Antecedentes históricos

Antecedentes históricos

Línea del tiempo

Presentan:

Yamileth, Ariadna, Maricela, Gustavo, David, Lenin, Joel

Asesora:

Dra. Erika Zubillaga Guerrero

Referencias

https://euclides.org/los-elementos/libro-iv/

Boyer B. Carl. 1986. Historia de la matemática. versión española Mario Martínez Pérez. editorial alianza

Larroyo Francisco. 2015. Diálogos. editorial Purrúa

Desarrollo Histórico de los fundamentos de la Geometría

A mediados del Siglo V A.C.

Inicio del siglo V a.c.

Finales del siglo V a.c.

Antes de siglo IV a.c.

Siglo VI a.c.

Tales y los petagóricos

La época de platón y Aristoteles

La época heróica de las matemáticas

Geometría Prehelénica

Euclides y sus elementos

Geometría prehelenica

Tales y los pitagóricos

E Q U I P O # 1

GEOMETRÍA PREHELÉNICA

Que es la geometría

La geometría en la época prehelénica se refiere a los conocimientos y prácticas geométricas desarrolladas por civilizaciones antiguas antes del surgimiento de la cultura griega clásica (antes del siglo VI a.C.) Estas civilizaciones utilizaron principios geométricos de manera empírica, principalmente para resolver problemas prácticos en áreas como la agrimensura, la arquitectura, la astronomía y el comercio.

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PRINCIPALES ACTIVIDADES QUE REALIZABAN

BABILONIOSDestacaron en la agricultura, el comercio, la astronomía, las matemáticas (incluyendo álgebra y un sistema de medición y pesaje) y la creación de sistemas legales.

LOS EGIPCIOS Por su parte, sobresalieron en la agricultura, la construcción de monumentos (como las pirámides), la astronomía, la medicina, la escritura jeroglífica y la momificación.

lo más importante de la geometría prehélenica.

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Quiz finalizado

Referencias: 1.- Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A history of mathematics (3rd ed.). Wiley. 2.- Katz, V. J. (2009). A history of mathematics: An introduction (3rd ed.). Addison-Wesley.

LOS pitagóricos

El pitagorismo fue un movimiento filosófico-religioso de mediados del siglo VI a. C. fundado por Pitágoras de Samos, siendo ésta la razón por la cual sus seguidores recibían el nombre pitagóricos. Estos formaban la escuela pitagórica, agrupación o secta conformada por astrólogos, músicos, matemáticos y filósofos cuya creencia más destacada era que todas las cosas son, en esencia, números.

El pensamiento pitagórico estaba dominado por las matemáticas, a la vez que era profundamente místico. En el área de la cosmología no hay acuerdo sobre si el mismo Pitágoras impartía enseñanzas, pero muchos eruditos creen que la idea pitagórica de la transmigración del alma es demasiado importante para haber sido añadida por un seguidor posterior a Pitágoras.l

Según Neugebauer, a partir de su interpretación de las tablillas cuneiformes de este siglo, "lo que se llama pitagórico en la tradición griega debería probablemente ser llamado babilonio", pues los pitagóricos habrían aprehendido sus conocimientos matemáticos en la aritmética y en el álgebra de los babilonios. Más tarde, imprimieron estos conocimientos en su propio estilo con un carácter específicamente griego, anteponiendo al carácter operativo e instrumental de los babilonios el rigor lógico y la demostración matemática.

El número como principio de todas las cosas

Los pitagóricos se dedicaron a las matemáticas, fueron los primeros que hicieron progresar este estudio y, habiéndose formado en él, pensaron que sus principios eran los de todas las cosas. Tenían el entusiasmo propio de los primeros estudiosos de una ciencia en pleno progreso, y les cultivó la importancia del número en el cosmos: todas las cosas son numerables, y muchas las podemos expresar numéricamente. Así la relación entre dos cosas relacionadas se puede expresar por una proporción numérica; el orden existente en una cantidad de sujetos ordenados se puede expresar mediante números, y así sucesivamente.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es una premisa matemática que nos permite calcular la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. El enunciado del teorema de Pitágoras dice lo siguiente: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. La fórmula para calcular el teorema de Pitágoras es:

C² = a² + b²

Epoca Heroica de las matemáticas

A mediados del siglo V

Boyer B. Carl. 1986. Historia de la matemática. versión española Mario Martínez Pérez. editorial alianza

Hipócrates

Hipias de Ellis

Anaxagoras de Clazomene

Filolao y Arquitas de Tarento

Info

Democrito

Zenón de Elea

Info

Hipaso de Metaponto

HIPASO DE METAPONTO

Hipaso de Metaponto, matemático y filósofo presocrático del siglo V a.C., fue miembro de la influyente escuela pitagórica. Aunque se sabe poco con certeza sobre su vida, se le atribuye uno de los descubrimientos más impactantes de la historia temprana de las matemáticas: la existencia de números irracionales.

Descubrimiento de los números inconmensurables :

Hipaso de Metaponto descubrió los números inconmensurables, también conocidos como irracionales, al intentar demostrar la relación entre la longitud de un lado de un cuadrado y su diagonal utilizando el teorema de Pitágoras. Este descubrimiento, al mostrar que no se podían expresar como una fracción de números enteros, contradijo la creencia pitagórica de que todo podía ser expresado con números enteros y proporciones.

La crisis de los números inconmensurables

Cambio en la concepción de número: El descubrimiento de los irracionales obligó a una revisión fundamental de la idea de número. ya no se podía sostener la visión pitagórica de que todos los números son racionales. Impacto en la geometría: El descubrimiento de la inconmensurabilidad tambien estimulo el desarrollo de la geometría griega. matemáticos como Eudoxo desarrollaron métodos geométricos rigurosos para trabajar con magnitudes inconmensurables Influencia en la filosofía Desafío la idea de que el mundo es completamente racional y ordenado, y abrió la puerta a nuevas formas de pensar sobre el infinito y lo incognoscible

DEMOSTRACIÓN

Dado un Cuadrado de lado 1, demuestre geometricamente que su diagonal no puede expresarse como una fracción exacta de números enteros

1. Suposición inicial: Supongamos que √2 es racional, es decir, que puede escribirse como una fracción: √2 = p/q donde p y q son enteros primos entre sí (no tienen factores comunes). 2. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación: 2 = p²/q² Multiplicamos ambos lados por q²: 2q² = p² Esto implica que p² es par, ya que es igual al doble de otro número (2q²). 3. Conclusión sobre la paridad de p: Si p² es par, entonces p también debe ser par (pues el cuadrado de un impar es impar). Por lo tanto, p = 2k para algún entero k. 4. Sustituimos p = 2k en la ecuación anterior: 2q² = (2k)² = 4k² Dividiendo entre 2: q² = 2k² Esto implica que q² también es par, y por tanto q es par. 5. Contradicción: Ahora tenemos que tanto p como q son pares, es decir, ambos tienen como factor común al 2. Pero esto contradice la suposición inicial de que p y q eran primos entre sí. 6. Conclusión: Como nuestra suposición de que √2 es racional nos llevó a una contradicción, se concluye que: √2 es irracional.

c) la solución de Arquitas (428-350 aC)

Determinando punto por la intersección de tres superficies de revolución: ♦ Un cono. ♦ Un cilindro. ♦ Un toro. Suponer dos segmentos AC, AB entre los cuales debemos encontrar las dos medias proporcionales y AC es el diámetro de un circulo y AB es una cuerda del círculo.

Zenón de Elea

Zenón de Elea , fue un filósofo griego nacido en Elea, perteneciente a la escuela eleática (c.490-430 a. C.). Fue discípulo directo de Parménides de Elea. No estableció ni conformó ninguna doctrina positiva de su propia mano. Zenón elaboró cuarenta diferentes paradojas partiendo de la suposición de la pluralidad y el movimiento, todas ellas aparentemente basadas en las dificultades resultantes de un análisis del continuo. En sus argumentos contra la idea de que el mundo contiene más de una cosa, Zenón dedujo sus paradojas de la suposición de que si una magnitud puede dividirse, entonces puede dividirse una infinidad de veces. Zenón también supone que una cosa que no tiene magnitud no puede existir.

Zenón de Elea

Zenón de Elea está considerado como el inventor indiscutible del razonamiento paradójico: el filósofo no demostraba directamente las tesis de su maestro, sino que discutía sus razonamientos hasta el punto de hacer ver estas conclusiones todavía menos aceptables que las suyas propias. En este sentido, tal y como hiciera Parménides, Zenón dedicó sus esfuerzos a demostrar la inconsistencia de las nociones de movimiento y pluralidad

Zenón de Elea

El genio de la desesperación Referente de un pensamiento paradójico que hizo trizas la capacidad lógica de su generación, la obra del filósofo griego ocupa uno de los lugares más destacados de la historia de la filosofía, sentando el precedente incluso de importantes descubrimientos matemáticos.

APORTACIONES DE Zenón de Elea A LAS MATEMATICAS

🧠 1. Introducción del concepto de infinito divisible Zenón fue uno de los primeros en proponer la idea de que el espacio y el tiempo pueden dividirse infinitamente, lo que más tarde se conoció como: Infinito potencial: algo que puede dividirse sin fin, pero nunca se agota. Esta idea fue central para el cálculo infinitesimal más de 2000 años después. 📌 Aporte clave: Cuestionó cómo puede completarse una suma infinita de partes → esto anticipa el concepto de límites.

🌀 2. Estimuló el desarrollo del cálculo (siglos más tarde) Sus paradojas (como la de Aquiles o la dicotomía) se resolvieron siglos después gracias a: Newton y Leibniz, que formalizaron el cálculo. El concepto de serie convergente, donde una suma infinita puede tener un resultado finito. 📌 Aporte clave: Sus ideas motivaron a matemáticos posteriores a desarrollar herramientas para manejar el infinito con precisión matemática.

📏 3. Contribuciones indirectas a la geometría y la teoría del movimiento Zenón influyó en Euclides, Aristóteles y más tarde en matemáticos como Cauchy y Weierstrass, quienes formalizaron el análisis matemático. Al cuestionar la idea de que el movimiento es real o posible, forzó una formalización rigurosa del concepto de cambio.

🧩 4. Relación con la lógica matemática Zenón fue uno de los primeros en usar una forma primitiva de reductio ad absurdum: demostrar que una idea lleva a una contradicción si se acepta. Este método es fundamental en pruebas matemáticas modernas. 📌 Aporte clave: Su forma de razonar ayudó a desarrollar el enfoque lógico-deductivo.

📚 En resumen:

PARADOJAS DE Zenón de Elea

Son una serie de argumentos filosóficos propuestos por Zenón de Elea, estas paradojas buscan demostrar que el movimiento, la multiplicidad y el cambio son ilusorios, y que confiar únicamente en la percepción sensorial lleva a contradicciones.

Las cuales son las siguientes paradojas mas conocidas : 1. La Paradoja de Aquiles y la Tortuga 2. La Dicotomía 3. La Flecha 4.El Estadio

1. La Paradoja de Aquiles y la Tortuga Planteamiento: Aquiles (el más rápido de los griegos) corre una carrera con una tortuga que tiene una ventaja inicial. Zenón argumenta que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga porque, cuando llegue al punto de partida de la tortuga, esta ya habrá avanzado un poco más, y cuando llegue a ese nuevo punto, la tortuga habrá avanzado aún más… y así infinitamente. Paradoja: Aunque Aquiles corre más rápido, parece que nunca la alcanzará. Respuesta moderna: En realidad, la suma infinita de distancias recorridas converge a un número finito. Es decir, Aquiles la alcanza en un tiempo finito.

