Il capitolo approfondisce le caratteristiche e le proprietà fondamentali del triangolo nella geometria euclidea.
Spedicato eva 1B les
I TRIANGOLI
Opposto al lato: se il suo vertice non appartiene al lato Compreso fra due lati: se essi appartengono ai lati dell’angolo Adiacente a un lato: se il suo vertice è un estremo del lato
Ogni triangolo possiede anche angoli esterni, ottenuti prolungando un lato oltre il vertice. Una proprietà fondamentale del triangolo è che la somma dei suoi angoli interni è sempre 180°. La sua importanza deriva non solo dalla semplicità della sua struttura, ma anche dalla vasta gamma di proprietà e teoremi che lo riguardano.
Il triangolo è una delle figure geometriche fondamentali della geometria euclidea, delimitata da tre segmenti che si incontrano in tre punti distinti chiamati vertici, formando angoli interni.
UN ANGOLO INTERNO È:
IL TRIANGOLO
esercizi+ conclusione
I TRIANGOLI IN RELAZIONE AI VARI ASPETTI
definizione e proprietà
la classificazione
bisettrici,meridiane e altezze
la loro congruenza
il triangolo isoscele
disuguaglianze dei triangoli
- Un triangolo acutangolo ha tutti gli angoli interni minori di 90 gradi ossia acuti. - Un triangolo rettangolo presenta un angolo retto di 90 gradi. Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa, mentre gli altri due lati sono detti cateti. - Un triangolo ottusangolo ha un angolo interno maggiore di 90 gradi ossia ottuso.
IN BASE AGLI ANGOLI:
I triangoli possono essere classificati secondo due criteri principali.
CLASSIFICAZIONI
- Un triangolo equilatero ha tutti e tre i lati congruenti. Di conseguenza, anche i tre angoli interni sono uguali e misurano 60 gradi ciascuno. - Un triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti. Gli angoli opposti ai lati congruenti sono anch’essi uguali. - Un triangolo scaleno ha tutti i lati e gli angoli interni diversi tra loro.
IN BASE AI LATI:
CLASSIFICAZIONE
- La bisettrice è il segmento che divide un angolo interno in due angoli uguali e termina sul lato opposto. - La mediana è il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. - L’altezza è il segmento perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto o al suo prolungamento.
All’interno di un triangolo si possono individuare particolari segment che connettono i vertici ai lati in modi specifici. Questi segmenti sono fondamentali nello studio della geometria del triangolo.
I TRE SEGMENTI NOTEVOLI
1. **Lato-Angolo-Lato (LAL)**: Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo compreso tra essi ordinatamente congruenti. 2. **Angolo-Lato-Angolo (ALA)**: Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e i due angoli adiacenti ordinatamente congruenti. 3. **Lato-Lato-Lato (LLL)**: Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
Due triangoli si dicono congruenti quando hanno la stessa forma e dimensione, ossia quando i loro lati e angoli corrispondenti sono uguali, di conseguenza sovrapponendoli coincidono punto per punto. Per stabilire la congruenza tra due triangoli, si possono applicare diversi criteri.
CRITERI DI CONGRUENZA
In un triangolo isoscele, chiamiamo: lati obliqui i lati congruenti; base l'altro lato; angoli alla base gli angoli adiacenti alla base; angolo al vertice l'altro angolo.
Il triangolo isoscele ha una proprietà fondamentale: gli angoli alla base sono sempre congruenti. Questo si dimostra utilizzando il criterio lato-angolo-lato, considerando che i due lati congruenti formano due triangoli sovrapponibili rispetto alla bisettrice dell’angolo al vertice. Un’altra proprietà importante è che la bisettrice dell’angolo al vertice è contemporaneamente altezza e mediana, dividendo il triangolo in due parti simmetriche. Esiste anche il teorema inverso, secondo cui se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele.
IL TRIANGOLO ISOSCELE
Angoli esterni e interni Nel triangolo, un angolo esterno è sempre maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti. - Da questo teorema derivano due proprietà fondamentali: 1. La somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto (180°). 2. Almeno due angoli di un triangolo devono essere acuti. Lato maggiore e angolo maggiore: - A un lato maggiore è opposto un angolo maggiore. - A un angolo maggiore è opposto un lato maggiore (teorema inverso). Disuguaglianze tra i lati di un triangolo, ogni lato di un triangolo è: 1. Minore della somma degli altri due lati. 2. Maggiore della loro differenza. - Questa proprietà è utile per stabilire se tre segmenti possono formare un triangolo.
DISUGUAGLIANZE
Esercizio 3 Verifica se è possibile formare un triangolo con i seguenti lati: a) 3 cm, 4 cm, 9 cm ESECUZIONE: La somma di due lati deve essere sempre maggiore del terzo. 3 + 4 = 7 (minore di 9), quindi non è possibile formare un triangolo con questi lati.
Esercizio 2 Determina se i seguenti triangoli sono congruenti applicando i criteri di congruenza: a) Un triangolo con lati 5 cm, 7 cm, 9 cm e un altro con gli stessi lati. ESECUZIONE : I triangoli sono congruenti per il criterio di congruenza dei lati (lato-lato- lato, LLL), poiché i tre lati di entrambi i triangoli sono uguali.
Esercizio 1 Un triangolo ha un angolo di 40 gradi e un altro angolo di 65 gradi. Trova il terzo angolo. ESECUZIONE: La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°. Quindi, il terzo angolo sarà: 180° - 40° - 65° = 75°
ESERCIZI
CONCLUSIONE
Lo studio dei triangoli rappresenta una base fondamentale della geometria, poiché le loro proprietà e teoremi trovano applicazione in numerosi ambiti matematici e scientifici. La classificazione in base agli angoli e ai lati, i criteri di congruenza, le disuguaglianze e le proprietà delle bisettrici, mediane e altezze permettono di risolvere problemi geometrici complessi e di comprendere meglio la struttura degli spazi euclidei. Approfondire il comportamento dei triangoli e dei loro elementi conduce a risultati sorprendenti e costituisce un passaggio essenziale per chiunque voglia esplorare la geometria avanzata.
ESERCIZIO
ESERCIZIO