Module D - Leçon 1

Module D : Les fonctions

Mathématique 11

Leçon 1 : Les systèmes d'inéquations

Commencer

Didactic Unit

Objectifs

C'est quoi que tu vas apprendre dans cette leçon ?

Objectifs

Dans cette leçon, tu dois modéliser des situations avec un système d’inéquations à deux variables et déterminer graphiquement la région solution afin de résoudre un problème.

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

RF1. modéliser et résoudre des problèmes comportant des systèmes d’inéquations linéaires à deux variables.

Les systèmes d'équations utilisent la même logique que les diagrammes Venn.

Exemples

Conclusion

N'oublie pas que tu as accès à l'Appui aux devoirs.

Didactic Unit

Introduction

Que vas-tu voir ici ?

N'as-tu jamais...

Dans cette leçon, tu apprendras à représenter des situations réelles à l’aide de systèmes d’inéquations linéaires à deux variables. Tu utiliseras ces systèmes pour tracer des droites de séparation, identifier la région solution et résoudre des problèmes d’optimisation.

• voulu savoir comment une entreprise fixe sa production

• pensé à organiser ton horaire de manière optimale ?

• demandé comment les agriculteurs maximisent leurs récoltes ?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Conclusion

Didactic Unit

Vocabulaire important

Voici des termes qui seront importants dans cette leçon.

Inéquation

y ≤ 3x + 1

Inéquation

Objectifs

Système d’inéquations

y < -½x - 1

Introduction

Système d’inéquations

Région solution

Vocabulaire

Ligne pleine

Révision

Les inéquations linéaires

Ligne pointillée

Ligne pleine

Les systèmes d'inéquations

Les symboles :

> plus grand que< plus petit que

≥ plus grand ou égale que≤ plus petit ou égale que

Exemples

Conclusion

Ligne pointillée

Clique sur chaque terme pour en savoir plus.

Région solution

Didactic Unit

Révision

Repassons ce que tu as déjà appris à propos des systèmes d'équations avant de commencer dans des systèmes d'inéquations :

Comment est-ce que je peux démontrer des systèmes d'équations sur un plan cartésien ?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Lire des coordonnées sur un plan cartésien

Révision

Les inéquations linéaires

Tester un point pour voir s’il est sur une droite

Les systèmes d'inéquations

Trouver la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite

Exemples

Conclusion

Tracer une droite à partir d’une équation

Didactic Unit

Les inéquations linéaires

Une inéquation est une expression mathématique qui compare deux quantités avec un symbole d’inégalité (<, >, ≤, ≥) au lieu d’un signe égal. Elle représente un ensemble de solutions plutôt qu’une seule valeur.

Objectifs

Exemple

Introduction

Vocabulaire

y > 2x + 3 signifie que y doit être plus grand que 2x+3, donc tous les points au-dessus de la droite y=2x+3 sont des solutions.

Révision

Les inéquations linéaires

Pour notre exemple, toute la région en rouge sur le plan cartésien sont des solutions possible de l'inéquation.

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Conclusion

Visionnez la vidéo suivante pour repasser les étapes de cette exemple :

Vidéo

Didactic Unit

Les inéquations linéaires

Tracer la droite frontière

Comment savoir si la droite doit être pleine ou pointillée?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Si l’inéquation contient < ou >, alors la frontière n’est pas incluse → ligne pointillée.

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Si l’inéquation contient ≤ ou ≥, alors la frontière fait partie des solutions → ligne pleine.

Exemples

Conclusion

Les inéquations linéaires

Choisir un point test

Pour tester si un point fait partie de la réponse, choisir un point facile (souvent (0,0) s’il ne se trouve pas sur la droite) et Remplacer x et y dans l’inéquation et voir si l’égalité est vraie ou fausse.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Exemple

y > 2x + 3 0 > 2(0) + 3 0 > 0 + 3 0 > 3

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Conclusion

Ceci c'est faux, donc le point (0,0) n'est pas inclus dans la solution.

Didactic Unit

Les systèmes d'inéquations

Avec chaque système d'inéquation, nous allons faire 4 étapes afin de les résourdre :

Objectifs

Introduction

• Étape 1 : Tracer chaque droite
• Étape 2 : Ombrer chaque région en respectant chaque inéquation
• Étape 3 : Trouver la solution commune
• Étape 4 : Vérifier avec un point test dans la région finale

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Tracer chaque droite

Ombrer chaque région

Vérifier ta réponse

Pratique

Exemples

Conclusion

Didactic Unit

Tracer chaque droite

Étape 1 : Une inéquation est basée sur une droite, donc on commence par tracer cette droite.

y ≤ 2x + 3 y > -x + 2

Exemple

Objectifs

Introduction

Si nous avons le système d'inéquation ci-dessous, comment peut-on tracer les droites ?