2. La Dicotomía Planteamiento: Antes de recorrer una distancia, primero debes recorrer la mitad. Pero antes de eso, la mitad de esa mitad… y así hasta el infinito. Paradoja: Si hay infinitas divisiones, nunca podrías empezar a moverte. Respuesta moderna: Aunque hay infinitas divisiones, su suma total también converge a una distancia finita (esto lo resuelve el cálculo infinitesimal).

3. La Flecha Planteamiento: Una flecha disparada está en reposo en cada instante del tiempo (en cada “fotograma”). Si está en reposo en cada instante, entonces no se mueve nunca. Paradoja: El movimiento es una ilusión porque en cada momento la flecha está inmóvil. Respuesta moderna: El movimiento no se capta como una suma de estados estáticos, sino como variación continua en el tiempo (velocidad = cambio de posición).

4. El Estadio Planteamiento: Imagina tres filas de objetos en movimiento relativo (una en reposo y dos moviéndose en sentidos opuestos). Según Zenón, el tiempo que tarda un objeto en pasar por otro es contradictorio si se considera la relatividad del movimiento. Paradoja: Surge una contradicción sobre la medida del tiempo y el espacio cuando se combinan distintos marcos de referencia. Respuesta moderna: Las paradojas se resuelven con una comprensión más precisa del movimiento relativo y del tiempo, como lo formaliza la física moderna.

🐢⚡ Paradoja de Aquiles y la Tortuga – Explicación Numérica Situación: Aquiles corre a 10 m/s. La tortuga corre a 1 m/s. La tortuga tiene una ventaja inicial de 100 metros. ⚠️ Zenón dice: Cuando Aquiles llega a donde empezó la tortuga, esta ya avanzó un poco. Luego Aquiles va a ese nuevo punto… y la tortuga también avanzó otro poco… ¡Y así infinitamente! ✅ Vamos a calcular: Pregunta: ¿Cuánto tiempo tarda Aquiles en alcanzar a la tortuga? Paso 1 – Primer alcance Aquiles recorre los 100 m de ventaja a 10 m/s → 📌 Tarda: t₁ = 100 / 10 = 10 segundos En ese tiempo, la tortuga avanza: 1 m/s × 10 s = 10 metros

Paso 2 – Segundo alcance Aquiles recorre los 10 m nuevos de ventaja → t₂ = 10 / 10 = 1 segundo La tortuga avanza: 1 m/s × 1 s = 1 metro Paso 3 – Tercer alcance Aquiles recorre 1 metro → t₃ = 1 / 10 = 0.1 segundos Tortuga avanza: 0.1 m ✍️ Esto continúa infinitamente: Distancias: 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... Tiempos: 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + ... 📐 ¿Qué dice el cálculo moderno? La suma infinita de tiempos es: 𝑇=10+1+0.1+0.01+...

✅ Conclusión: Aunque hay infinitas etapas, su suma da un tiempo finito. 📌 Aquiles alcanza a la tortuga en 11.11 segundos. Zenón tenía razón en que hay infinitas divisiones, pero la matemática moderna (especialmente el cálculo infinitesimal) demuestra que la suma puede ser finita, resolviendo así la paradoja.

Esto es una serie geométrica:

Y esta tiene una suma finita:

Epoca de Platón y Aristoteles

Boyer B. Carl. 1986. Historia de la matemática. versión española Mario Martínez Pérez. editorial alianza

Larroyo Francisco. 2015. Diálogos. editorial Purrúa

RTeodoro de Cirene: fue un filósofo y matemático griego nacido en Cirene (hoy en día Shahhat, en Libia). Fue desarrollador de la teoría de los números irracionales.

Su tratado sobre la esfera en movimiento es el más antiguo de los que han llegado a nuestra época.

RDescubrio que había curvas a mano con la propiedad deseada, existían familia de curvas que se podían obtener con el mismo método, descubrimiento de elipse, parábola e hipérbola.

Platón (427 a. C.-347a. C. Platón seria el primero en sistematizar las reglas de la demostracción rigurosa y en comenzar una ordenación de los teoremas según una jerarquía lógica, iniciando un proceso de organización y estructuración deductiva de la matemática que culminaría Euclides con los Elementos.

Realizó un estudio sobre los poliedros donde meniona que hay cinco y solo cinco poliedros regulares, además de las magnitudes inconmensurables

Autólico de Pitania

Teetetes

Arquitas de torento (435 a. C.-360a. C. Se cree que fue el primero que aplicó la geometría a la mecanica y que trato de resolver el problema de la duplicidad del cubo.

Menecmo

Dinostrato

Timeo

R Demuestra que mediante la trisectriz de Hipias es posible lograr la cuadratura del círculo. A esta curva se la empieza a llamar cuadratriz.

Platón en sus dialogos menciona que Timeo explica los poliedros regulares y los utiliza para explicar los fenómenos.

Socrates ( inspirador de platón)

Eudoxio de Cnidos (408 a. C.-390a. C. En geometría influyó de manera importante sobre Euclides con su teoría de las proporciones y el método exhaustivo, por lo que está considerado como el padre del cálculo integral

Aristoteles

El primer sistematizador de la Lógica

Los siete artes liberales

Cuadrvium

Trivium

Arquitas

Sócrates

Sócrates queria morir: no fue Atenas, sino el mismo quien se condenó a beber la cicuta; obligó a Atenas a condenarlo a bebérsela... FRIEDRICH NIETZSCHE

Método de la Mayéutica.

Importancia de la definición

Kraus, R.(2022) La vida privada y pública de Sócrates.Arpa

Los sólidos platonicos

Academía de platón en Atenas

No entre aqui nadie que ignore la geometría

5 sólidos regulares

Sólidos platonicos

Platón

Hacedor de matemáticos

Teetetes

A el se debe problablemente el teorema fundamental que dice que hay cinco y solo cinco poliedros regulares

Responsable de los cálculos de las razones de las aristas de los solidos regulares al radio de la esfera circunscrita.

Establece distinción no sólo entre las magnitudes conmensurables e inconmensurables, sino tambien entre aquellas que, siendo inconmensurables en longitud, son o no, conmensurables en cuadrado.

Teodoro de Cirene

(470 - 399 a.C.)

Teoría de las proporciones

Estudio de las figuras geométricas

Espiral de Teodoro

Stillwell, J. (2010). Mathematics and ist history (3rd ed.). Springer

Eudoxio de Cnido

Reforma platónica de las matemáticas

Eudoxo fue quien dió una definición nueva y universalmente aceptada de la igualdad de dos razones: cuatro cantidades están en proporción , a:b=c:d, si las dos razones tienen la misma resta mutua, es decir, si la menor en cada una de las dos razones cabe en la mayor el mismo número entero de veces, y el resto en cada caso cabe en la menor el mismo número de veces, y el nuevo resto cabe en el anterior el mismo número entero de veces y así sucesivamente.

Los orígenes del análisis

• Platón incorporó la estereometría al cuadrivium
• Clarificó algunas de las definicones y reorganizó las hipótesis de partida, subrayando que los razonamientos que se hacen en geometría no se refiere a figuras visibles sino a las ideas absolutas que ellas representan.
• definió que un punto era el comienzo de una línea.
• definió que una línea era una longitud sin anchura
• subrayó la distinción entre un número par e impar, así como categorias de par por par e impar por impar.
• Se le atribuye la formula para construir ternas pitágoicas
• atribución del llamado método analítico.

La aritmética y la geometría platónicas

Logísta

Aritmética

Técnica de la computación, pueden ser los comerciantes o para el hombre de guerra, deben aprender el arte de los números o no sabrá como desplegar sus tropas.

Teoría de los números, un filosofo debe ser un aritmetico, porque tiene que conseguir salir del mar del cambio para establecer contacto con el verdadero ser.

La aritmetica tiene un efecto muy grande y enaltecedor al obligar a la mente a razonar sobre el número abstracto.

El método de exhausción

Lema o axioma: Dadas dos magnitudes que tengan una razónentonces se puede encontrar un múltiplo de cualquiera de ellas que exceda a la otra.

La astronomía matemática

Platón solicitó a sus disipulos que intentarán dar una representación geométrica de los movimientos del sol, la luna y de los cinco planetas conocidos

Sistema de las esferas homocéntricas

Eudoxo calculó que el diametro del sol era 9 veces el de la tierra.

Demostracción del teorema que afirma que las áreas de dos círculos son entre sí como las de los cuadrados construidos sobre su diametro.

Menecmo

Descubre las curvas que recibieron el nombre de elipse, parábola, hipérbola.

Duplicación del cubo

Dado un cubo de arista a, el problema consiste en construir usando sólo una regla y un compás, la arista x de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo dado.

a)Reducción del problema a dos medias proporcionales. (Hipocrates (470-410 aC.))

Hipócrates demostró que este problema era posible si se podían encontrar medias proporcionales entre un número y su duplo. En notación algebraica, la respuesta propuesta por Hipócrates es encontrar las medias x e y tal que

a:x=x:y=y:2a

El volumen de un cubo aumenta en progresión geométrica cada vez que duplicamos el tamaño de la arista.Esto es lo que se llama reducción de Hipocrates, se trata en la simplificación del problema de la duplicación del cubo a una media proporcional.

Construir la figura formada por dos rectas perpendiculares entre sí, en la que se encuentran el segmento OA de medida a, y el segmento OB, tal que OB = 2 OA.

Colocar este instrumento encima de la figura ajustándolo cuidadosamente, como en la figura b-3.

Así, se resuelve mecánicamente el problema comentado. En efecto, en el triángulo rectángulo AEF en E, se obtiene la relación OF OE OE OA = , y en el triángulo rectángulo EFB en F, la relación OB OF OF OE = . Luego, OB OF OF OE OE OA = = . De esta última se obtiene OE3 = 2 OA3, relación que expresa que, un cubo de arista OE tendrá el doble del volumen de un cubo de arista OA.

x3=2a3

b)Solución de platón (429-347 aC)

Resolvió el problema de las medias proporcionales, creando un instrumento mecánico formado por dos reglas paralelas, una regla fija y una móvil. Esta última se puede deslizar paralelamente a la regla fija, entre dos soportes fijos perpendiculares a la recta fija.

El principio de uso de este instrumento, para determinar las dos medias proporcionales entre la medida de la arista del cubo original a y un segmento de medida 2a, es el siguiente:

d) la solución de Menecmo (~375- 325 aC),

Descubrió las cónicas, realizando importantes trabajos sobre estas curvas, que definió como intersecciones de un plano con un cono (secciones cónicas). El problema lo redujo, al igual que Hipócrates, a encontrar x e y, tal que a : x = x : y = y : 2 a.

En la notación actual, el problema de encontrar x e y, que resultaban de la intersección de dos parábolas, o bien de una parábola y una hipérbola equilátera, se pueden describir mediante ecuaciones usando geometría cartesiana:

x2=ay, y2 =2ax, de donde x3= 2 a3 (figura d-1) x2=ay, xy =2a2, de donde x3= 2 a3 (figura d-2)

Dinostrato y la cuadratura del círculo

Primeros intentos: cuadratura de lúnulas

Cuadratura del círculo

Trisectriz de Hipias cuadratriz de Hipias

se considero una comprobación ilegitima porque no se utilizó solo compas y regla.

Hipias de Ellis

Hipocrátes de Chios

Dinostrato y la cuadratura del círculo

1. Se traza una recta horizontal h y se ubican puntos O y E sobre la recta h tales que la medida del segmento OE sea igual a 1. 2. Trazar la circunferencia CO con centro O y radio OE.

3. Trazar el segmento FJ, tal que sea diámetro de la circunferencia CO y que sea perpendicular a la recta h. 4. Trazar la semicircunferencia JEF. (Ver figura) 5. Sea G un punto sobre la semicircunferencia JEF. 6. Trazar el arco GF. (ver figura). 7. Trazar la semirrecta OG.

