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il moto in due dimensioni

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Le grandezze vettoriali

La composizione dei moti

Il moto dei proiettili

Le operazioni con i vettori

I vettori in coordinate cartesiane

Il moto circolare uniforme

Le grandezze che descrivono il moto nel piano

Il moto armonico

le grandezze vettoriali

le grandezze vettoriali

Le grandezze fisiche come lunghezza e massa sono dette grandezze scalari: per descriverle in modo completo è necessario un numero (indicante la misura) e l'unità di misura.

20 cm

ES. la lunghezza di una penna:

Altre grandezze NON possono essere descritte da un solo numero.

ES. Un veliero che naviga al largo della costa di Portofino comunica alla Capitaneria di Porto di trovarsi in difficoltà a causa di una perdita di carburante. L'informazione fornita indica solo che l'imbarcazione è a circa un miglio dalla costa. Tuttavia, questa informazione non è sufficiente per localizzare con precisione il veliero.

s →

Se invece è noto che la barca si trova a sud di Portofino, la vedetta della Capitaneria può localizzarla facilmente, spostandosi da Portofino di 1 miglio verso sud. La posizione s → della barca rispetto a Portofino è un segmento orientato che può essere indicato con una freccia che fornisce: - la distanza della barca da Portofino (1 miglio) - la retta per raggiungere la barca (nord-sud) - il verso (sud)

Grandezza vettoriale

Una grandezza vettoriale, o vettore, è una grandezza descritte tramite 3 informazioni.

1. il MODULO, o intensità, ossia il valore della misura della grandezza vettoriale;
2. la DIREZIONE, la linea lungo la quale la grandezza agisce;
3. il VERSO.

Indichiamo le grandezze vettoriali mediante una lettera con la freccia sopra. RICORDA! -Il modulo è indicato senza freccia.

Un vettore si rappresenta come una FRECCIA, la cui lunghezza è uguale al modulo del vettore nella scala usata.

LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

il vettore spostamento

Una persona che passeggia si sta muovendo dal punto A al punto B: il suo spostamento è descritto da un vettore che ha le seguenti caratteristiche:

- il modulo è uguale alla lunghezza del segmento AB; - la direzione è la retta passante per A e B; - il verso è da A a B.

Il vettore spostamento viene indicato con il simbolo Δs → e, come mostra la figura, collega il putno di partenza con quello d'arrivo indipendentemente dal tragitto seguito.

Due spostamenti successivi di 1 km non equivalgono sempre a uno spostamento di 2 km. ES. un'auto si sposta di 1 km verso est e poi di 1 km verso sud, lo spostamento è di circa 1,4 km. Quindi, le grandezze vettoriali NON si addizionano come le scalari.

le operazioni con i vettori

Metodo punta-coda

L'ADDIZIONE DI 2 VETTORI

Metodo del parallelogramma

metodo punta-coda

Consideriamo 2 spostamenti successivi: il vettore secondo, avendo inizio al termine del primo, ha la coda sulla punta del vettore che rappresenta il primo spostamento.

Per determinare il vettore C→, somma di A→ e B→, si traccia il vettore con la coda coincidente con quella di A→ e la punta con quella di B→.

metodo del parallelogramma

Per determinare il vettore C→, somma dei vettori A→ e B→

si trasporta il vettore B→ parallelamente a sé stesso, in modo da far coincidere la sua coda con la coda del vettore A→;

dalla punta di ciascun vettore si traccia la retta parallela all'altro vettore e si determina il punto d'incontro delle 2 rette;

il vettore C→ è la diagonale del parallelogramma formato e la sua coda coincide con quella dei vettori A→ e B→

la moltiplicazione di un vettore per un numero

Il prodotto B→ = kA→ è un vettore che ha: -il modulo uguale al prodotto di A per il valore assoluto di k; -la stessa direzione di A→; -il verso di A→ se k è positivo, il verso opposto se k è negativo. Il vettore -A→ equivale al prodotto di A→ per -1 ed è detto vettore opposto. Un vettore e il suo opposto hanno lo stesso modulo, la stessa direzione ma versi opposti: la loro somma è nulla.

La moltiplicazione di un vettore per un numero (chiamato anche scalare) è un'operazione che modifica l'intensità (modulo) di un vettore o il verso.

la sottrazione fra due vettori

Consideriamo la differenza fra due numeri, per esempio 5-3, e interpretiamo questa operazione come la somma del primo addendo con l'opposto del secondo: 5-3= 5 + (-3) Lo stesso ragionamento può essere applicato alla sottrazione tra due vettori.

Il vettore D→, differenza tra due vettori A→ e B→, è il vettore somma del primo con l'opposto del secondo.

la scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate

La scomposizione di un vettore A→ lungo due direzioni assegnate r e s consiste nel determinare un vettore B→ su r e un vettore C→ su s tali che la loro somma sia A→ . Quindi si deve eseguire la costruzione inversa usata per la somma.

