Geometria Perspetiva e Projetiva

Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra Departamento de Matemática

Geometria Perspetiva e Projetiva

Projeto Educacional I

Margarida Estevam de Almeida

18 de fevereiro de 2025

Mestrado em Ensino de Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e no Secundário

Introdução

Este trabalho foca-se na evolução histórica, nos fundamentos teóricos e nas aplicações práticas da Geometria Projetiva e da Perspetiva. A relação entre estas áreas surge no Renascimento, quando alguns matemáticos utilizaram noções perspetivas para representar as projeções de objetos tridimensionais em superfícies bidimensionais, tornando, assim, a perspetiva inerente à Geometria Projetiva, uma vez que a primeira constitui uma aplicação prática da segunda.

1.

Evolução histórica

2.

Geometria Projetiva de Desartes

3.

Conceitos Fundamentais da Geometria Projetiva

4.

Retas e segmentos de reta

5.

Definição e representação de um plano

6.

Classificação de Perspetivas

7.

Conclusão

Evolução histórica

1.1. Origem da Geometria

A geometria é um ramo da matemática cuja origem etimológica significa medição ("-metria") das terras ("geo-"), esta designação surge no Egipto e na Babilónia.

• Tales de Mileto é considerado o pai da Geometria.
• Pitágoras fundou a escola pitagórica e ficou conhecido pelo seu célebre teorema.
• Platão, matemático responsável por desenvolver o método da demonstração. Aristóteles matemático responsável pela distinção entre postulado e axioma.
• Século III a.c, a Geometria foi definida como uma ciência. Visto que Euclides formalizou a Geometria Euclidiana.

No século XVII, Descartes e outros matemáticos desenvolveram a Geometria Analítica. E, posteriormente, Descartes e Pascal desenvolveram a Geometria Projetiva.

1. Evolução histórica

1.2. Origem da Perspetiva

Euclides é quem, pela primeira vez, faz referência à perspetiva através do cone visual que seria um cone constituido por um número infinito de raios visuais que intersetam as formas visualizadas.

• No Tratado de Arquitetura, escrito por Vitruvuis, foi onde pela primeira vez se referiu que as linhas paralelas concidem num ponto.

• A perspetiva caiu em desuso durante a Idade Média, sendo apenas retomada no Renascimento, quando artistas como Giotto começaram a explorar a profundidade nas pinturas.

• Brunelleschi, foi responsável por traduzir a perspetiva do campo teórico para o campo prático uma vez que foi o unificador dos conhecimentos científicos denominados por: linha do horizonte, pontos de distância e ponto de fuga.

Evolução histórica

1.2. Origem da Perspetiva

• Alberti e Piero della Francesca, anos mais tarde foram considerados os pais da perspetiva, uma vez que deram continuidade ao desenvolvimento da técnica, tornando-a mais precisa e completa.

• Alberti, clarificou que uma linha reta em perspetiva continua reta e que as linhas horizontais, embora paralelas entre si, diminuem a distância à medida que se afastam no horizonte convergindo para um único ponto.

• Leonardo da Vinci foi o artista que melhor definiu o conceito de perspetiva, com um ponto de fuga, através da perspetiva atmosférica.

• No Iluminismo, a perspetiva foi amplamente estudada e aplicada em tratados como os de Dürer e Jean Viator, que desenvolveram os conceitos de perspetiva com base em um e dois pontos de fuga.

2. Geometria projetiva de Desargues

Teorema da bi-razão de Desargues

Teorema de Desargues

Consideremos quatro pontos A,B,C e D sobre a reta l. As projeções em relação a um ponto arbitrário O estão sobre uma reta l’ e são, respetivamente, A', B’,C' e D’. Então,

Se dois triângulos estão em perspetiva a partir de um vértice, então estão em perspetiva a partir de um eixo.

3. Conceitos fundamentais da Geometria Projetiva

3.1. Conceito de projeção ortogonal de um ponto

A identificação de uma entidade elementar (ponto) do espaço, no plano, constitui uma representação plana que resulta de uma projeção desse ponto, no plano.

Projeções

Problema

3. Conceitos fundamentais da Geometria Projetiva

3.2. Referencial

Uma forma de resolver, o problema de identificar a entidade elementar para o qual se conhece uma projeção ortogonal num dado plano é partir da existência de um segundo plano, perpendicular ao primeiro.

O par de valores que traduz a distância de um determinado ponto Q a cada um dos planos de projeção designa-se por coordenadas e, por sua vez, representam-se da seguinte forma:

Q (valor do afastamento, valor da cota)

Info

3. Conceitos fundamentais da Geometria Projetiva

3.3. Relação Observador, Objeto e plano de projeção

1ºCASO: PROJEÇÃO CENTRAL OU CÓNICA

Se o observador se encontra a uma distância definida e finita, do plano de projeção então a projeção é caracterizada como central ou cónica, uma vez que esta projeção define um cone.