8. Sea K un punto sobre el segmento FJ tal que ( ) ( ) = mFK m(GF) mFJ m(JEF) . Esto significa que la medida m(FK) aumenta con velocidad constante conforme aumenta la media m( GF) con velocidad constante. Por ejemplo cuando m(FK) es la mitad de m(FJ) entonces m( GF) es la mitad de m(JEF). 9. Trazar la recta s perpendicular al segmento FJ y que pase por K. 10. Sea M la intersección entre la recta s y la semirrecta OG. 11. El lugar geométrico generado por M cuando se mueve G sobre la semicircunferencia JEF es la cuadratriz de Dinóstrato.

1. Sea P el punto de intersección entre la cuadratriz y la recta h. 2. La medida del segmento OP es 2/π. (Al final de esta sección se justifica esta afirmación) 3. Trazar las rectas u y v, perpendiculares a la recta h, que pasen por P y E, respectivamente. 4. Sea R la intersección entre la recta u y la semicircunferencia JEF.5. Trazar la semirrecta OR. 6. Sea S la intersección entre la recta v y la semirrecta OR. 7. La proporción OP OR = OE OS conduce a OS = π/2. 8. Trazar la circunferencia CO 1 con centro O y radio OS = π/2. 9. Sea T la intersección entre la recta h y la circunferencia CO 1. 10. Trazar la circunferencia CT con centro T y radio 2. 11. Sea M la intersección de la circunferencia CT con la recta h tal que O – T – M. 12. Sea N el punto medio entre O y M. 13. Trazar la circunferencia CN con centro N y radio NM. 14. Trazar la recta r perpendicular al la recta h y que pase por T. 15. Sea W la intersección entre la recta r y la circunferencia CN. (Por encima de la recta h) 16. Trazar el segmento WT perpendicular a la recta m. Como OS = OT mide π/2 y TN mide 2, entonces WT mide π, por ser media geométrica de OT y TM.

. Se construye el cuadrado TWVZ, tomando como uno de sus lados el segmento WT. El área de este cuadrado es π, igual al área del círculo que se tomó como base para construir la cuadratriz.

No fue aceptada

Aristóteles

Aristoteles fue dicipulo de Platón y tutor de Alejandro Magno, era principalmente filosofo y biologo, pero estaba al tanto de las actividades de las matemáticas. Aristóteles contribuyó a la geometría con su teoría de la continuidad y la divisibilidad infinita de los objetos geométricos. También planteó que la geometría estudia los objetos en lo abstracto, despojándolos de sus cualidades sensibles.

Teoría de la continuidad y la divisibilidad infinita Aristóteles desarrolló una teoría matemática que resalta la importancia de la divisibilidad sin fin. Necesitaba dar una explicación de las magnitudes continuas que también esté libre de las paradojas que otras teorías intentaban evitar. Abstracción de los objetos geométricos Aristóteles consideraba que el matemático abstrae del movimiento sus objetos, es decir, focaliza la atención en los cuerpos físicos, pero no en cuanto que están en movimiento. Llamaba a las entidades matemáticas entidades latentes porque dependen de la realidad de los objetos físicos. "Analytica Priora" "Teoría de Conjuntos" "Concepto de Número"

Los elementos de Euclides

Libro 1

Libro 5

Libro 3

Libro 9

Libro 7

Libro 11

Libro 4

Libro 13

Libro 10

Libro 6

Libro 2

Libro 12

Libro 8

LIBRO 1

Los fundamentos de la Geometría Teo­ría de los triángulos, paralelas y el area

El libro I de Los Elementos de Euclides, consta de 48 proposiciones que se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos. De la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo suman lo mismo que dos ángulos rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados, del Teorema de Pitágoras y su inverso.

DEFINICIONES

Definición 1 Un punto es lo que no tiene partes. Definición 2 Un línea es una longitud sin anchura. Definición 3 Los extremos de una línea son puntos. Definición 4 Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella. Definición 5 Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura. Definición 6 Los extremos de una superficie son líneas. Definición 7Una superficie plana es aquella superficie que yace por igual respecto de las líneas que están en ella Definición 8 Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Definición 9 Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo. Definición 10 Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y la recta que está sobre la otra se llama perpendicular a la otra recta.

Definición 11 Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto. Definición 12 Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto. Definición 13 Un límite es lo que es extremo de algo. Definición 14 Una figura es aquello que está contenido por cualquier límite o límites. Definición 15 Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí. Definición 16 Y el punto se llama centro del círculo. Definición 17 Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales. Definición 18 Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia cortada por él. El centro del semicírculo es el mismo que el del círculo. Definición 19Figuras rectilíneas son aquellas que están comprendidas por líneas rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras les comprendidas por cuatro y multiláteras les comprendidas por más de cuatro líneas rectas.

Definición 20 De los triángulos, el equilátero es el que tiene los tres lados iguales; isósceles el que tiene dos lados iguales y uno de desigual; y escaleno el que tiene los tres lados desiguales. Definición 21 De los triángulos, triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y acutángulo el que tiene los tres ángulos agudos. Definición 22 De los cuadriláteros, cuadrado es el que tiene los lados iguales y los ángulos rectos; rectángulo el que es rectangular pero no equilátero; rombo el que es equilátero, pero no tiene los ángulos rectos; y romboide el que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales, pero ni es equilátero ni tiene los ángulos rectos. Los otros cuadriláteros se llaman trapecios. Definición 23 Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

POSTULADOS

Postulado 1 Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta. Postulado 2 Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado. Postulado 3 Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados. Postulado 4 Todos los ángulos rectos son iguales. Postulado 5 Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

Nociones comunes

Noción comuna 1 Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. Noción comuna 2 Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales también. Noción comuna 3 Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también. Noción comuna 4 Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. Noción comuna 5 El todo es mayor que la parte.

PROPOSICIONES

LIBRO II

Una mirada al pensamiento geométrico que anticipó el álgebra moderna

¿Qué trata el Libro II?

Tema central: Geometría del álgebra (álgebra sin números) Usa figuras geométricas para demostrar identidades algebraicas Se enfoca en áreas de cuadrados y rectángulos, relaciones entre segmentos Contiene 14 proposiciones Frase clave: “El álgebra nace del suelo de la geometría”

¿Por qué es importante este libro?

• Anticipa el pensamiento algebraico moderno
• Enseña a razonar con figuras, no con símbolos
• Muestra el poder de la deducción geométrica
• Fue base para matemáticos árabes, del Renacimiento y modernos

LIBRO III

Libro 3. Los elementos

TEORÍA DE LA CIRCUNFERENCIA

El Libro III de Los Elementos de Euclides trata de aquellos Teoremas relativos a la circunferencia, las cuerdas, las tangentes y la medición de ángulos. Consta de 11 definiciones y 37 proposiciones, 5 de las cuales son problemas y las otras teoremas.

DEFINICIONES

PROPOSICIONES

https://euclides.org/los-elementos/libro-iii/

DEFINICIONES

Definición 1 Circunferencias iguales son aquellas cuyos diámetros son iguales, o los radios son iguales.

Definición 2 Una recta es tangente a una circunferencia cuando, tocando a la circunferencia y siendo alargada no corta a la circunferencia.

Definición 3 Dos circunferencias son tangentes cuando, tocándose el uno con el otro no se cortan.

Definición 4 En un círculo las rectas están a la misma distancia del centro, cuando las perpendiculares dibujadas desdel centro hasta ellas, son iguales.

Definición 5 Está a mayor distancia aquella recta sobre la que cae la perpendicular mayor.

Definición 6 Un segmento de un círculo es la figura comprendida por una recta y una circunferencia de un círculo.

Definición 7 Un ángulo de un segmento es el que está comprendido por una recta y una circunferencia de un círculo.

Definición 8 Ángulo en un segmento es el ángulo que cuando se determina un punto sobre una circunferencia del segmento y se dibujan rectas des del punto hasta los extremos de la recta que es la base del mismo segmento, está comprendido por las rectas dibujadas.

Definición 9 Cuando las rectas que comprenden el ángulo cortan a una circunferencia se dice que el ángulo está en la circunferencia.

Definición 10 Un sector de un círculo es la figura que, cuando se construye un ángulo en el centro del círculo, está comprendida por las rectas que comprenden el ángulo y la circunferencia que corta a las rectas.

Definición 11 Segmentos semejantes de un círculo son los que admiten ángulos iguales, o aquellos en los que los ángulos son iguales entre si.

ATRÁS

PROPOSICIONES

Proposición 1 Determinar el centro de una circunferencia dada.Proposición 2 Si se toman dos puntos al azar en la circunferencia de un círculo, la recta que une los dos puntos estará dentro del círculo. Proposición 3 Si en un círculo una recta dibujada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no dibujada a través del centro, la corta formando también ángulos rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales. Proposición 4 Si en un círculo se cortan entre sí dos rectas que no pasan por el centro, no se dividen entre sí en dos partes iguales Proposición 5 Si dos círculos se cortan entre sí, sus centros no coinciden. Proposición 6 Si dos círculos se tocan el uno al otro, sus centros no coinciden Proposición 7 Si se toma un punto en el diámetro de un círculo que no sea el centro del círculo y desde él hasta el círculo caen algunas rectas, será la mayor aquella en la que está el centro, y la menor la que queda y de las demás la más cercana a la que pasa por el centro es siempre mayor que la más lejana, y sólo caerán dos iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña.

Proposición 8 Si se toma un punto exterior a un círculo y del punto al círculo se dibujan algunas rectas, una de las cuales pasa por el centro y las demás al azar, de las rectas que caen en la parte cóncava de la circunferencia, la mayor es la que pasa por el centro, y de las demás siempre la más próxima a la que pasa por el centro es mayor que la más lejana; pero de las que caen en la parte convexa de la circunferencia la menor es la que está entre el punto y el diámetro, y de las demás la más próxima a la más pequeña es siempre menor que la más lejana, y sólo caen dos de iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña.Proposición 9 Si se toma un punto dentro de un círculo y del punto al círculo caen más de dos rectas iguales, el punto dado es el centro del círculo. Proposición 10 Un círculo no corta a otro círculo en más de dos puntos.

Sea el círculo dado ABC , y háyase de hallar su centro. Dibuje una cuerda AB, córtela por medio en el punto D , y dibuje una perpendicular á AB; prolonguese hasta encontrar la circunferencia en E , y nombrela CE, busque el medio en el punto F. corolario: Es evidente , que en el círculo si una reda corta perpendicularmente á una cuerda en dos partes iguales , se hallará en ella el centro del círculo.

PROPOSICIÓN II.1

Euclides y los elementos

1. Punto es aquello que no tiene partes. 2. Línea es longitud sin anchura. 3. Los extremos de una línea son puntos. 4. Línea recta es aquella línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección. 5. Superficie es aquello que tiene solamente ancho y largo. 6. Los extremos de una superficie son líneas rectas. 7. Una superficie plana es aquella que contiene una recta en cualquier posición. 8. Un ángulo plano es la inclinación entre sí de dos líneas en un mismo plano que se cortan y que no están sobre una misma línea recta.

9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo. 10. Cuando una línea recta se levanta sobre otra formando ángulos adyacentes iguales, cada uno de los ángulos iguales se llama ángulo recto, y la recta que se eleva sobre la otra se llama perpendicular a esta otra. 11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto. 12. Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto. 13. Límite es lo que es extremo de algo. 14. Figura es aquello que está comprendido por un límite o varios. 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea, que se llama circunferencia, respecto de la cual las líneas rectas que sobre ella inciden desde uno de los puntos colocado en el interior de la figura son iguales entre sí.

