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geometria euclidea nello spazio

Chiodi Aurora 4D 10/03/2025

indice

Parallelismo nello spazio

Introduzione alla geometria nello spazio

Perpendicolarità nello spazio

Prismi, parallelepipedi e piramidi

Proiezioni, distanze e angoli

Solidi di rotazione

Trasformazioni geometriche nello spazio

Poliedri e poliedri regolari

Introduzione alla geometria nello spazio

primi assiomi di geometria dello spazio

ASSIOMA: a. Esiste ed è unico il piano passante per tre punti non allineati. b. In ogni piano valgono tutti gli ordinari assiomi della geometria euclidea.

ASSIOMA: Se un piano contiene due punti distinti, allora la retta che passa per essi appartiene a quel piano

ASSIOMA: Dato un piano α, l'insieme dei punti dello spazio non appartenenti a α resta diviso da α in due regioni disgiunte e convesse tali che: a. se due punti A e B appartengono a regioni diverse, allora il segmento AB ha in comune con il piano α uno e un solo punto P; b. se due punti C e D appartengono alla stessa regione, allora il segmento CD non incontra il piano a in alcun punto.

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO

Due rette nello spazio possono essere:

• Complanari, ossia appartenenti allo stesso piano; in tal caso possono essere incidenti, parallele distinte o parallele coincidenti;

Rette complanari incidenti

Rette complanari parallele distinte

Rette complanari parallele coincidenti

• Non complanari; in tal caso dette sghembe e sono prive di punti di intersezione

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE PIANI e figure nello spazio

TEOREMA: Se due piani distinti hanno un punto P in comune, allora la loro intersezione è una retta passante per P.

DEFINIZIONE: Chiamiamo figura nello spazio ogni sottoinsieme di punti dello spazio

PERPENDICOLARITà NELLO SPAZIO

PERPENDICOLARITà TRA RETTA E PIANO

TEOREMA: Se una retta r è perpendicolare in un suo punto P a due rette di un piano, allora la retta r è perpendicolare al piano.

DEFINIZIONE: Una retta incidente a un piano in un punto P si dice perpendicolare al piano se è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per P.

Q'

TEOREMA: a. Dato un piano e un punto P, esiste una e una sola retta perpendicolare al piano passante per P. b. Data una retta e un punto P, esiste un unico piano perpendicolare alla retta e passante per P.

a.

b.

DEFINIZIONE: Dato un segmanto, si dice piano assiale del segmento il piano passante per il punto medio del segmento e perpendicolare alla retta che contiene il segmento.

piano assiale del segmento AB

AM ≃ MB AB ⟂ α

PERPENDICOLARITà TRA DUE RETTE

TEOREMA:Se P è un generico punto non appartenente a un piano α, H è il piede della perpendicolare condotta da P al piano α e K è il piede della perpendicolare condotta da H a una retta r di α, allora la retta PK è perpendicolare a r.

COROLLARIO: Nelle ipotesi del teorema 4, la retta r è perpendicolare al piano che contiene le due rette PH e PK.

DIEDRI E PERPENDICOLARITà TRA DUE PIANI

DEFINIZIONE: Si chiama angolo diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi la stessa origine, inclusi i semipiani stessi.

DEFINIZIONE: Si chiama sezione normale di un diedro l'angolo che si ottiene intersecando il diedro con un piano perpendicolare allo spigolo.

SPIGOLO

FACCIA

TEOREMA:a. Due sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti. b. Due diedri sono congruenti se e solo se hanno sezioni normali congruenti.

DEFINIZIONE: Si dice ampiezza di un diedro l'amiezza di una sua sezione naturale.

DIEDRI E PERPENDICOLARITà TRA DUE PIANI

DEFINIZIONE: Si dice semipiano bisettore di un diedro il semipiano che ha come origine lo spigolo del diedro e che lo divide in due diedri congruenti.

DEFINIZIONE: Due piani incidenti si dicono perpendicolari quando formano quattro diedri retti.