Neste tipo de projeção: • As dimensões da projeção obtida não são as dimensões reais do objeto, independentemente da escala utilizada. • As projetantes não são ortogonais em relação ao plano: a projeção não é ortogonal.

3. Conceitos fundamentais da Geometria Projetiva

3.3. Relação Observador, Objeto e plano de projeção

2ºCASO: PROJEÇÃO PARALELA OU CILÍNDRICA

Se o observador se encontra a uma distância infinita, do plano de projeção então a projeção é caracterizada como paralela ou cilindrica, uma vez que esta projeção define uma superfície cilíndrica.

Neste tipo de projeção: • As dimensões das arestas paralelas ao plano, correspondem às suas dimensões reais, ou seja, à verdadeira grandeza das mesmas. • As projetantes são ortogonais em relação ao plano: a projeção é ortogonal.

Este 2º caso é conhecido como Método de Monge.

3. Conceitos fundamentais da Geometria Projetiva

3.5. Identificação e representação de formas

A metodologia utilizada na representação gráfica a duas dimensões de elementos geométricos é de carácter não inequívoco quanto à representação da peça utilizada

Problema de indeterminação

Este problema de indeterminação poderá ser ultrapassado tendo em conta alguma informação adicional que restrinja o conjunto de solução possível. Tal informação deverá partir da consideração de um terceiro plano de projeção ortogonal.

4. Retas e Segmentos de retas

Na geometria projetiva, uma determinada reta r identifica-se pela representação de duas projeções sobre os dois planos ortogonais que constituem um referencial. Nas figuras seguintes é possível observar os pontos A, B e as projeções destes pontos nos respetivos planos, assim como a reta r que passa pelos pontos A e B.

5. Definição e representação de um plano

Referiu-se que por dois pontos passa uma e uma só reta, ou seja, dois pontos definem uma reta. Contudo, por dois pontos passa um número infinito de planos, como apresentado na figura seguinte.

Problema de indeterminação

Este problema de indeterminação é ultrapassada pela consideração de um terceiro ponto exterior ao alinhamento, isto é, não colinear com os outros pontos.

9. Conclusions

5. Definição e representação de um plano

A consideração simultânea de todas as retas que dois dos três pontos de um plano podem definir, permite a identificação e, portanto, a representação de um plano a partir da representação de um triângulo.

Considerando o plano como a representação de uma face de um objeto.

Representação mais simples, por supressão da linha da terra.

Representação do plano considerando simultâneamente as retas que dois dos três pontos de um plano podem definir.

6. Classificação de Perspetivas

6.1. Perspetivas Rigorosas: Projeções Centrais ou Cónicas

Esta perspetiva permite obter uma simulação quase perfeita da visão humana e das suas ilusões de ótica, e relaciona mais uma vez as três entidades seguintes:

• O Objeto, cuja representação se pretende obter.
• O Ponto de vista, ponto a partir do qual se “vê” o objeto em perspetiva. Determina a posição dos olhos do observador, assim como a orientação do cone ótico.
• O plano de projeção (vertical), vulgarmente designado por Quadro, sobre o qual se obtêm a perspetiva.

6. Classificação de Perspetivas

6.1. Perspetivas Rigorosas: Projeções Centrais ou Cónicas

Os conceitos fundamentais a saber para a compreensão das representações esquemáticas que envolvem a perspetiva rigorosa são:

• Plano Geometral (plano onde à partida se encontram os pés do observador);
• Plano do Horizonte (plano paralelo ao anterior e onde o observador tem os olhos);
• Plano Neutro (plano que contem os olhos do observador e que é perpendicular ao geometral e,por conseguinte, paralelo ao plano do quadro).

Este conjunto de pontos designam-se de perspetógrafo ou sistema perspético.

Tipos de Perspetivas rigorosas.

6. Classificação de Perspetivas

6.1. Perspetivas Rápidas: Projeções Paralelas ou Cilíndricas

Os modos de representação que permitem uma visualização global dos objetos, e a que corresponde apenas uma projeção e, consequentemente, um único plano de projeção, são vulgarmente designados de Perspetivas Rápidas. Estas perspetivas subdividem-se em Perspetivas Oblíquas (Cavaleira) e Perspetivas Ortogonais: Axonométrica (trimétricas, isométricas e dimétricas).

• Na projeção oblíqua, a face do objeto paralela ao plano de projeção (ângulos entre os eixos dos referenciais associados respetivamente ao objeto e ao plano de projeção de 0° ) aparece sempre em verdadeira grandeza qualquer que seja a direção das projetantes.

• Nas projeções ortogonais axonométricas, as diferentes projeções resultam para um feixe de projetantes paralelo, das infinitas posições possíveis do objeto, isto é, dos diferentes ângulos possíveis de estabelecer entre os eixos dos referenciais associados, respetivamente, ao objeto e ao plano de projeção.

