Ponto de Fermat

Ponto de Fermat

Pontos Notáveis de um triângulo

Autores:

-Francisco Ramos;-Margarida Jacinto; -Maria Soares; -Tomás Vicente;

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Índice

Biografia de Pierre de Fermat;

Finalidades;

Definição : Ponto de Fermat;

Construção;

Propriedades do Ponto de Fermat;

Webgrafia;

Biografia

• Pierre de Fermat, nasceu em 1601 em França;

• Faleceu em 1665;

• É conhecido pelos seus teoremas na área das teorias dos números;

• Por influências familiares, Pierre de Fermat seguiu a carreira de funcionário público, tornando-se um magistrado muito conceituado.;

• Mais tarde, ascendeu à posição de conselheiro do rei no Parlamento de Toulouse (França);

Ponto de Fermat: Definição

O ponto de Fermat de um triângulo é o ponto que minimiza a soma das distâncias aos 3 vértices do triângulo. Este ponto tem a propriedade única de ser o local onde a soma das distâncias para os 3 vértices é a menor possível. Chama-se assim pois o problema de encontrá-lo foi levantado por Fermat numa carta particular escrita a Evangelista Torricelli, que o resolveu.

Ponto de Fermat: Propriedades

Num triângulo acutângulo, o ponto de Fermat localiza-se dentro do triângulo.

Num triângulo obtusângulo, o ponto de Fermat localiza-se fora do triângulo.

Casos Especiais: Se qualquer um dos ângulos agudos for 30 graus ou menos, o ponto de Fermat coincide com o vértice oposto ao ângulo.

Finalidades

Triângulos e polígonos

Redes de comunicação

Problemas de logística

Planeamento urbano

Construção

1. Construa um Triângulo chamando cada um dos seus vértices por [ABC].

2. Para cada lado do triângulo que construiu (lados: [AC], [CB], [AB]) desenhe um triângulo equilátero (como os que estão a verde).

3. Em cada vértice dos triângulos equiláteros desenhados anteriormente, desenhe segmentos de reta conectando o vértice F ao vértice oposto C. Repetindo este processo com os restantes vértices dos triângulos equiláteros.

4. Marca o ponto por Fermat, no local onde os segmentos de reta DB, FC, EA se intersetam. E assim, obtemos o ponto de Fermat (ou Torricelli).

Webgrafia

• https://www.infopedia.pt/artigos/$pierre-de-fermat

• https://webpages.ciencias.ulisboa.pt/~ommartins/seminario/fermat/biografia.htm ;

• Geogebra;

Fim

O ponto de Fermat reduz a soma das distâncias dos 3 vértices do triângulo. Esta propriedade é útil em problemas de otimização, como encontrar a localização de um ponto de entrega, por exemplo, que reduza a distância total percorrida para 3 locais diferentes.

Reduz a distância total percorrida na entrega de mercadorias para vários destinos pode ser solucionada utilizando o Ponto de Fermat.

A ideia de criar o ponto de Fermat (ou ponto de Torricelli) surgiu quando Fermat estava a estudar um problema de como encontrar um ponto de um triângulo em que a soma das distâncias desse ponto aos vértices do triângulo fosse mínima.

Na otimização de redes de comunicação (ex:. Fibra ótica, redes de distribuição de energia), o Ponto de Fermat pode ajudar a encontrar a localização ideal de um ponto de conexão para reduzir os custos da instalação.

Pode ser utilizado para determinar a localização ideal de serviços públicos (ex:. hospitais, escolas, quartéis dos bombeiros) de forma a minimizar a distância total que a população precisa de percorrer.