16. Tal punto es llamado el centro del círculo. 17. Un diámetro del círculo es cualquier recta que pase por el centro y que termina en cada dirección en la circunferencia del círculo. Tal línea recta también corta el círculo por la mitad 18. Un semicírculo es la figura comprendida entre un diámetro y la circunferencia recortada por el diámetro. El centro del semicírculo es el mismo que el del círculo. 19. Las figuras rectilíneas son aquéllas que están comprendidas por líneas rectas: las figuras triláteras (o triángulos) son las comprendidas por tres líneas rectas; cuadriláteras, las comprendidas por cuatro; multiláteras (o polígonos), las comprendidas por más de cuatro. 20. De entre las figuras triláteras, es triángulo equilátero la que tiene tres lados iguales; isósceles la que tiene solamente dos lados iguales; escaleno la que tiene los tres lados diferentes

21. Además, entre las figuras triláteras, es triángulo rectángulo la que tenga un ángulo recto; obtusángulo la que tenga un ángulo obtuso y acutángulo la que tenga los tres ángulos agudos. 22. De entre las figuras cuadriláteras, un cuadrado es la que es equilátera y sus ángulos son rectos; un rectángulo (oblongo) es la que tiene todos sus ángulos rectos pero no es equilátera; un rombo es la equilátera pero sin ángulos rectos, y un romboide es la que tiene sus lados y ángulos opuestos iguales unos a otros pero no es equilátera ni tiene ángulos rectos. Las restantes figuras cuadriláteras son llamados trapecios o trapezoides, según que tengan un par de lados paralelos o no tengan ninguno. 23. Son rectas paralelas las que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido.

LIBRO IV

LIBRO IV LOS ELEMENTOS

Figuras inscritas y circunscritas

El libro IV de "Los Elementos" de Euclides, contempla las construcciones pitaóricas, con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Consta de 7 definiciones y 16 proposiciones que son todas problemas.

Proposiciones

Definiciones

Definición 5 De manera semejante, se dice que un círculo está inscrito en una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada lado de la figura en la que está inscrita. Definición 6 Se dice que un círculo está circunscrito en torno de una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada ángulo de la figura en torno a la que está circunscrita. Definición 7 Se dice que una recta está adaptada a un círculo, cuando sus extremos están en la circunferencia del círculo.

Definiciones

Definición 1 Se dice que una figura rectilínea está inscrita en otra figura rectilínea, cuando cada uno de los ángulos de la figura inscrita toca los lados respectivos de la figura en la que se inscribe. Definición 2 De manera semejante, se dice que una figura está circunscrita en torno de otra figura, cuando cada lado de la figura circunscrita toca los ángulos respectivos de la figura a la que circunscribe. Definición 3 Se dice que una figura rectilínea está inscrita en un círculo, cuando cada ángulo de la figura inscrita toca la circunferencia del círculo. Definición 4 Se dice que una figura rectilínea está circunscrita en torno a un círculo, cuando cada lado de la figura circunscrita toca a la circunferencia del círculo.

Proposiciones

Proposición 1 Adaptar a un círculo dado una recta igual a una recta dada que no sea mayor que el diámetro del círculo. Proposición 2 Inscribir en un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado. Proposición 3 Circunscribir en torno a un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado. Proposición 4 Inscribir un círculo en un triángulo dado. Proposición 5 Circunscribir un círculo en torno a un triángulo dado. Proposición 6 Inscribir un cuadrado en un círculo dado.

Proposición 7 Circunscribir un cuadrado en torno a un círculo dado. Proposición 8 Inscribir un círculo en un cuadrado dado. Proposición 9 Circunscribir un círculo en torno a un cuadrado dado. Proposición 10 Construir un triángulo isósceles cada uno de cuyos ángulos de la base sea el doble del ángulo restante. Proposición 11 Inscribir un pentágono equilátero y equiángulo en un círculo dado. Proposición 12 Circunscribir un pentágono equilátero y equiángulo en torno a un círculo dado.

Proposición 13 Inscribir un círculo en un pentágono dado que sea equilátero y equiángulo. Proposición 14 Circunscribir un círculo en torno a un pentágono dado que sea equilátero y equiángulo. Proposición 15 Inscribir un hexágono equilátero y equiángulo en un círculo dado. Proposición 16 Inscribir un pentadecágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.

demostración DE LA Proposición 1

🧭 Proposición 1, Libro IV – Euclides 📜 Enunciado Adaptar a un círculo dado una recta igual a una recta dada que no sea mayor que el diámetro del círculo. 🧩 ¿Qué significa? Dado: Un círculo con centro 𝑂 Una recta dada 𝐿 L (como un segmento de línea), cuya longitud es menor o igual que el diámetro del círculo.

Objetivo: Colocar dentro del círculo un segmento recto de igual longitud, de modo que sus extremos estén sobre la circunferencia.🛠️ Construcción paso a paso (usando regla y compás):*Dibuja el círculo dado con centro 𝑂 y radio 𝑟* Traza un diámetro del círculo. Llamémoslo 𝐴𝐵*Toma la recta dada 𝐿*Con el compás, abre la distancia igual a la recta 𝐿*Coloca la punta del compás en 𝐴 (uno de los extremos del diámetro), y haz un arco que corte la circunferencia en un punto 𝐶Une 𝐴 y 𝐶 . El segmento 𝐴𝐶 está inscrito en el círculo y es igual a la recta dada 𝐿

🎯 Resultado Has inscrito dentro del círculo un segmento igual a uno dado, con sus extremos sobre la circunferencia, siempre que el segmento no sea mayor que el diámetro del círculo.

🧠 Fundamento geométrico Euclides se apoya en los principios previos de los Libros I y III: Cualquier cuerda del círculo es menor o igual al diámetro. Se puede reproducir cualquier segmento con compás desde un punto dado.

REFERENCIAS

https://euclides.org/los-elementos/libro-iv/

LIBRO V

El libro V de los elementos de Euclides contiene una exposicion magistral de la teoria de la proporcion aplicable a magnitudes conmensurables e inconmensurables. Se resolviò asi el problema planteado por el descubrimiento pitagorico de los numeros irracionales

Comprende un compendio de 18 definiciones y 25 proposiciones

PROPOSICION

Si un numero cualquiera de magnitudes equimultiplos de cualesquiera otras magnitudes iguales en numero, cuantas veces una sea multiplo de otra, tantas veces lo seran todas de todas

LIBRO VI

LIBRO VI

Consta de 5 definiciones y 33 proposiciones. Este volumen contiene la teoría eudoxiana de la proposición a la geometría plana. Se establecen los Teoremas fundamentales de los triángulos semejantes y las construcciones de la tercera, la cuarta y la media proporcional. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuadráticas y la proposición de que la bisectriz interna del ángulo de un triangulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.

DEFINICIONES

Definición 1. Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos iguales uno a uno y proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales. Definición 2. Dos figuras están inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras hay razones antecedentes y consecuentes. Definición 3. Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor. Definición 4. Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra. Definición 5. Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra.

Proposiciones 1–10: Proporciones y semejanza en triángulos y paralelogramos

1. Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
2. Si dos triángulos tienen lados proporcionales, los ángulos opuestos son iguales.
3. En triángulos semejantes, los lados están en la misma proporción y los ángulos son iguales.
4. Triángulos con un ángulo igual y lados alrededor proporcionales son iguales en forma.
5. Ángulos iguales implican lados proporcionales en triángulos semejantes.
6. Triángulos con lados proporcionales tienen ángulos iguales y son semejantes.
7. En triángulos rectángulos, los lados opuestos a ángulos iguales son proporcionales.
8. Triángulos con lados paralelos son semejantes.
9. Triángulos con lados proporcionales y en posición paralela son semejantes.
10. Áreas de triángulos con la misma altura son proporcionales a sus bases.

Proposiciones 11–23: Relaciones de área y aplicación de figuras 11. Triángulos con la misma base y altura tienen igual área.12. En triángulos semejantes, las áreas están en razón del cuadrado de sus lados.13. Paralelepípedos (cuadriláteros) con la misma base y altura tienen la misma área.14. Las áreas de figuras semejantes son proporcionales al cuadrado de sus lados correspondientes.15. Aplicación de un paralelogramo igual a uno dado sobre una línea dada.16. Aplicación de un paralelogramo igual a uno dado sobre una parte de la línea (en defecto).17. Aplicación de un paralelogramo mayor que uno dado sobre una línea (en exceso).18. Construcción de un paralelogramo igual a una figura dada y con un ángulo dado.19. Construcción de un triángulo igual a una figura dada y con un ángulo dado.20. División de un triángulo en dos iguales por una línea desde un punto.21. División de una figura en partes proporcionales.22. División de un ángulo con línea que mantiene proporciones.23. Aplicación de figuras a líneas con ciertas proporciones.

Proposiciones 24–33: División de líneas y teoría de proporciones 24. División de una línea internamente en una razón dada.25. División de una línea externamente en una razón dada.26. División de una línea en una razón dada usando círculos.27. División de una línea en media y extrema razón (la razón áurea).28. Construcción de un triángulo rectángulo con proporciones dadas.29. Construcción de un triángulo con lados en proporciones específicas.30. Construcción de un paralelogramo con área y proporciones dadas.31. En triángulos semejantes, las medianas están en la misma proporción.32. La línea trazada paralela a un lado de un triángulo corta los otros dos en proporción.33. Teorema inverso: si una línea corta dos lados de un triángulo en proporción, es paralela al tercer lado.

LIBRO VI PROPOSICIÓN 2

Si se traza una recta paralela a uno de los lados de un triángulo, esta cortará proporcionalmente los otros dos lados. Recíprocamente, si una recta corta dos lados de un triángulo en la misma proporción, entonces es paralela al tercer lado.

Enlace

DEMOSTRACIÓN

Sea el triángulo △ABC, y una recta paralela a BC que corta a AB en D y a AC en E. Queremos demostrar que: AD / DB = AE / EC Los triángulos △ADE y △ABC son semejantes porque: Comparten el ángulo ∠A.Como DE es paralela a BC, se tiene que: ∠ADE = ∠ABC (ángulos alternos internos), ∠AED = ∠ACB. Entonces: △ADE ∼ △ABC. De la semejanza se tiene: AD / AB = AE / AC Como AB = AD + DB y AC = AE + EC, se sustituye: AD / (AD + DB) = AE / (AE + EC) Y aplicando propiedades de fracciones: AD / DB = AE / EC

Supongamos que en el triángulo △ABC, los puntos D ∈ AB y E ∈ AC son tales que: AD / DB = AE / EC Queremos demostrar que DE es paralela a BC. Supongamos que DE no es paralela a BC. Trazamos una recta D′E′ paralela a BC que pase por D y corte a AC en otro punto E′ ≠ E. Como D′E′ es paralela a BC, se cumple: AD / DB = AE′ / E′C Pero por hipótesis: AD / DB = AE / EC Por igualdad de razones: AE / EC = AE′ / E′C → AE = AE′ → E = E′ Lo cual contradice que E ≠ E′, por tanto: DE es paralela a BC.

Libro VII

LIBRO VII

El Libro VII de los Elementos de Euclides es el primero de tres libros dedicados a la aritmética (junto con los libros VIII y IX).

EUCLIDES DE ALEJANDRÍA(PADRE DE LA GEOMETRÍA

uno de los matemáticos y geómetras más destacados de la antigua Grecia.

IDEAS PRINCIPALES - LIBRO VII

*Algoritmo de Euclides: Se describe un método para encontrar el máximo común divisor de dos números, conocido como el algoritmo de Euclides. Este método es fundamental para la aritmética y se utiliza en varias proposiciones posteriores. * Mínimo común múltiplo: Se introduce el concepto de mínimo común múltiplo y se presenta un método para calcularlo. Proporcionalidad: * Se exploran propiedades de la proporcionalidad numérica, similar a las presentadas en el Libro V para razones de segmentos. Números primos y compuestos: Se definen y se estudian las propiedades de los números primos y compuestos.