Semipiano bisettore

TEOREMA:Se un piano β contiene una retta r perpendicolare al piano α , allora il piano β è perpendicolare al piano α.

DEFINIZIONE: Dato un piano α e una retta r non perpendicolare a , esiste ed è unico il piano passante per r e perpendicolare a α.

parallelismo nello spazio

parallelismo tra rette

DEFINIZIONE: Due rette nello spazio si dicono parallele quando sono complanari e non hanno punti di intersezione oppure quando coincidono.

TEOREMA: Siano r, s e t tre rette nello spazio tali che r è parallela a s e s è parallela a t. Allora r è parallela a t.

relazione di equivalenza

parallelismo tra retta e piano

DEFINIZIONE:Una retta e un piano si dicono paralleli quando non hanno punti in comune oppure quando la retta appartiene al piano.

TEOREMA: Se una retta r è parallela a una retta s contenuta nel piano α, allora la retta r è parallela al piano α.

TEOREMA: Sia una retta parallela a un piano α. Allora ogni piano β contenente r e incidente α ha in comune con α una retta parallela a r.

parallelismo tra piani

DEFINIZIONE:Due piani si dicono paralleli quando coincidono o non hanno punti di intersezione.

TEOREMA: Siano α e β due piani distinti. Se due rette secanti r e s del piano α sono parallele al piano β, allora i due piani α e β sono paralleli.

TEOREMA: Dato un piano α e un punto P dello spazio, esiste sempre un unico piano passante per P e parallelo a α.

TEOREMA: Se un piano γ interseca due piani paralleli e distinti α e β, le due rette intersezione di γ con α e β sono parallele.

fascio di piani paralleli e teorema di talete

TEOREMA: Un fascio di piani paralleli determina su due trasversali due classi di segmenti proporzionali.

teoremi che legano parallelismo e perpendicolarità

TEOREMA: a. Se due rette nello spazio sono perpendicolari allo stesso piano, le due rette sono parallele tra loro. b. Se due rette sono parallele, ogni piano che è perpendicolare all'una è perpendicolare anche all'altra.

TEOREMA:a. Se due piani sono perpendicolari alla stessa retta, sono paralleli tra loro. b. Se due piani sono paralleli, ogni retta perpendicolare all'uno è perpendicolare anche all'altro.

PROIEZIONI, DISTANZE E ANGOLI

DISTANZE

DEFINIZIONE: Data una retta parallela a un piano, si chiama distanza della retta dal piano la distanza di un punto qualsiasi della retta dal piano.

DEFINIZIONE: Si chiama distanza di un punto da un piano la distanza tra il punto stesso e la sua proiezione sul piano.

DEFINIZIONE:Dati due piani paralleli, si definisce distanza tra di essi la distanza di un punto qualsiasi di un piano dall'altro.

DEFINIZIONE: Date due rette sghembe, si dice distanza tra le due rette la distanza tra i due punti di intersezione delle rette con l'unica retta perpendicolare a entrambe.

angoli

DEFINIZIONE: Date due rette sghembe r e s, si dice angolo formato dalle due rette r e s l'angolo acuto o retto formato da due rette r' e s', incidenti e rispettivamente parallele a r e s.

DEFINIZIONE: Data una retta incidente e non perpendicolare a un piano, si dice angolo che la retta forma con il piano l'angolo acuto formato dalla retta con la sua proiezione sul piano.

angolo formato dalle due rette sghembe r ed s

s'

DEFINIZIONE: Si dice proiezione di una retta su un piano la figura costiruita dalle proiezioni di tutti i punti della retta sul piano.

Prismi, parallelepipedi e piramidi

PRISMI

TEOREMA: Le basi di un prisma sono poligoni congruenti e le sue faccie laterali sono parallelogrammi.

DEFINIZIONE: Si dice prisma (definito) la parte di un prisma indefinito compresa tra una coppia di piani paralleli che intersecano tutti gli spigoli di quest'ultimo.