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

La première étape consiste à transformer chaque inéquation en équation en remplaçant le symbole d’inégalité par un égal. Cela permet de tracer la droite correspondante, qui servira de référence pour délimiter la région solution. Ensuite, il faut déterminer si la droite doit être pleine ou pointillée. Si l’inéquation contient ≤ ou ≥, la droite est pleine, car elle fait partie des solutions. Si l’inéquation contient < ou >, la droite est pointillée, car elle n’est pas incluse dans la solution.

Les systèmes d'inéquations

Tracer chaque droite

Ombrer chaque région

Solution

Essaie de le dessiner toi même et vérifie la solution ci-dessous. Si tu as de la difficulté, tu peux vérifier la vidéo dans la pratique guidée.

Vérifier ta réponse

Pratique

Pratique guidée

Exemples

Conclusion

Didactic Unit

Ombrer chaque région

Étape 2 : La prochaine étape consiste à déterminer de quel côté de la droite se trouve la région solution, c’est-à-dire l’ensemble des points qui satisfont l’inéquation. Pour cela, on choisit un point qui n’est pas sur la droite et on le remplace dans l’inéquation. Si l’inéquation est vraie, alors la région contenant ce point fait partie de la solution; sinon, c’est l’autre côté qui doit être ombré. Pour notre exemple, nous allons sélectioner le point (0,0).

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

y > -x+2 y≤2x+3

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Ligne rouge

Ligne bleu

Tracer chaque droite

y > -x+2 0 > -0+2 0 > 2

y ≤ 2x+3 0 ≤ 2(0)+3 0 ≤ 0+3 0 ≤ 3

Ombrer chaque région

Vérifier ta réponse

FAUXDonc cette section n'est pas ombrer

VRAIDonc cette section est ombrer

Pratique

Étape 3

Exemples

Conclusion

Didactic Unit

Vérifier ta réponse

Pour s’assurer qu’on n’a pas fait d’erreur en traçant nos lignes, nous allons prendre un point dans la région solution et remplacer dans toutes les inéquations.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Prenons le point (2,2) pour vérifier notre réponse. Essaie de vérifier les deux inéquations. Le but sera que les deux équations sont vraies.

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

y > -x+2 y≤2x+3

Tracer chaque droite

Ombrer chaque région

Vérifier ta réponse

Solution

Pratique guidée

Pratique

Exemples

Conclusion

Didactic Unit

Pratique guidée

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Tracer chaque droite

Ombrer chaque région

Vérifier ta réponse

Pratique

Exemples

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 1 : Représenter graphiquement les systèmes d'inéquations

Représente graphiquement le système d'équation suivant :

Objectifs

y > 2y ≤ 2x - 2

Introduction

Vocabulaire

Révision

Vous pouvez sois le dessiner à la main ou utiliser le modèle Canva ci-dessous :

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Modèle Canva

Exemples

Représenter graphiquement

Isoler la variable

Explication

Solution

Problème concret

Conclusion

Exemple 2 : Isoler la variable et trouver la région réponse

Didactic Unit

Parfois, l'inéquation n'est pas écrite sous la forme y =. Dans ce cas, il faut isoler y en utilisant les mêmes étapes que pour une équation normale. Cela signifie que tu peux additionner, soustraire, multiplier ou diviser des termes des deux côtés, tout en gardant une règle importante en tête : si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, il faut inverser le symbole d'inégalité.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Représente graphiquement le système d'équation suivant :

3x - 6y≤ 122x + y < 3

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Modèle Canva

Vous pouvez sois le dessiner à la main ou utiliser le modèle Canva :

Représenter graphiquement

Isoler la variable

Pratique guidée

Solution

Problème concret

Conclusion

Didactic Unit

Pourquoi utiliser les systèmes d’inéquations ?

Dans la vie de tous les jours, nous sommes souvent confrontés à des décisions qui impliquent plusieurs contraintes en même temps. Par exemple :

• Gérer un budget : tu veux économiser pour un voyage tout en payant tes dépenses.

• Planifier ton temps : tu dois étudier un minimum d’heures, mais tu veux aussi du temps libre.

• Organiser un événement : tu as un nombre limité de places et un coût à respecter.