* Números perfectos: Se define el concepto de número perfecto (aquel que es igual a la suma de sus propios divisores). Multiplicación y números planos/sólidos: * Se introduce la multiplicación y se define la noción de números planos (rectángulos), cuadrados, sólidos (cuerpos) y cubos.

definiciones del libro VII

• Definición 1. Una unidad es aquello en virtud de la cual una de las cosas que hay, se llama uno.
• Definición 2. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.
• Definición 3. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.
• Definición 4. Pero partes cuando no lo mide.
• Definición 5. Y el mayor es múltiplo del menor cuando es medido por el menor.
• Definición 6. Un número par es el que se divide en dos partes iguales.
• Definición 7. Un número impar es el que no se divide en dos partes iguales, o se diferencia de un número par de una unidad.
• Definición 8. Un número parmente par es el medido por un número par según un número par.
• Definición 9. Y parmente impar es el medido por un número par según un número impar.
• Definición 10. Imparmente par es el medido por un número impar según un número par.
• Definición 11. Un número imparmente impar es el medido por un número impar según un número impar.
• Definición 12. Un número primo es el medido por la sola unidad.
• Definición 13. Número primos entre sí son los medidos por la sola unidad como medida común.
• Definición 14. Número compuesto es el medido por algún número.
• Definición 15. Números compuestos entre sí son los medidos por algún número como medida común.
• Definición 16. Se dice que un número multiplica a un número cuando el multiplicado se añade a sí mismo

tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un número.Definición 17. Cuando dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado se llama número plano y sus lados son los números que se han multiplicado entre síDefinición 18. Cuando tres números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado es un número sólido y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí. Definición 19. Un número cuadrado es el multiplicado por sí mismo o el comprendido por dos números iguales Definición 20. Y un número cubo el multiplicado dos veces por sí mismo o el comprendido por tres números iguales. Definición 21. Unos números son proporcionales cuando el primero es el mismo múltiplo o la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto. Definición 22. Números planos y sólidos semejantes son los que tienen los lados proporcionales.Definición 23. Número perfecto es el que es igual a sus partes.

PROPOSICIONES DEL LIBRO VII

Proposición 1: Dados dos números desiguales, si se resta sucesivamente el menor del mayor y el resto del menor, y el resto nunca mide al anterior hasta que queda una unidad, los números originales son primos entre sí. Proposición 2: Dados dos números no primos entre sí, hallar su máxima medida común (MCD). (Aplicación práctica del algoritmo de la Proposición 1). Proposición 3: Dados tres números no primos entre sí, hallar su máxima medida común (MCD). (Extensión del algoritmo). Proposición 4: Cualquier número es parte o partes de cualquier número, el menor del mayor. (Si a < b, entonces a = (m/n)b para algunos enteros m, n). Proposición 5: Si un número es parte de otro número, y otro es la misma parte de otro, entonces la suma será la misma parte de la suma. *(Si a = (1/n)b y c = (1/n)d, entonces a+c = (1/n)(b+d))*. Proposición 6: Si un número es partes de otro número, y otro es las mismas partes de otro, entonces la suma será las mismas partes de la suma. (Si a = (m/n)b y c = (m/n)d, entonces a+c = (m/n)(b+d)). (Las Props. 5 y 6 son distributividad de la multiplicación sobre la suma). Proposición 7: Si un número es el mismo múltiplo de otro que un número quitado lo es de otro quitado, el resto será el mismo múltiplo del resto. (Si a = kb y c = kd, y c < a, entonces a - c = k(b - d))*. (Distributividad de la multiplicación sobre la resta). Proposición 8: Si un número es el mismo múltiplo de otro que un número quitado lo es de otro quitado, el que queda del mayor será el mismo múltiplo del que queda del menor. (Similar a la 7, enfocada en el resultado de la resta).

Proposición 9: Si un número es parte de otro número, y otro es la misma parte de otro, alternando, también será el mismo múltiplo o la misma parte. *(Si a = (1/n)b y b = (1/n)c, entonces a = (1/n²)c)*. Proposición 10: Si un número es partes de otro número, y otro es las mismas partes de otro, alternando, también será el mismo múltiplo o las mismas partes. *(Similar a la 9 para fracciones m/n)*. Proposición 11: Si a:b :: c:d, entonces a:c :: b:d? (No exactamente, establece relaciones cuando hay un término común). Proposición 12: Si varios números son proporcionales, entonces uno es al otro como la suma es a la suma. (Si a:b :: c:d, entonces a:b :: (a+c):(b+d)). Proposición 13: Si cuatro números son proporcionales, también alternando. (Si a:b :: c:d, entonces a:c :: b:d). (Propiedad fundamental de las proporciones). Proposición 14: Propiedad distributiva para múltiplos y partes en combinación Proposición 15: Si una unidad mide a un número, y otro número mide a otro el mismo número de veces, entonces la unidad mide al tercero el mismo número de veces que el segundo al cuarto. (Si 1 mide a a (k veces), y a mide a b (m veces), entonces 1 mide a b (km veces))*. Proposición 16: Si dos números al multiplicarse entre sí producen ciertos números, los productos serán iguales entre sí. (ab = ba. Conmutatividad de la multiplicación). Proposición 17: Si un número al multiplicar a dos números produce ciertos números, los productos guardarán la misma razón que los números multiplicados. (Si ca = p y cb = q, entonces p:q :: a:b). Proposición 18: Si dos números al multiplicar a un número producen ciertos números, los productos guardarán la misma razón que los multiplicadores. (Si ac = p y bc = q, entonces p:q :: a:b). Proposición 19: Si cuatro números son proporcionales, el producto del primero por el cuarto es igual al producto del segundo por el tercero. (Si a:b :: c:d, entonces ad = bc). (Condición fundamental de proporción). Y viceversa. 3. Números Primos y Compuestos P

Proposición 27: Si dos números son primos entre sí y cada uno al multiplicarse por sí mismo produce un número, los productos son primos entre sí. (Si a y b primos relativos, entonces a² y b² primos relativos). Proposición 28: Si dos números son primos entre sí, la suma también es prima con cada uno de ellos. (Si a y b primos relativos, entonces a+b es primo relativo con a y con b). Proposición 29: Todo número primo es primo con todo número al que no mida. (Definición clave de primalidad) Proposición 30: Si dos números multiplicados producen un número y algún número primo mide al producto, entonces medirá a uno de los números originales. (Lema de Euclides). (Fundamental para la factorización única). Proposición 31: Todo número compuesto es medido por algún número primo. (Todo número compuesto tiene un divisor primo). Proposición 32: Todo número es o primo o es medido por algún número primo. (Corolario de la 31). 4. Mínimo Común Múltiplo (MCM) Proposición 33: Dados números, hallar los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos. (Hallar el MCM de varios números). Proposición 34: Hallar el menor número que sea medido por dos números dados. (Hallar el MCM de dos números). Proposición 35: Si un número mide al producto de dos números y es primo relativo con uno de ellos, entonces mide al otro. (Otra forma del Lema de Euclides). Proposición 36: Hallar el menor número que sea medido por tres números dados. (MCM de tres números). Proposiciones 37-39: Propiedades sobre partes y múltiplos relacionadas con la divisibilidad y el MCM. Importancia del Libro VII Establece los fundamentos de la teoría de números (divisibilidad, primos, MCD, MCM). Contiene el Algoritmo de Euclides (Props. 1-3) para calcular el MCD, aún vigente. Demuestra el crucial Lema de Euclides (Prop. 30) sobre primos que dividen productos. Prueba la infinitud de los números primos (aunque esto está en el Libro IX, Prop. 20, se basa en conceptos de aquí).

Proposición 13 (Libro VII): Si un número mide dos números, entonces también mide su suma. En otras palabras, si un número 𝐴 A divide exactamente a 𝐵 B y a 𝐶 C, entonces divide exactamente a 𝐵 + 𝐶 B+C. .

Queremos demostrar esta proposición utilizando el método de retroceder-avanzar, también llamado análisis-síntesis, que consiste en: 1.- Retroceder (análisis): suponer que la conclusión es verdadera y descomponerla en condiciones previas necesarias. 2.- Avanzar (síntesis): empezar desde lo dado y reconstruir lógicamente el camino hasta llegar a la conclusión.

RETROCEDER (Análisis) Queremos probar: 𝐴 ∣ 𝐵 A∣B y 𝐴 ∣ 𝐶 A∣C ⟹ 𝐴 ∣ ( 𝐵 + 𝐶 ) A∣(B+C) Supongamos que 𝐴 ∣ 𝐵 y 𝐴 ∣ 𝐶 . Entonces existen enteros 𝑚 y 𝑛 tales que: 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝑚 y 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝑛 . Queremos probar que: 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ ( 𝑚 + 𝑛 ) ⇒ 𝐴 ∣ ( 𝐵 + 𝐶 ) Entonces la afirmación será cierta si logramos expresar 𝐵 + 𝐶 como múltiplo de 𝐴 . ✅ AVANZAR (Síntesis) Sabemos que: 𝐴 ∣ 𝐵 ⇒ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝑚 ,A∣ 𝐶 ⇒ 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝑛 Sumamos: 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝑚 + 𝐴 ⋅ 𝑛 = 𝐴 ( 𝑚 + 𝑛 ) Esto significa que 𝐵 + 𝐶 es múltiplo de 𝐴 . Por lo tanto: 𝐴 ∣ ( 𝐵 + 𝐶 )

REFERENCIAS :

https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/problemas/problemas-resueltos-aplicacion-mcm-MCD-minimo-comun-multiplo-Maximo-Comun-Divisior.html

https://www.ugr.es/~jlbueso/euclides/7/intro.html

https://chat.deepseek.com/a/chat/s/56f30da0-2552-40bb-8373-0d9f34055c8d

LIBRO VIII

Libro Vlll

Este libro continúa con las proporciones a la teoría de números.

Este Libro VIII se ocupa de series de números en proporción continuada y en progresión geométrica, concepto y noción que no queda definida

Consta de 27 proposiciones

Proposición 1 Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son números primos entre sí, son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos. Proposición 2 Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son números primos entre sí, son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos. Proposición 3 Si tantos números como se quiera continuamente proporcionales son los menores de los que guardan la misma razón entre ellos, sus extremos son números primos entre sí.

Proposición 4 Dadas tantas razones como se quiera en sus menores números, hallar los números continuamente proporcionales menores en las razones dadas. Proposición 5 Los números planos guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados. Proposición 6 Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y el primo no mide al segundo, tampoco ningún otro medirá a ninguno. Proposición 7 Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y el primo no mide al segundo, tampoco ningún otro medirá a ninguno.

Proposición 24 Si dos números guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado y el primo es cuadrado, el segundo será también cuadrado. Proposición 25 Si dos números guardan entre sí la razón que un número cubo guarda con un número cubo y el primo es cubo, el segundo también será cubo. Proposición 26 Los números planos semejantes guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Proposición 27 Los números sólidos semejantes guarden entre sí la razón que un número cubo guarda con un número cubo.

Demostración p- 24

Libro IX

El Libro IX de Los Elementos de Euclides es uno de los más importantes de la obra completa porque culmina gran parte del desarrollo de la teoría de los números naturales que Euclides construye a lo largo de los Libros VII, VIII y IX.

Encontramos como primicia la moderna resolución unívoca de un número en sus factores primeros y el Teorema que se establece la cantidad infinita de los números primos. Encontramos también teorías de origen pitagórico que hablan de números pares, impares y sus relaciones.

