fondamentali del triangolo nella geometria euclidea.
IL TRIANGOLO
Il triangolo è una delle figure geometriche fondamentali della geometria euclidea, delimitata da tre segmenti che si incontrano in tre punti distinti chiamati vertici, formando angoli interni.
UN ANGOLO INTERNO È:
Opposto al lato: se il suo vertice non appartiene al lato Compreso fra due lati: se essi appartengono ai lati dell’angolo Adiacente a un lato: se il suo vertice è un estremo del lato
Ogni triangolo possiede anche angoli esterni, ottenuti prolungando un lato oltre il vertice. Una proprietà fondamentale del triangolo è che la somma dei suoi angoli interni è sempre 180°. La sua importanza deriva non solo dalla semplicità della sua struttura, ma anche dalla vasta gamma di proprietà e teoremi che lo riguardano.
I TRIANGOLI IN RELAZIONE AI VARI ASPETTI
disuguaglianze dei triangoli
la classificazione
la loro congruenza
esercizi+ conclusione
bisettrici,meridiane e altezze
il triangolo isoscele
definizione e proprietà
CLASSIFICAZIONI
I triangoli possono essere classificati secondo due criteri principali.
IN BASE AGLI ANGOLI:
- Un triangolo acutangolo ha tutti gli angoli interni minori di 90 gradi ossia acuti. - Un triangolo rettangolo presenta un angolo retto di 90 gradi. Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, mentre gli altri due lati sono detti cateti. - Un triangolo ottusangolo ha un angolo interno maggiore di 90 gradi ossia ottuso.
CLASSIFICAZIONE
IN BASE AI LATI:
- Un triangolo equilatero ha tutti e tre i lati congruenti. Di conseguenza, anche i tre angoli interni sono uguali e misurano 60 gradi ciascuno. - Un triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti. Gli angoli opposti ai lati congruenti sono anch’essi uguali. - Un triangolo scaleno ha tutti i lati e gli angoli interni diversi tra loro.
I TRE SEGMENTI NOTEVOLI
All’interno di un triangolo si possono individuare particolari segment che connettono i vertici ai lati in modi specifici. Questi segmenti sono fondamentali nello studio della geometria del triangolo.
- La bisettrice è il segmento che divide un angolo interno in due angoli uguali e termina sul lato opposto. - La mediana è il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. - L’altezza è il segmento perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto o al suo prolungamento.
CRITERI DI CONGRUENZA
Due triangoli si dicono congruenti quando hanno la stessa forma e dimensione, ossia quando i loro lati e angoli corrispondenti sono uguali, di conseguenza sovrapponendoli coincidono punto per punto. Per stabilire la congruenza tra due triangoli, si possono applicare diversi criteri.
1. **Lato-Angolo-Lato (LAL)**: Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo compreso tra essi ordinatamente congruenti. 2. **Angolo-Lato-Angolo (ALA)**: Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e i due angoli adiacenti ordinatamente congruenti. 3. **Lato-Lato-Lato (LLL)**: Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
IL TRIANGOLO ISOSCELE
Il triangolo isoscele ha una proprietà fondamentale: gli angoli alla base sono sempre congruenti. Questo si dimostra utilizzando il criterio lato-angolo-lato, considerando che i due lati congruenti formano due triangoli sovrapponibili rispetto alla bisettrice dell’angolo al vertice. Un’altra proprietà importante è che la bisettrice dell’angolo al vertice è contemporaneamente altezza e mediana, dividendo il triangolo in due parti simmetriche. Esiste anche il teorema inverso, secondo cui se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele.
In un triangolo isoscele, chiamiamo: lati obliqui i lati congruenti; base l'altro lato; angoli alla base gli angoli adiacenti alla base; angolo al vertice l'altro angolo.
DISUGUAGLIANZE
Angoli esterni e interni Nel triangolo, un angolo esterno è sempre maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti. - Da questo teorema derivano due proprietà fondamentali: 1. La somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto (180°). 2. Almeno due angoli di un triangolo devono essere acuti. Lato maggiore e angolo maggiore: - A un lato maggiore è opposto un angolo maggiore. - A un angolo maggiore è opposto un lato maggiore (teorema inverso). Disuguaglianze tra i lati di un triangolo, ogni lato di un triangolo è: 1. Minore della somma degli altri due lati. 2. Maggiore della loro differenza. - Questa proprietà è utile per stabilire se tre segmenti possono formare un triangolo.
ESERCIZI
Esercizio 3 Verifica se è possibile formare un triangolo con i seguenti lati: a) 3 cm, 4 cm, 9 cm ESECUZIONE: La somma di due lati deve essere sempre maggiore del terzo. 3 + 4 = 7 (minore di 9), quindi non è possibile formare un triangolo con questi lati.
Esercizio 1 Un triangolo ha un angolo di 40 gradi e un altro angolo di 65 gradi. Trova il terzo angolo. ESECUZIONE: La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°. Quindi, il terzo angolo sarà: 180° - 40° - 65° = 75°
Esercizio 2 Determina se i seguenti triangoli sono congruenti applicando i criteri di congruenza: a) Un triangolo con lati 5 cm, 7 cm, 9 cm e un altro con gli stessi lati. ESECUZIONE : I triangoli sono congruenti per il criterio di congruenza dei lati (lato-lato- lato, LLL), poiché i tre lati di entrambi i triangoli sono uguali.
CONCLUSIONE
Lo studio dei triangoli rappresenta una base fondamentale della geometria, poiché le loro proprietà e teoremi trovano applicazione in numerosi ambiti matematici e scientifici. La classificazione in base agli angoli e ai lati, i criteri di congruenza, le disuguaglianze e le proprietà delle bisettrici, mediane e altezze permettono di risolvere problemi geometrici complessi e di comprendere meglio la struttura degli spazi euclidei. Approfondire il comportamento dei triangoli e dei loro elementi conduce a risultati sorprendenti e costituisce un passaggio essenziale per chiunque voglia esplorare la geometria avanzata.
ESERCIZIO
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