Per scomporre il vettore A→ sulle due direzione r e s

dalla punta A→ si tracciano la retta parallela a r e la parallela a s individuando due punti E e F.

Le code dei vettori B→ e C→ coincidono con quella di A→, mentre le loro punte nei punti E e F.

i vettori in coordinate cartesiane

Le componenti cartesiane Ax→ e Ay→ di un vettore A→ sono così definite: Ax= ha valore uguale al modulo di Ax→ e ha segno positivo se Ax→ ha lo stesso verso dell'asse x. Ay= stessa cosa vale per l'altra componente. Le componenti di un vettore con la coda nell'origine degli assi di un sistema cartesiano sono le coordinate della punta del vettore. Un vettore A→ può quindi essere individuato mediante le sue componenti rispetto al sistema cartesiano: A→= (Ax, Ay)

Un caso di scomposizione vettoriale è quello in cui le due direzioni sono gli assi del piano cartesiano. In un sistema di assi cartesiani consideriamo un vettore A→ con la coda nell'origine. Se lo scomponiamo lungo gli assi con la procedura precedente otteniamo 2 vettori Ax→ e Ay→.

Se conosciamo le componenti di un vettore, possiamo calcolare il suo modulo con il teorema di Pitagora. Il modulo del vettore A→= (Ax, Ay) è la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo OBC, i cui cateti sono lunghi Ax e Ay: ​

i vettori in coordinate cartesiane

ES. A→= (2,1) B→= (-1,2)

Conoscendo il modulo del vettore A e l'angolo a che esso forma con l'asse x, possiamo calcolare le componenti mendiante le funzioni geometriche di seno e coseno: Ax= A cos a Ay= A sen a ​

le grandezze che descrivono il moto nel piano

vettori posizione e spostamento

Ogni punto P della traiettoria di un corpo è individuato da un vettore posizione s→ che unisce l'origine O a P. Consideriamo un corpo che passa dalla posizione s1→ all'instante t1 alla posizione s2→ all'istante t2: Il vettore spostamento Δs → = s2→ - s1→ è la variazione del vettore posizione. Lo spostamento è il vettore differenza fra i vettori posizione corrispondenti a 2 istanti diversi.

Solitamente i corpi si muovono lungo traiettorie curve. In generale una traiettoria curva è tridimensionale. Studieremo solo traiettorie curve bidimensionali: ES. gli atleti che corrono su una pista di atletica leggera seguono una traiettoria curva bisimensionale. Per descrivere questi moti usiamo: -gli assi cartesiani; -un orologio per misurare i tempi.

Il vettore di spostamento si riferisce a una distanza sempre più piccola percorsa dal corpo in un tempo brevissimo. Man mano che l'intervallo di tempo diventa piccolissimo, il vettore spostamento tende a diventare tangente alla traiettoria nel punto in cui il corpo si trova, cioè la direzione della velocità istantanea. Poichè velocità e spostamento hanno sempre stessa direzione e stesso verso, il vettore velocità istantanea in un punto P è sempre tangente in P alla traiettoria.

il vettore velocità

Nel moto rettilineo la velocità è definita come rapporto v= Δs/ Δt. Nel moto in 2 dimensioni lo spostamento è un vettore , quindi il vettore velocità è il rapporto tra il vettore spostamento e l'intervallo di tempo. v→= Δs →/ Δt Cosa succede quando la velocità è però calcolata per intervalli di tempo sempre più piccoli?

il vettore accelerazione

Come nel moto rettilineo, anche nei moti bisimendionali l'accelerazione è la grandezza che esprime la rapidità con cui la velocità cambia nel tempo.

Il vettore accelerazione è il rapporto tra la variazione della velocità Δv→ e l'intervallo di tempo Δt in cui è avvenuta.

Scegliendo Δt sempre più piccoli, il rapporto Δv/Δt tende a diventare l'accelerazione istantanea del corpo nel punto P della sua traiettoria. Un corpo subisce un'accelerazione in un intervallo di tempo quando varia almeno una delle seguenti caratteristiche della sua velocità: il modulo, la direzione o il verso. ES. un ciclista che affronta una curva mantenendo la velocità di 30 km/h è sottoposto a un'accelerazione perché la sua velocità cambia direzione.

LA COMPOSIZIONE DEI MOTI

ES. un passeggero all'interno di un autobus compie uno spostamento Δsp→ mentre l'autobus si sposta di Δsa→ rispetto alla strada. Lo spostamento totale del passeggero rispetto alla strada è la somma di Δsp→ e Δsa→. Quando un corpo compie due spostamenti contamporanei, il suo spostamento totale è la somma vettoriali degli spostamenti.