El Libro IX contiene 36 proposiciones que se centran fundamentalmente en:

• Propiedades de números primos y compuestos.
• Teoría de proporciones aritméticas.
• Suma de progresiones geométricas.
• Demostraciones clásicas como la infinitud de los números primos.
• Generación de ciertos números perfectos.

IMPORTANCIA DEL LIBRO IX

• Conexión entre la aritmética y la geometría: usa razonamientos geométricos para probar propiedades de los números.
• Inicio de la teoría de los números primos y perfectos: conceptos centrales en la teoría moderna de números.
• Establece una metodología deductiva rigurosa, clave en la historia del pensamiento matemático.
• Base para posteriores desarrollos en matemáticas, como el trabajo de Fermat, Euler y Gauss.

Demostracción

Proposición IX:20Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos.

Lo haremos con el método de reducción al absurdo, también llamado demostración por contradicción, paso a paso y con rigor:

Supongamos que hay solamente una cantidad finita de números primos. Es decir, que los únicos números primos que existen son: 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 , … , 𝑝 𝑛 ​ Donde cada 𝑝 𝑖 es primo y no hay más primos aparte de esos.

Formamos el siguiente número: 𝑁 = 𝑝 1 ⋅ 𝑝 2 ⋅ 𝑝 3 ⋅ … ⋅ 𝑝 𝑛 + 1 Es decir, el producto de todos los primos conocidos más 1.

Observa lo siguiente: N es mayor que cualquier 𝑝 𝑖​ , por lo tanto no está en nuestra lista de primos. Si dividimos 𝑁 entre cualquiera de los 𝑝 𝑖, el residuo es 1 Por tanto, ninguno de los primos de la lista divide exactamente a 𝑁.

• N es primo → contradice nuestra suposición de que todos los primos están en la lista.
• N es compuesto → entonces tiene factores primos, pero ninguno de los 𝑝 1 , . . . , 𝑝 𝑛 ​ lo divide, lo cual es imposible si esos fueran los únicos primos existentes.

Contradicción: Nuestra hipótesis lleva a una contradicción: N tiene que tener un primo divisor, pero ninguno de los que suponíamos existentes lo divide, y sin embargo no puede carecer de factores primos si es compuesto.

✅ Conclusión Por lo tanto, nuestra suposición inicial es falsa. Es imposible que haya un número finito de primos. Entonces: Los números primos son infinitos

LIBRO X

El Libro 10 de los Elementos de Euclides es uno de los tratados más complejos de toda la obra. Su tema central es la clasificación de las magnitudes inconmensurables, es decir, lo que hoy llamaríamos irracionales. En este libro, Euclides desarrolla un sistema geométrico para entender las diferentes clases de segmentos y áreas que no pueden expresarse como múltiplos racionales de una unidad común.

Contenido del Libro 10

• Introduce la distinción entre magnitudes conmensurables e inconmensurables.

• Clasifica los segmentos de línea en diferentes tipos, como:

• Binomios

• Apotomos

• Medios y extremos

• Segmentos racionales e irracionales en distintas formas

• Utiliza construcciones geométricas para representar estas magnitudes.

• Trata lo que hoy se consideraría una teoría primitiva de los números irracionales, sin utilizar álgebra ni notación decimal.

DEFINICIONES

Definición 1 Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, y inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida común. Definición 2 Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común.

Definición 3Dadas estas premisas, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables y inconmensurables, unas sólo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Se llama entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien sólo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella se llaman no racionalmente expresables. Definición 4 Y el cuadrado de la recta determinada se llama racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con éste racionalmente expresables; pero los inconmensurables con él se llaman no racionalmente expresables; y las rectas que los producen se llaman no racionalmente expresables, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas rectas que construyan cuadrados iguales a ellos.

Definición 5 Dada una recta expresable y otra de binomial dividida en sus términos, de manera que el cuadrado del término mayor sea mayor que el cuadrado del término menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con el mayor; si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama primera binomial. Definición 6 Y si el término menor es conmensurable en longitud con la recta expresable, la recta entera se llama segunda binomial. Definición 7 Pero si ninguno de los términos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama tercera binomial.

Definición 8 Si el cuadrado del término mayor es a su vez, mayor que el del menor en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con el mayor, entonces, si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama cuarta binomial. Definición 9 Pero si lo es el menor, quinta binomial. Definición 10 Y si ninguno de los dos, sexta binomial. Definición 11 Dada una recta expresable y apótoma, si el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la recta adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con la recta entera, y la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta apótoma se llama primera apótoma.

Definición 12 Y si la recta adjunta es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta se llama segunda apótoma. Definición 13 Y si ninguna de las dos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta apótoma se llama tercera apótoma.

Definición 14 Si, a su vez, el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta inconmensurable con la recta entera, entonces, si la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la apótoma se llama cuarta apótoma. Definición 15 Pero si la adjunta es conmensurable, se llama quinta apótoma. Definición 16 Y si ninguna de las dos es conmensurable, se llama sexta apótoma.

PROPOSICION

LIBRO XI

LIBRO XI DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Geometría de los sólidos

Formando una especie de trilogía, los Libros XI-XII y XIII hablan de la geometría del espacio. Las 28 primeras definiciones y ningún postulado y 39 proposiciones, aunque estén presentadas estas últimas como proposiciones. Incluyen el estudio de los cinco poliedros regulares conocidos como sólidos platónicos.📌 Tema general: Trata sobre figuras tridimensionales: planos, líneas rectas en el espacio, ángulos sólidos, prismas, paralelepípedos, etc.

Importancia del Libro XI de Euclides

1. Transición de 2D a 3D

2. Base para la geometría de cuerpos

3. Fundamento para el cálculo de volúmenes

4. Desarrollo del pensamiento lógico en 3D

5. Influencia histórica y matemática

DEFINICIONES

Definición 1 Un sólido es aquello que tiene longitud, anchura i profundidad. Definición 2 Y el extremo de un sólido es una superficie. Definición 3 Una recta es ortogonal a un plano cuando forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y que están en el plano. Definición 4 Un plano es ortogonal a un plano cuando las rectas dibujadas en uno de los planos formando ángulos rectos con la intersección común a los dos planos forman ángulos rectos con el plano que queda. Definición 5 Cuando desde el extremo de una recta elevado sobre un plano se dibuja una perpendicular al plano y se traza otra recta desde el punto que va hasta el extremo que está en el plano de la primera recta, el ángulo comprendido por la recta dibujada y la que está sobre el plano es la inclinación de la recta con respecto al plano.

Definición 6 La inclinación de un plano respecto a un plano es el ángulo comprendido por las rectas dibujadas a un mismo punto formando ángulos rectos con la sección común en cada uno de los planos. Definición 7 Se dice que un plano se inclina sobre un plano de manera semejante a como otro plano se inclina sobre otro, cuando los ángulos de inclinación son iguales entre sí. Definición 8 Planos paralelos son los que no concurren. Definición 9 Figuras sólidas semejantes son las comprendidas por planos semejantes iguales en número. Definición 10 Figuras sólidas iguales y semejantes son las comprendidas por planos semejantes iguales en número y tamaño.

Definición 11 Un ángulo sólido es la inclinación de más de dos líneas que se tocan entre sí y no están en la misma superficie respecto a todas las líneas. O dicho de otra manera: Un ángulo sólido es el que está comprendido por más de dos ángulos planos construidos en el mismo punto, sin estar en el mismo plano. Definición 12 Una pirámide es una figura sólida comprendida por planos, construida desde un plano a un punto. Definición 13 Un prisma es una figura sólida comprendida por planos dos de los cuales, los opuestos, son iguales, semejantes y paralelos, mientras que los demás planos son paralelogramos. Definición 14 Cuando, estando fijo el diámetro de un semicírculo, se hace girar el semicírculo y se vuelve de nuevo a la misma posición inicial, la figura comprendida es una esfera. Definición 15 Y el eje de la esfera es la recta que permanece fija en torno a la que gira el semicírculo. Definición 16 Y el centro de la esfera es el mismo que el del semicírculo.

Definición 17 Y diámetro de la esfera es cualquier recta dibujada a través del centro y limitada en las dos direcciones por la superficie de la esfera. Definición 18 Cuando, estando fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un triángulo rectángulo, se hace girar el triángulo y se vuelve de nuevo a la posición inicial, la figura comprendida es un cono. Y si la recta que permanece fija es igual a la que queda del ángulo recto, el cono será rectángulo, y si es menor obtusángulo y si es mayor acutángulo. Definición 19 Y el eje del cono es la recta que permanece fija en torno a la que gira el triángulo. Definición 20 Y la base es el círculo que describe la recta que gira. Definición 21 Cuando, estando fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un paralelogramo rectángulo, se hace girar el paralelogramo y vuelve de nuevo a la posición inicial, la figura comprendida es un cilindro.

Definición 22 Y el eje del cilindro es la recta que permanece fija en torno a la que gira el paralelogramo. Definición 23 Y las bases son los círculos descritos por los dos lados opuestos que giren. Definición 24 Conos y cilindros semejantes son aquellos en los que ejes y diámetros de las bases son proporcionales. Definición 25 Un cubo es la figura sólida que está comprendida por seis cuadrados iguales. Definición 26 Un octaedro es una figura sólida comprendida por ocho triángulos iguales y equiláteros. Definición 27 Un icosaedro es la figura sólida comprendida por veinte triángulos iguales y equiláteros. Definición 28 Un dodecaedro es la figura sólida comprendida per doce pentágonos iguales equiláteros y equiángulos.

PROPOSICIONES

El Libro XI de los "Elementos" de Euclides contiene 39 proposiciones. Estas proposiciones tratan sobre la geometría tridimensional y cubren temas como la teoría de los sólidos geométricos, las propiedades de los poliedros y las relaciones entre ellos. Las 39 proposiciones del Libro XI de Euclides son una contribución fundamental a la geometría tridimensional y han sido estudiadas y utilizadas por matemáticos y científicos durante siglos.Las cuales hablan de ( La definicion de solidos geometricos , propiedades de los solidos platonicos ,construccion de solidos ,relacion entre solidos ).

Proposición 1 No es posible que una parte de una línea recta esté contenida en el plano de referencia y otra parte de la recta en un plano más elevado. Proposición 2 Si dos rectas se cortan una a otra están en el mismo plano, y todo triángulo está en un plano. Proposición 3 Si dos planos se cortan uno a otro su intersección común es una línea recta. Proposición 4 Si se levanta una recta formando ángulos rectos con dos rectas que se cortan una a otra en su intersección común, formará también ángulos rectos con el plano que pasa a través de ellas. Proposición 5 Si se levanta una recta formando ángulos rectos con tres rectas que se tocan en su intersección común, las tres rectas están contenidas en el mismo plano. Proposición 6 Si dos rectas forman ángulos rectos con el mismo plano, las rectas son paralelas. Proposición 7 Si dos rectas son paralelas y se toman unos puntos al azar en cada una de ellas, la recta que une los puntos está contenida en el mismo plano que las paralelas. Proposición 8 Si dos rectas son paralelas y una de ellas forma ángulos rectos con un plano cualquiera, la recta que queda formará también ángulos rectos con el mismo plano.

Proposición 9 Las paralelas a una misma recta y que no están contenidas en el mismo plano que la recta son también paralelas entre sí. Proposición 10 Si dos rectas que se tocan son paralelas a otras dos rectas que se tocan, sin estar en el mismo plano, comprenderán ángulos iguales. Proposición 11 Trazar una línea recta perpendicular a un plano dado desde un punto dado elevado. Proposición 12 Levantar una línea recta formando ángulos rectos con un plano dado desde un punto dado y contenido en el plano. Proposición 13 No se pueden levantar por el mismo lado dos rectas formando ángulos rectos con el mismo plano desde el mismo punto. Proposición 14 Los planos con los que una misma recta forma ángulos rectos serán paralelos. Proposición 15 Si dos rectas que se tocan son paralelas a dos rectas que se tocan sin estar en el mismo plano, los planos que pasan a través de ellas son paralelos.