DEFINIZIONE: Dato un poligono convesso e una retta r incidente al suo piano, si dice prisma indefinito la figura formata dalle rette parallele a r, passanti per tutti i punti del poligono dato, inclusi quelli del suo contorno.

BASE

VERTICE

FACCE LATERALI

BASE

PARALLELEPIPIDI

DEFINIZIONE: Si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi.

D=√(a^2+b^2+c^2)

DEFINIZIONE: Un parallelepipedo retto, le cui base sono rettangolari, si chiama parallelepipedo rettangolo.

TEOREMA: Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono congruenti.

TEOREMA: Le quattro diagonali di un parallelepipedo si intersecano nel loro punto medio.

ANGOLOIDI E PIRAMIDI

DEFINIZIONE: Dato un poligono convesso e un punto V non appertenente al piano del poligono, si chiama angoloide di vertice V la figura formata da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono dato, inclusi quelli appartenenti al suo contorno.

TEOREMA: a. In un angoloide ogni faccia è minore della somma delle rimanenti. b. In un angoloide la somma di tutte le faccie è minore di un angolo giro.

DEFINIZIONE: Una piramide si dice retta se la base è un poligono circoscrivibile a una circonferenza e il centro di tale circonferenza coincide con il piede dell'altezza della piramide.

DEFINIZIONE: Si chiama piramide la parte di un angoloide compresa tra il vertice dell'angoloide e un piano che interseca tutti gli spigoli dell'angoloide.

DEFINIZIONE: Una piramide si dice regolare se è retta e la base è un poligono regolare.

TEOREMA: In una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice della piramide con i punti di tangenza dei lati della base con la circonferenza inscritta in quest'ultima sono altezze delle facce laterali della piramide e sono tutti congruenti tra loro.

DEFINIZIONE: Data una piramide retta, ciascuna delle altezze delle facce laterali relative agli spigoli di base viene detta apotema della piramide.

TEOREMA: In una piramide regolare gli spigoli laterali sono tutti tra loro congruenti e le facce laterali sono triangoli isosceli congruenti.

Solidi di rotazione

Il cilindro

DEFINIZIONE: Si dice cilindro circolare retto (o semplicemente cilindro) il solido generato da un rettangolo nella rotazione completa intorno a un suo lato.

asse del cilindro

generatrici

IL CONO E IL TRONCO Di CONO

asse del cono

angolo di semiapertura

DEFINIZIONE: Si dice cono circolare retto (o semplicemente cono) il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno a uno dei suoi cateti.

generatrici

apotema

LA SFERA

DEFINIZIONE: Si dice sfera il solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio intorno al suo diametro. Si dice superficie sferica la superficie generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza intorno al suo diametro.

centro

raggio

parti della superficie sferica e della sfera

DEFINIZIONE: Si dicono zona sferica e segmento sferico a due basi rispettivamente le parti di superficie sferica e di sfera comprese tra due piani paralleli a esse secanti.

DEFINIZIONE: Si dicono calotta sferica e segmento sferico a una base rispettivamente ciascuna delle due parti in cui una superficie sferica e una sfera restano divise da un piano a esse secante.

DEFINIZIONE: Si dice settore sferico il solido generato dalla rotazione completa di un settore circolare intorno a una retta che è asse di simmetria del settore oppure passa per il centro del settore e non ha altri punti in comune con esso.

DEFINIZIONE: Dato un diedro avente come origine una retta passante per il centro di una sfera, si dicono fuso sferico e spicchio sferico rispettivamente le intersezioni della superficie sferica e della sfera con il diedro.

POLIEDRI E POLIEDRI REGOLARI

POLIEDRI E LORO PROPRIETà

DEFINIZIONE: Si chiama poliedro un solido delimitato da una superficie formata da un numero finito di poligoni situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun lato dei poligoni sia comune a esattamente due di essi.

