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ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y de orden superior

20-02-25

Introducción

Las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y superior modelan fenómenos dinámicos en ingeniería y ciencias. Exploraremos métodos como coeficientes indeterminados, variación de parámetros y Cauchy-Euler para resolver estas ecuaciones de manera eficiente.!

Aplicaciones:

¿Qué son?

o Modelado de sistemas mecánicos (resortes) o Circuitos eléctricos RLC o Análisis de vibraciones o Problemas de transferencia de calor

Son aquellas que involucran derivadas hasta el segundo orden, expresadas como: ay'' + by' + cy = f(x)

Coeficientes Indeterminados

• Ventajas

• Condiciones de aplicación

• Definición

o La ecuación debe ser lineal o Los coeficientes deben ser constantes o f(x) debe ser una combinación de funciones "simples" (polinomios, exponenciales, senos, cosenos)

o Procedimiento sistemático o No requiere integrales complejas o Muy eficiente para ciertos tipos de funciones

Es un método sistemático para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea.

Método de la Superposición

Se aplica en ecuaciones diferenciales lineales con términos no homogéneos. Se basa en descomponer la función no homogénea en términos más simples, resolver cada uno por separado y luego sumar las soluciones.

Pasos: Dividir la función no homogénea en términos más simples. Resolver la ecuación para cada término individualmente. Sumar las soluciones obtenidas para obtener la solución general.

Método del Anulador

• Encontrar el operador diferencial que anule el término no homogéneo.
• Aplicar este operador a la ecuación dada.
• Resolver la ecuación homogénea resultante.
• Encontrar la solución particular y sumarla a la homogénea.

Se basa en aplicar un operador diferencial que anule el término no homogéneo.

Método de Variación de Parámetros

Pasos: Resolver la ecuación homogénea. Tomar la solución homogénea y reemplazar los coeficientes por funciones u1(x) y u2 (x) Imponer condiciones para determinar u1(x) y u2 (x) Integrar para obtener la solución particular

Ecuación de Cauchy-Euler

• Forma general: x²y'' + axy' + by = f(x) • Propiedades: o Coeficientes son potencias de x o Aparece en problemas con simetría radial o Común en problemas de conducción de calor • Identificación: Cada término tiene el mismo grado total el contenido se mueve.

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Presentaron:

Christian David Arregoitia ChávezEstefanía Oritiz Hernandez

Referencias

Zill, D., Cullen, M. (2008). Ecuaciones diferenciales. Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Vol. 1. Mc Graw Hill. Recuperado de /files/7618218/Matematicas_avanzadas_para_ingenieria_vo.pdf Nagle, K. Saff, E. Snider, A. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Pearson Educación. Recuperado de /files/7618218/03.-Ecuaciones-Diferenciales-y-probs-con-vals-a-la-front-Nagle-4ta-ed.pdf División de Ciencias Básicas e Ingeniería. (s.f.). Ecuaciones diferenciales de orden superior. Universidad Autónoma Metropolitana. Recuperado de http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/jdf/EDO/Lineales.pdf Drager, L. (s.f.). Solución de orden 2, Euler Cauchy Ecuaciones homogéneas: El caso de la raíz repetida. Universidad Tecnológica de Texas. Recuperado de http://www.math.ttu.edu/~drager/Classes/08Summer/M3350/eceqns.pdf

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