Proposición 16 Si dos planos paralelos son cortados por un plano, les intersecciones comunes son paralelas. Proposición 17 Si dos rectas son cortadas por planos paralelos, serán cortadas en las mismas razones. Proposición 18 Si una recta forma ángulos rectos con un plano cualquiera, todos los planos que pasen a través de ella formarán también ángulos rectos con el mismo plano. Proposición 19 Si dos planos que es cortan forman ángulos rectos con un plano, la intersección común formará también ángulos rectos con el mismo plano. Proposición 20 Si un ángulo sólido es comprendido por tres ángulos planos, dos cualesquiera, tomados juntos de cualquier manera, son mayores que el restante. Proposición 21 Todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos. Proposición 22 Si hay tres ángulos planos, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante, y los comprenden rectas iguales, es posible construir un triángulo a partir de las rectas que unen los extremos de las rectas iguales.

Proposición 23 Construir un ángulo sólido a partir de tres ángulos planos, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante; entonces, es necesario que los tres ángulos sean menores que cuatro rectos. Proposición 24 Si un sólido es comprendido por planos paralelos, sus planos opuestos son iguales y paralelogramos Proposición 25 Si un sólido paralelepípedo es cortado por un plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, de la misma manera que la base es a la base, así el sólido es al sólido. Proposición 26 Construir un ángulo sólido igual a un ángulo sólido dado sobre una recta dada y en uno de sus puntos. Proposición 27 Trazar sobre una recta dada un sólido paralelepípedo semejante y situado de manera semejante a un sólido paralelepípedo dado. Proposición 28 Si un sólido paralelepípedo es cortado por un plano según las diagonales de los planos opuestos, el sólido será dividido en dos partes iguales por el plano.

Proposición 29 Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura, y en los que los extremos superiores de las aristas laterales están en las mismas rectas son iguales entre sí. Proposición 30 Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura y en los que los extremos superiores de las aristas laterales no están en las mismas rectas son iguales entre sí. Proposición 31 Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura son iguales entre sí. Proposición 32 Los sólidos paralelepípedos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases. Proposición 33 Los sólidos paralelepípedos semejantes guardan entre sí una razón triplicada de la de sus lados correspondientes. Proposición 34 Las bases de los sólidos paralelepípedos iguales están inversamente relacionadas con las alturas; y aquellos sólidos paralelepípedos las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas son iguales.

Proposición 35 Si hay dos ángulos planos iguales y se levantan desde sus vértices rectas elevadas que comprendan ángulos iguales respectivamente con las rectas iniciales, y se toman unos puntos al azar en las rectas elevadas y, desde estos puntos se dibujan perpendiculares a los planos en los que están los ángulos iniciales y se trazan rectas de los puntos producidos en los planos hasta los vértices de los ángulos iniciales, estos ángulos comprenderán con las rectas elevadas ángulos iguales. Proposición 36 Si tres rectas son proporcionales, el sólido paralelepípedo construido a partir de ellas es igual al sólido paralelepípedo construido a partir de la media proporcional, equilátero y equiangular con el sólido nombrado. Proposición 37 Si cuatro rectas son proporcionales, los sólidos paralelepípedos semejantes y construidos de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si los sólidos paralelepípedos semejantes y construidos de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, también las propias rectas serán proporcionales. Proposición 38 Si los lados de los planos opuestos de un cubo se dividen en dos partes iguales y se trazan planos a través de las secciones, la intersección común de los planos y el diámetro del cubo se dividen mutuamente en dos partes iguales. Proposición 39 Si dos prismas tienen la misma altura y uno tiene como base un paralelogramo y el otro un triángulo y el paralelogramo es el doble del triángulo, los prismas serán iguales.

demostración DE LA Proposición 1

No es posible que una parte de una línea recta esté contenida en el plano de referencia y otra parte de la recta en un plano más elevado.

Dada la recta que pasa por el punto 𝑃=(2,1,0) y tiene dirección 𝑣=(1,1,2) a) Escribe la ecuación vectorial y paramétrica de la recta. b) ¿Está contenida la recta en el plano 𝑧=0? c) Si no está contenida, ¿intersecta ese plano? En caso afirmativo, encuentra el punto de intersección. 🔶 Solución: a) Ecuación de la recta: Vector de posición: 𝑟0⃗=(2,1,0) Dirección: 𝑣⃗=(1,1,2)

Ecuación vectorial:

Ecuación paramétrica:

b) ¿Está contenida la recta en el plano 𝑧 = 0 ? Para que esté contenida, z debe ser 0 para todos los valores de 𝑡 Pero 𝑧 = 2t, y eso solo es 0 cuando 𝑡 = 0 🛑 No, la recta no está contenida en el plano 𝑧 = 0 , solo lo cruza en un punto. c) ¿Intersecta ese plano? Sí. Intersecta cuando 𝑧=0

Sustituimos 𝑡 = 0 t=0 en las ecuaciones:

𝑥 = 2 + 0 = 2 𝑦 = 1 + 0 = 1 𝑧 = 2 ( 0 ) = 0

📍 Punto de intersección: ( 2 , 1 , 0 ) (2,1,0)

✅ Conclusión: La recta no está contenida en el plano 𝑧 = 0 , pero sí lo intersecta en el punto ( 2 , 1 , 0 ). Esto confirma que no puede estar una parte de la recta en el plano y otra fuera, a menos que la recta atraviese el plano, pero entonces ya no está contenida.

REFERENCIAS

https://euclides.org/los-elementos/libro-xi-los-elementos/#google_vignette

https://web.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Euclid/Euclid%20XI/Euclid.11.Intro.html

LIBRO XII

LIBRO XII

El Libro XII trata sobre el cálculo y comparación de áreas y volúmenes de figuras curvas y sólidos, como círculos, conos, cilindros, pirámides y esferas, usando un enfoque puramente geométrico llamado método de exhaución

El método de exhaución es una técnica antigua que usaban los matemáticos griegos para medir áreas o volúmenes de figuras curvas (como círculos o esferas), aproximándolos con figuras rectilíneas (como polígonos o prismas). Euclides demuestra que si la diferencia entre las áreas es tan pequeña que no se puede medir, entonces son iguales.

Ver

18 PROPOSICIONES

Comparación de áreas y volúmenes usando el método de exhaución:

1. Los círculos son entre sí como los cuadrados de sus diámetros.
2. Si de dos magnitudes se quita repetidamente más de la mitad, la que queda será finalmente menor que cualquier cantidad dada.
3. Los polígonos inscritos en un círculo pueden acercarse tanto como se quiera al área del círculo.
4. Los polígonos circunscritos a un círculo pueden sobrepasar cualquier área mayor que el círculo.
5. El área del círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base es la circunferencia y altura el radio.
6. Los conos y cilindros con bases iguales y alturas iguales son entre sí como sus bases.
7. Un cono es la tercera parte del cilindro con la misma base y altura.
8. Los conos con bases y alturas proporcionales son entre sí como sus bases.
9. Las pirámides con bases y alturas iguales son entre sí como sus bases.
10. Una pirámide es la tercera parte del prisma con la misma base y altura.
11. Los prismas con bases y alturas proporcionales son entre sí como sus bases.
12. Los conos inscritos en cilindros tienen la misma proporción que las pirámides en los prismas.
13. Los cilindros con bases y alturas proporcionales son entre sí como sus bases.
14. La esfera inscrita en un cilindro tiene un volumen igual a dos tercios del cilindro.
15. El volumen de una esfera es igual al de cuatro conos con base igual al círculo máximo y altura igual al radio.
16. La superficie de una esfera es igual a cuatro veces el área de su círculo máximo.
17. Los segmentos esféricos generados por secciones planas pueden compararse con conos.
18. El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del producto de π por el cubo del radio.

PROPOSICIÓN 2. Los círculos son entre si como los cuadrados de sus diámetros

Se busca demostrar que las áreas de dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros. Es decir, dados dos círculos con diámetros d_1 y d_2 , se debe probar que: Área₁ / Área₂ = ( d_1^2 / d_2^2)

DEMOSTRACIÓN

Sean dos círculos con diámetros \( d_1 \) y \( d_2 \). En cada uno se inscribe un polígono regular con el mismo número de lados. Como ambos polígonos están inscritos en círculos semejantes, también son semejantes entre sí. Se sabe que las áreas de figuras semejantes están en proporción al cuadrado de sus lados correspondientes. Como los lados de los polígonos inscritos son proporcionales a los diámetros de los círculos, entonces las áreas de dichos polígonos estarán en proporción \( d_1^2 : d_2^2 \). Ahora, si se aumenta el número de lados de los polígonos inscritos indefinidamente, sus áreas se aproximan cada vez más a las de los círculos respectivos. Esto se conoce como el método de exhausción, atribuido a Arquímedes. Por lo tanto, en el límite, las áreas de los círculos estarán en la misma proporción que los cuadrados de sus diámetros: Área₁ / Área₂ = \( d_1^2 / d_2^2 \)

LIBRO XIII

En resumen, el Libro XIII se enfoca en: Construcción de los sólidos platónicos: Se describe cómo construir cada uno de los cinco sólidos regulares dentro de una esfera. Propiedades de los sólidos: Se investigan algunas características de estos sólidos, como las relaciones entre sus caras, aristas y vértices. Exhaustividad: Se demuestra que no hay más poliedros regulares que los cinco construidos en el libro.

¿Qué es el Libro XIII

Es el último libro de la obra Los Elementos de Euclides. Trata sobre los cinco sólidos regulares conocidos como sólidos platónicos

Los cinco sólidos regulares

Definiciones del Libro XIII de Euclides: 1.- Un poliedro regular es una figura sólida contenida por polígonos regulares iguales y semejantes. 2.- Una pirámide es una figura sólida contenida por polígonos, construida sobre un plano como base y convergiendo en un punto. 3.- Un prisma es una figura sólida contenida por polígonos, con dos bases paralelas iguales y caras laterales paralelogramos. 4.- Una esfera es la figura generada por la rotación de un semicírculo 5.- alrededor de su diámetro fijo. El eje de la esfera es la línea recta fija alrededor de la cual gira el semicírculo. 6.- El centro de la esfera es el mismo que el centro del semicírculo generador. 7.- Un diámetro de la esfera es cualquier recta que pasa por el centro y termina en la superficie. 8.--Un cono es la figura generada por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos. 9.- El eje del cono es la línea recta fija (el cateto) alrededor de la cual gira el triángulo. 10 La base del cono es el círculo descrito por el otro cateto al girar. 11.- Un cilindro es la figura generada por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. 12.- El eje del cilindro es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo. 13.- Las bases del cilindro son los círculos descritos por los lados opuestos al eje. 14.- Sólidos semejantes son aquellos contenidos por figuras planas semejantes y en igual número. 15.- Un poliedro está inscrito en una esfera cuando todos sus vértices tocan la superficie de la esfera. 16.- Una esfera circunscribe un poliedro cuando su superficie pasa por todos los vértices del poliedro. 17.- Un poliedro está circunscrito a una esfera cuando todas sus caras son tangentes a la esfera. 18.-Una esfera está inscrita en un poliedro cuando toca todas las caras del poliedro.