DEFINIZIONE: Si chiama poliedro convesso un poliedro tale che, comunque si scelga una sua faccia, è interamente contenuto in uno dei due semispazi aventi come origine il piano che contiene la faccia.

TEOREMA: Siano F, S e V, rispettivamente, i numeri delle facce, degli spigoli e dei vertici di un poliedro convesso. Allora vale la relazione: F+ V = S + 2

POLIEDRI REGOLARI

DEFINIZIONE: Un poliedro si dice regolare quando è convesso e inoltre: a. tutte le facce sono poligoni regolari; b. tutte le facce sono congruenti; c. in ogni vertice concorrono lo stesso numero di facce.

Trasformazioni geometriche nello spazio

ISOMETRIE NELLO SPAZIO

DEFINIZIONE: Si chiama trasformazione (geometrica) ogni funzione biunivoca che associa a ciascun punto dello spazio un altro punto dello spazio.

DEFINIZIONE: Dato un vettore V->, si chiama traslazione di vettore la trasformazione che associa a ogni punto P dello spazio il punto P' tale che il segmento orientato PP'-> ha lo stesso verso, la stessa direzione e lo stesso modulo di ⃗V-> .

P'

DEFINIZIONI: Dato un punto O, si chiama simmetria centrale rispetto al punto O la trasformazione che associa: a. al punto O il punto O stesso; b. a ogni punto P dello spazio diverso da O il punto P' tale che il punto medio di PP' è O.

P'

V->

DEFINIZIONE: Data una retta r nello spazio, si chiama simmetria (ortogonale) rispetto alla retta r, detta asse della simmetria, la trasformazione che associa: a. a ogni punto della retta r il punto stesso; b. a ogni punto P dello spazio non appartenente a r il punto P', appartenente alla perpendicolare alla retta r passante P, tale che il punto medio M di PP' appartiene a r.

DEFINIZIONE: Dato un piano a, si chiama simmetria (ortogonale) rispetto al piano a la trasformazione che associa: a. a ogni punto del piano a il punto stesso; b. a ogni punto P dello spazio non appartenente a α il punto P' appartenente alla perpendicolare al piano α passante per P, tale che il punto medio M di PP' appartiene a α.

P'

P'

DEFINIZIONE: Si dice rotazione di asse la retta r e ampiezza α la trasformazione che a ogni punto P dello spazio associa il punto P', corrispondente di P nella rotazione che avviene sul piano passante per P e perpendicolare a r, avente centro nel punto O di intersezione di r con tale piano e ampiezza α.

DEFINIZIONE: Due figure solide congruenti (cioè corrispondenti in un' isometria) si dicono direttamente congruenti se esiste un isometria diretta in cui si corrispondono, si dicono inversamente congruenti in caso contrario.

OMOTETIE E SIMILITUDINI

DEFINIZIONE: Si chiama omotetia di centro O e rapporto di omotetia k, con k numero reale diverso da zero, la trasformazione che lascia fisso O e trasforma ogni punto P dello spazio diverso da O nel punto P' tale che: a. se k > 0, P' appartiene alla semiretta OP; b. se k < 0, P' appartiene alla semiretta opposta a OP; c. OP'- = |k|• OP-

TEOREMA: La sezione di una piramide di vertice V con un piano parallelo alla sua base è un poligono simile alla base, di rapporto di similitudine uguale al rapporto tra le distanze di V dal piano che individua la sezione e dal piano di base.

TEOREMA: La sezione di un cono di vertice V con un piano parallelo alla sua base è un cerchio tale che il rapporto tra il suo raggio e il raggio del cerchio di base è uguale al rapporto tra le distanze di V dal piano che individua la sezione e dal piano di base.

Simmetrie di alcuni solidi

TEOREMA: In un parallelepipedo il punto d'incontro delle diagonali è centro di simmetria.

TEOREMA: Ogni piramide non ha centro di simmetria.

GRAZIE PER L'ATTENZIONE!