Quando un corpo compie due spostamenti successivi, il suo spostamento totale è il vettore somma dei due spostamenti.

il moto dei proiettili

In fisica qualsiasi corpo lanciato con una velocità iniziale è detto proiettile. Il moto dei proiettili si riferisce al movimento di un oggetto lanciato con una certa velocità, come una palla. Questo movimento può essere separato in due componenti indipendenti:

1. Moto orizzontale: - In questa direzione, l'oggetto si muove con velocità costante. Ciò significa che, se non ci sono forze che rallentano il movimento (come la resistenza dell'aria), l'oggetto continua a muoversi alla stessa velocità orizzontale.

2. Moto verticale: - L'oggetto, mentre si muove orizzontalmente, è anche soggetto alla gravità, che lo accelera verso il basso. Questo significa che la velocità verticale dell'oggetto aumenta nel tempo (come quando un oggetto cade).

La combinazione di questi due movimenti (orizzontale costante e verticale in accelerazione) crea una traiettoria parabolica. Questo è il moto tipico di un proiettile, come una palla lanciata che segue una curva prima di cadere a terra.

il moto di un proiettile lanciato in direzione orizzontale

Immaginiamo di lanciare una pallina da un tavolo, con velocità orizzontale. La pallina inizierà a muoversi orizzontalmente (con velocità costante) e, allo stesso tempo, verrà influenzata dalla gravità, che la farà scendere verticalmente. Questo significa che il movimento della pallina avviene in due direzioni.

gittata

tempo di volo

Il tempo di volo tv è l'intervallo di tempo durante il quale il proiettile sta in aria. La caduta verticale termina quando il proiettile tocca il suolo, cioè quando la sua y= 0.

La gittata G è la distanza orizzontale fra il punto di lancio e il punto di arrivo del proiettile.

il moto di un proiettile lanciato in direzione OBLIQUA

In alcune eruzioni vulcaniche, frammenti di lana incandescente sono eiettati dal cratere e si muovono come proiettili lanciati in direzione obliqua.

gittata

tempo di volo

Il proiettile sale fino a quando la sua velocità verticale vy si annula, ciò avviene all'istante tsal. Poichè il moto parabolico è simmetrico, il tempo di salita e il tempo di discesa sono uguali. Quindi il tempo di volo complessivo è il doppio del tempo di salita.

Fino a quando è in volo, il proiettile si sposta in orizzotale con velocità costante vox. La gittata del proiettile è quindi:

il moto circolare uniforme

Immaginiamo un oggetto che si sposta lungo un cerchio. La sua posizione cambia nel tempo mentre percorre la circonferenza. La velocità del corpo dipende dalla lunghezza della circonferenza che percorre in un determinato tempo. v= Δl/Δt Δl= lunghezza della porzione di cerchio percorsa Δt= tempo impiegato

Un corpo si muove con moto circolare quando la sua triettoria è una circonferenza. Il corpo percorre tale circonferenza con velocità istantanea di modulo costante.

il periodo e la frequenza

Il periodo (T) è 'intervallo di tempo che un corpo impiega a compiere un giro . La frequenza (f) è il numero di giri che un corpo effettua in un secondo.

La relazione tra periodo e frequenza è: f = 1/T e T = 1/f - Se conosci la frequenza, puoi trovare il periodo e viceversa, in quanto sono grandezze correlate.

L'accelerazione centripeta

Quando un oggetto si muove lungo una circonferenza, la sua velocità cambia continuamente di direzione (anche se la velocità in termini di modulo rimane costante). Questo cambiamento di direzione è causato dall'accelerazione centripeta, che spinge l'oggetto verso il centro della traiettoria circolare.

L'accelerazione media è quella che viene calcolata quando un oggetto passa da un punto all'altro lungo la sua traiettoria. Se osserviamo la velocità dell'oggetto in due momenti diversi (ad esempio da P1 a P2), possiamo calcolare l'accelerazione media come il cambiamento della velocità (Δv) diviso il tempo impiegato (Δt): - Questo indica che l'oggetto cambia la sua velocità nel tempo e questa variazione è sempre diretta verso il centro della circonferenza.

il moto armonico

l moto armonico semplice è un tipo di movimento che descrive molti fenomeni fisici, come quello di una molla che oscilla o di un pendolo che si muove avanti e indietro. È un tipo di moto oscillatorio in cui un oggetto si sposta attorno a una posizione di equilibrio. Caratteristiche principali del moto armonico semplice: 1. esiste una posizione centrale di equilibrio; 2. allonatanto dall posizione di equilibrio e lasciato andare, il corpo si muove avanti e indietro; 3. dopo un'oscillazione completa il corpo torna nella posizione di partenza con la stessa velocità iniziale: si tratta di un moto periodico; 4. la distanza massima A del corpo dalla posizione d'equilibrio è la stessa in entrambi i versi: A è l'ampiezza del moto; 5. è costante il periodo T, come lo è la frequenza f. Si dice moto armonico il moto di un corpo che ha accelerazione a direttamente proporzionale allo spostamento x dall'equilibrio e verso opposto a esso.

GRAZIE PER L'ATTENZIONE

ILENIA D'AITA