Prop. 1: Si se divide una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento mayor sumado al cuadrado de la mitad de la línea total es igual a 5 4 4 5 ​ del cuadrado de la mitad. (Base matemática para construir el dodecaedro, usando la razón áurea ϕ ϕ).Prop. 2: Dada una línea recta, construir un segmento que sea igual al lado de un pentágono regular inscrito en un círculo. (Clave para caras pentagonales del dodecaedro). Prop. 3-10: Construcción de los poliedros regulares inscritos en una esfera:Prop. 3: Construir una pirámide (tetraedro) inscrita. Prop. 4: Construir un octaedro inscrito. Prop. 5: Construir un cubo (hexaedro) inscrito. Prop. 6: Construir un icosaedro inscrito. Prop. 7: Construir un dodecaedro inscrito. Prop. 11: Si un pentágono regular, un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro, entonces el área del pentágono es mayor que la del triángulo, y menor que la del hexágono. (Relaciona figuras planas con propiedades de sólidos). Prop. 12: Al inscribir un tetraedro, octaedro y hexaedro (cubo) en la misma esfera, la arista del dodecaedro es mayor que la del icosaedro. (Comparación de tamaños relativos). (

Prop. 13: Construir un tetraedro y demostrar que el cuadrado de su arista . prop. 14: Para un octaedro inscrito, el cuadrado de su arista es la mitad del cuadrado del diámetro de la esfera. Prop. 15: Para un cubo inscrito, el cuadrado de su arista es 1/3 del cuadrado del diámetro de la esfera. Prop. 16: Construir un icosaedro inscrito y probar que el lado del pentágono que forma sus caras es igual al radio de la esfera circunscrita.. Prop. 17: Construir un dodecaedro inscrito y demostrar que su arista es la "recta menor" de la razón extrema y media (razón áurea) del radio de la esfera. Prop.: Comparar las aristas de los cinco sólidos regulares inscritos en la misma esfera:.

Demostración

Proposición 17: Construir un dodecaedro y envolverlo en una esfera como en las figuras antedichas, y demostrar que el lado del dodecaedro es la recta irracional.

Referencia:

1.- Euclides. (2020). Elementos: Libro XIII. Los cinco poliedros regulares (A. Pérez Sanz, Ed. y notas). RBA. 2.- López Pellicer, M. (2017). La armonía de los poliedros: Euclides y el fin de los Elementos. LLULL: Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas, *40*(84), 29–48.

AXIOMATIZACIÓN MODERNA: DAVID HILBERT

La axiomatización es el proceso de establecer un conjunto de axiomas (principios básicos) que sirvan como punto de partida para construir todo un sistema teórico, como la geometría, sin contradicciones y con base lógica. En lugar de depender de la intuición o figuras, se basa en reglas formales y deducción lógica.

¿Quién fue David Hilbert?

Matemático alemán (1862–1943) Figura clave en la formalización de las matemáticas Propuso un enfoque moderno, lógico y sistemático Su obra más influyente en este tema: "Fundamentos de la Geometría" (1899)

¿Qué hizo Hilbert con la geometría?

Hilbert reestructuró completamente la geometría euclidiana: Detectó que los axiomas de Euclides (especialmente el V postulado y el uso implícito de conceptos como “entre”, “congruencia” o “continuidad”) no eran suficientes ni precisos. Redefinió la geometría con un sistema axiomático completo, coherente y más riguroso.

Hilbert propuso un sistema de 20 axiomas, divididos en 5 grupos fundamentales:

Importancia de la Axiomatización en la matemática moderna

La axiomatización es uno de los pilares fundamentales de la matemática moderna. Su importancia se puede entender en varios niveles: lógico, estructural, metodológico y epistemológico. A continuación te explico sus principales aportaciones y por qué es esencial:

📌 ¿Qué es la axiomatización? La axiomatización consiste en construir teorías matemáticas a partir de un conjunto de axiomas, que son proposiciones básicas asumidas sin demostración. A partir de ellos, se deducen teoremas utilizando reglas lógicas.

Claridad y precisión Permite establecer definiciones y principios con un lenguaje riguroso y libre de ambigüedades. Se evita la intuición vaga y se favorece la precisión lógica.

Fundamentación sólida Garantiza que todo el conocimiento matemático se derive de principios básicos bien definidos. Esto fue especialmente importante tras las crisis de fundamentos del siglo XIX y XX (por ejemplo, las paradojas de la teoría de conjuntos).

Universalidad y coherencia A través de axiomas bien escogidos, se construyen teorías consistentes. Ejemplo: La geometría euclidiana y no euclidiana se diferencian solo por uno de sus axiomas (el quinto postulado), pero ambas son válidas dentro de sus sistemas.

Facilita la verificación lógica Al tener reglas claras, se puede verificar si un razonamiento es válido dentro del sistema. Esto permite que las matemáticas sean autocontenidas y verificables internamente.

Base para la formalización y computación La axiomatización ha sido clave para el desarrollo de la lógica formal, la teoría de modelos, y más recientemente, la inteligencia artificial y la verificación automática de pruebas.

Flexibilidad para nuevas teorías Se pueden crear nuevos sistemas cambiando los axiomas (por ejemplo, geometría hiperbólica, lógica difusa). Esto abre puertas a explorar “matemáticas alternativas” válidas y útiles.

Influencia en otras ciencias La matemática axiomática sirve de modelo para otras disciplinas científicas que buscan estructuras lógicas bien definidas (como la física teórica).

Ejemplos de sistemas axiomáticos

Evita paradojas y ambigüedades 🧩 1. Prevención de paradojas Antes del desarrollo formal de la lógica matemática y la teoría de conjuntos axiomática, aparecieron paradojas que mostraban contradicciones internas en el pensamiento matemático. Ejemplos clásicos: Paradoja de Russell: “El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.” ¿Se contiene a sí mismo o no? Si sí, entonces no. Si no, entonces sí. Esta y otras paradojas llevaron a los matemáticos a crear sistemas axiomáticos más sólidos (como los axiomas de Zermelo-Fraenkel) que evitan estas contradicciones. 🧠 2. Evita ambigüedades conceptuales El lenguaje cotidiano es vago: por ejemplo, palabras como "grande", "cerca", "casi" no tienen definición exacta. En matemáticas, cada término (como “conjunto”, “función”, “punto”, “número”) se define de manera precisa con base en axiomas. Ejemplo: En aritmética axiomática, el número 0, el sucesor de un número, y las operaciones están definidos sin ambigüedad.

⚖️ 3. Permite demostrar la validez El rigor asegura que cada paso de una demostración sea justificado por un axioma o un teorema ya probado. Así, no se aceptan verdades por intuición, sino por deducción lógica. 🔐 4. Reduce la dependencia de la intuición Axiomatizar evita errores derivados de intuiciones visuales o lingüísticas que pueden ser engañosas. Esto fue fundamental para el desarrollo de geometrías no euclidianas y teorías abstractas. 📌 En resumen: El rigor lógico proporcionado por la axiomatización: 🔒 Protege a la matemática de contradicciones (paradojas). 📐 Elimina confusión o ambigüedad en conceptos clave. 📊 Permite razonamientos verificables paso a paso.

Mesopotamia (Sumerios y Babilonios) Desarrollaron tablas matemáticas y fórmulas para áreas de figuras planas y volúmenes. Usaban geometría en la astronomía y arquitectura.

Tablas Matemáticas y Sistemas Numéricos Sistema Sexagesimal (Base 60): Desarrollado por los sumerios y adoptado por los babilonios. Permanece en nuestro sistema de tiempo (60 segundos/minutos, 360° en un círculo) y en la trigonometría. Tablas de Cálculo: Crearon tablillas con: Tablas de multiplicar y recíprocos (para divisiones). Raíces cuadradas y cúbicas (ej: tablilla YBC 7289 muestra √2 con 6 decimales de precisión). Fórmulas algebraicas para resolver ecuaciones cuadráticas y cúbicas (usando métodos geométricos).

📍 1500 a.C. – China Antigua (Dinastía Shang) Aplicaban principios geométricos en el diseño de objetos, astronomía y agricultura. Se usaban reglas y herramientas para medir terrenos.

Geometría en la Arquitectura y Urbanismo Ciudades amuralladas: Zhengzhou y Yinxu tenían murallas trapezoidales de tierra apisonada (hangtu), con bases de hasta 20 m de ancho y alineación cardinal (norte-sur). Templos y palacios: Plataformas rectangulares con columnas dispuestas en retículas simétricas (ej: complejo palaciego de Yinxu). Tumbas reales: Pozos cuadrados de hasta 13 m de profundidad con rampas en ángulo (ej: tumba de Fu Hao). 3. Astronomía y Calendarios Observación estelar: Registraban eclipses y ciclos lunares en huesos oraculares (甲骨 jiǎgǔ) usando geometría básica para predecir eventos. Ej: Inscripción en hueso: "Luna oscurecida en [fecha]... ¿augurio para la cosecha?". Calendario lunisolar: Combinaban 12 meses lunares (354 días) con meses intercalares para sincronizar con el año solar (365.25 días), requiriendo cálculos de fracciones.

El área del triángulo es igual al área de la lúnula

Hipocrates

Escribio el libro de elementos en geometría

Hipocrates describia el procedimiento de la cuadratura de una lúnula

segmentos semejantes de círculos están entre sí en la misma razón que los cuadrados construidossobre sus bases.

Filolao y arquitas de Tarento

Su maxima contribución fue encontrar una solución tridimensional del problema de duplicidad de el cubo sin ayuda de las coordenadas.

Anaxágoras de Clazomene

Más filosofo que matemático

Fue encarcelado por decir que el sol no era una deidad sino una piedra. cuadratura del círculo Primer problema clasico: El cuadrado buscado debe ser de igual área que el círuclo y construido solo con regla y compás Segundo problema clasico: Dada la arista de un cubo, construir con regla y compas otro cubo que tenga el doble del volumen que el primero. Tercer problema clasico: Dado un ángulo arbitrario construir con relga y compas, un ángulo igual a un tercio de un ángulo dado.

• Matemática distinta: matemática teórica

Cuadrivium

• Aritmetica
• Geometria
• Música
• Astronomía

Trivium

• Gramatica
• La retórica
• Dialectica de Zenón

• 📍 2000 a.C. – India Antigua (civilización del Indo) Manejaban conceptos geométricos en la construcción de ciudades, canales y templos, con patrones simétricos y proporciones.

Geometría en la Planificación Urbana Las ciudades de Harappa y Mohenjo-Daro (actuales Pakistán) son testimonios de una ingeniería civil estandarizada: Trazado ortogonal: Calles dispuestas en cuadrícula perfecta (norte-sur/este-oeste), con ángulos rectos y avenidas principales de hasta 10 metros de ancho. Sectores especializados: Barrios residenciales, áreas industriales (hornos, talleres) y ciudadelas elevadas, separados con precisión. Estandarización: Ladrillos cocidos con proporciones 1:2:4 (ej: 7 cm × 14 cm × 28 cm) en todas las ciudades, facilitando construcción masiva. 2. Sistemas Hidráulicos: Ingeniería de Precisión Canales y drenajes: Redes de alcantarillado cubierto con registros de limpieza, usando pendientes calculadas para flujo gravitacional. Pozos circulares de ladrillo en cada manzana (ej: Mohenjo-Daro tenía 700 pozos). Graneros: Plataformas elevadas con bases rectangulares y conductos de ventilación para evitar humedad (Harappa).

Democrito

Descubrió que el volumen de un cono es un tercio del volumen de un cilindro con la misma base y altura Descubrió una fórmula para calcular el volumen de una pirámide, la cual también se puede aplicar para calcular el volumen de un cono Escribió tratados sobre geometría y números

Hipias de Elis

Se le atribuye la invención de la curva que se conoce como triceptriz o cuadratiz de hipias, es una curva que se genera mediante un movimiento uniforme y que se usó para trisecar ángulos y cuadrar el círculo