6. Classificação de Perspetivas

6.1. Perspetivas trimétrica

Resulta do facto de o objeto ter todas as faces contidas em planos oblíquos ao plano de projeção.Nesta perspetiva os eixos formam entre si ângulos de valor variável conforme a projeção.

Importa referir que a altura do objeto é a única aresta, que em verdadeira grandeza corresponde a uma das direções dos eixos, dado que as outras dimensões das restantes arestas são sujeitas a coeficientes de redução.

6. Classificação de Perspetivas

6.1. Perspetivas isométrica

Na perspetiva isométrica os objetos mantêm as mesmas proporções quando representados, ou seja, não carecem de coeficientes de redução (r=1) e os ângulos de fuga são ambos de 30° o que permite obter perspetivas “verdadeiramente rápidas”

6. Classificação de Perspetivas

6.1. Perspetivas dimétrica

A perspetiva dimétrica, é considerada a que mais se assemelha com a realidade. Nesta perspetiva utilizam-se dois coeficientes de redução r=1, o que garante as dimensões de verdadeira grandeza nos eixos correspondentes à altura e à largura e r=0,5, o que implica a redução de metade da dimensão de profundidade.

7. Conclusão

Enriquecimento ao nível científico, artístico e cultural

Geometria Projetiva inerente ao conceito de perspetiva

Influência da Geometria Projetiva na Geometria Descritiva e nas Artes

O avanço da ciência influenciou o avanço de uma das maiores inovações artísticas da história, a criação do realismo. Mas, para além de enriquecedora ao nível de conhecimentos a exploração deste tema é vantajosa ao nível da profissão docente, dado que a aquisição e o domínio de diferentes áreas do saber, promovem a interdisciplinaridade nas escolas

Os conceitos desenvolvidos na Geometria Projetiva são a base teórica para a compreensão e para o desenvolvimento de outra geometria, a Geometria Descritiva, tal como para o desenvolvimento das artes

Na Geometria Projetiva, a Perspetiva é a ferramenta necessária para que as relações projetivas entre segmentos de uma figura tridimensional permaneçam invariantes quando são projetadas em superfícies bidimensionais, isto é, no plano.

A uma entidade elementar do espaço corresponde uma e uma só projeção ortogonal.

Se a projetante for perpendicular ao plano

A uma entidade elementar do espaço é possível estabelecer um número infinito de projeções no plano

Se a projetante não for perpendicular ao plano

VS

A perspetiva com um ponto de fuga deriva de uma projeção central e paralela.

Um ponto de fuga

A perspetiva com dois pontos de fuga deriva de uma projeção central e angular.

Dois pontos de fuga

A perspetiva com três pontos de fuga deriva de uma projeção central e oblíqua.

Três pontos de fuga

Designação dos planos

O referencial divide o espaço em quatro quadrantes, sendo que o plano vertical e o plano horizontal designam-se respetivamente por: plano vertical de projeção-φ_0 e plano horizontal de projeção-ν_0

Representação de uma reta

Na representação de uma reta o que efetivamente se representa não é, neste caso, a reta r, mas sim outras retas, r' e r'' pertencentes aos planos e uma vez que representam a reta r inequivocamente

Os pontos A e B definiram a reta a.

Os pontos B e C definiram a reta c.

Os pontos C e A definiram a reta b.

Problema de Indeterminação da entidade elementar

Se a uma entidade elementar do espaço pode corresponder uma e uma só projeção ortogonal de um dado plano tomado como referência, é um conceito inequívoco, o inverso, no entanto, não é verdadeiro, uma vez que para uma dada projeção podem existir infinitas entidades elementares, isto é, infinitos pontos.

Geometria Projetiva

A Geometria Projetiva é a área da matemática que se ocupa do estudo de propriedades geométricas que permitem representar, no plano, as figuras geométricas do espaço que permanecem invariantes sob projeções. Esta geometria descoberta por Descartes e Pascal não tem em conta conceitos euclidianos, dado que assume a existência de retas e planos que se estendem infinitamente.

A “visão” do observador em relação a cada face do cubo, isto é, em relação aos seis planos de projeção dá origem ao conjunto de vistas

Projeções ortogonais múltiplas

Existem outros objetos que por vezes podem necessitar de mais três planos ortogonais para para representar a figura. Para esses casos, será necessário recorrer ao conjunto dos seis planos, que constituem um cubo cujas faces estabelecem uma relação paralela e ortogonal, com o objeto colocado entre o observador e o plano de projeção.

Ao considerar-se como referência (fixa) a face que contêm a vista da frente é possível proceder a uma planificação das faces do cubo. A esta representação plana de objetos, designamos de projeções ortogonais múltiplas

Linha da terra (LT)

Uma vez que um plano é uma entidade geométrica de dimensão ilimitada, sabe-se que a interseção de dois planos, isto é, de duas entidades geométricas de dimensão ilimitada definem uma interseção de pontos. Essa interseção designa-se Linha da Terra e denota-se por LT