Les équations sont utiles pour trouver une valeur exacte, comme dans un problème où tu veux savoir combien de billets coûte un concert si tu connais le prix de chaque billet. Mais souvent, il n’y a pas une seule réponse possible. Les inéquations permettent de modéliser des situations où plusieurs solutions sont possibles, mais avec des limites précises.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Représenter graphiquement

Isoler la variable

Problème concret

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 3 : Résoudre un problème concret

Budget d’un concert Un groupe de musique organise un concert et doit choisir entre deux types de billets :

• Billet standard à 15 $

• Billet VIP à 30 $

Ils doivent vendre au moins 100 billets et générer un minimum de 2500 $ en ventes. Question : Déterminer les combinaisons possibles de billets standard et VIP qui respectent ces conditions.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Représenter graphiquement

Isoler la variable

Problème concret

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 3 : Résoudre un problème concret

Pour transformer une situation réelle en un système d’inéquations, il faut analyser les contraintes du problème et les convertir en expressions mathématiques. Voici les quatre étapes clés à suivre :

Explication

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Clique ici pour montrer la prochaine étape

Représente graphiquement le système d'équation suivant :

Équations possibles :x + y ≥ 100 15x + 30y ≥ 2500

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Modèle Canva

Représenter graphiquement

Vous pouvez sois le dessiner à la main ou utiliser le modèle Canva :

Isoler la variable

Pratique guidée

Solution

Problème concret

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 4 : Résoudre un problème concret

Problème :Une entreprise fabrique deux types de smoothies :

• Smoothie A utilise 2 pommes et 1 orange.
• Smoothie B utilise 1 pomme et 2 oranges.

L’entreprise a au total 30 pommes et 36 oranges. Chaque Smoothie A rapporte 3 $ et chaque Smoothie B rapporte 2 $. Question : Combien de smoothies de chaque type faut-il produire pour maximiser les profits?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Représenter graphiquement

Isoler la variable

Pratique guidée

Problème concret

Conclusion

Didactic Unit

Voici les grandes idées que tu aurais dû apprendre dans cette leçon ;

Transformer l’inéquation en équation (y = mx + b), tracer la droite correspondante et choisir une ligne pleine (≤ ou ≥) ou pointillée (< ou >). Utiliser un point test (ex. (0,0)(0,0)(0,0)) pour voir de quel côté de la droite se trouvent les solutions et ombrer la bonne région. Tracer chaque inéquation sur le même graphique et identifier la zone où les solutions des deux inéquations se chevauchent.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Révision

Les inéquations linéaires

Les systèmes d'inéquations

Exemples

Voici un peu de pratique en avance de ta leçon.

Conclusion

As-tu des questions ? Communique avec ton enseignant !

Rends-toi à la révision sur la feuille d'accompagnement.

Le point (0,0) ne se trouve pas dans la section ombrée par les deux lignes. Donc, le point ne fait pas partie de la solution.

Nous pouvons également faire le calcul à partie des inéquations : y > 20 > 2 FAUX

y ≤ 2x - 20 ≤ 2(0) - 2 0 ≤ 0 - 2 0 ≤ - 2 FAUX

x+y≥100 y ≥ -x + 100 15x + 30y ≥ 2500 30y ≥ -15x +2500 y ≥ -15/30 x + 83.33 y ≥ -½x + 83.33

-x

-x

-15x

-15x

÷ 30

÷ 30

Système d'inéquations

Deux ou plusieurs inéquations qui doivent être vraies en même temps.

y ≤ 3x + 1

Exemple :

y < -½x - 1

Solution

y > -x + 2 2 > -2 + 2 2 > 0 y≤2x+3 2≤2(2)+3 2≤4+3 2≤7

Inéquation

Une phrase mathématique avec un symbole d’inégalité (<, >, ≤, ≥).

y ≤ 3x + 1

Exemple :

Ligne pointillée

Ligne utilisée quand la droite ne fait pas partie de la solution (symbole < ou >).

Ligne pointillée

3x-6y≤12 -6y≤-3x+12 y≥½x-2 2x+y < 3 y < -2x +3

-3x

-3x

÷-6

÷-6

-2x

-2x

Solution

Ligne bleu : y > -x + 2 Ligne rouge : y≤2x+3

Ligne pleine

Ligne utilisée quand la droite fait partie de la solution (symbole ≤ ou ≥).

Ligne pleine

Région réponse

Les points ou les régions qui respectent toutes les inéquations d’un système.

La région réponse dans l'exemple est l’endroit sur le plan cartésien où les deux couleurs se chevauchent (le rouge et le bleu). Ça veut dire que cette région répond aux deux inéquations en même temps.

Région réponse

Étape 3 : Trouver la solution commune

La section R (qui a été ombré à deux reprises) est notre réponse. À noter, les coordonées sur la ligne bleu ne font pas partie de la solution parce que c'est une ligne pointillée.