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Module C - Leçon 2
École Virtuelle
Created on February 11, 2025
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Transcript
Module C : LA GéOMÉTRIE
Mathématique 11
Leçon 2 : Les lois trigonométriques
Commencer
Didactic Unit
Objectifs
C'est quoi que tu vas apprendre dans cette leçon ?
Objectifs
Dans cette leçon, tu dois résoudre des problèmes en appliquant la loi des sinus et la loi du cosinus, y compris le cas ambigu, en traçant des schémas et en justifiant tes calculs.
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
G3. Résoudre des problèmes comportant la loi du cosinus et la loi des sinus, y compris le cas ambigu.
La trigonométrie est le pont entre les mathématiques et le monde réel.
Le cas ambigu
Conclusion
N'oublie pas que tu as accès à l'Appui aux devoirs.
Didactic Unit
Introduction
Que vas-tu voir ici ?
N'as-tu jamais...
En 10e année, tu as appris à utiliser les rapports trigonométriques pour déterminer les mesures des triangles rectangles. Dans cette leçon, tu apprendras à utiliser la loi des sinus et la loi des cosinus pour trouver les mesures des triangles qui ne sont pas rectangles.
- pensé à comment les satellites se positionnent en orbite ?
- voulu savoir à quelle distance se trouve une étoile ?
- demandé comment les pentes des stations de ski sont calculées ?
- voulu savoir comment les archéologues localisent des objets cachés ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
Vocabulaire important
Voici des termes qui seront importants dans cette leçon.
Clique sur chaque terme pour en savoir plus.
Adjacent (adj)
Sinus (sin)
Objectifs
Opposé (opp)
Cosinus (cos)
Introduction
Tangente (tan)
Hypoténuse (hyp)
Vocabulaire
Révision
En 10e année, tu as appris les rapports trigonométriques de base. Voici un rappel de comment utiliser ces rapports ;
La loi de sinus
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Conclusion
Aide-mémoire
Soh Cah Toa
Didactic Unit
Les triangles non rectangulaires
Comment est-ce que je peux calculer la longueur b quand ce n'est pas un triangle rectangle ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
À ce temps, connaissant seulement les rapports trigonométriques de base, tu es forcé de couper ce triangle en deux triangles rectangles afin de les utiliser.
La loi de sinus
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Solution
La loi de sinus et la loi de cosinus sont des outils qui faciliteront cette tâche.
Conclusion
Didactic Unit
La loi de sinus
La loi de sinus est un principe fondamental en trigonométrie qui établit une relation entre les côtés et les angles d’un triangle. Tu peux utiliser la loi de sinus pour deux tâches, identifier un angle ou un côté manquant.
Objectifs
Introduction
La loi de sinus peut être présenté dans deux manières ;
Vocabulaire
SinA
SinB
SinC
Utilise deux de ces rapports quand tu cherches un angle.
Révision
La loi de sinus
Vidéo
Utilise deux de ces rapports quand tu cherches un côté.
SinA
SinB
SinC
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée 1
La loi de sinus repose sur une relation proportionnelle entre les angles et les côtés d’un triangle : plus un angle est grand, plus le côté qui lui est opposé est long, et vice versa.
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
La loi de sinus
Objectifs
Visionne la vidéo ci-dessous pour apprendre comment appliquer la loi des sinus.
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
Vidéo
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée 1
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 1 : La loi de sinus
Quelle est la mesure de l'angle A ?
Objectifs
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
Vidéo
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée 1
La loi de cosinus
Explication
Solution
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 2 : La loi de sinus
Comment un architecte peut-il déterminer la longueur d’un côté (gauche) du toit d’une maison en utilisant l'angle de 60° entre le toit incliné et l’horizontale du sol (gauche), l'angle de 45° entre le toit et le sol (droit), ainsi que la longueur de 8 mètres mesurée le long droit du toit, sans mesurer directement cette distance ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
Vidéo
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée 1
La loi de cosinus
Pratique guidée
Solution
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
Pratique guidée : La loi de sinus
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
Vidéo
Exemple 1
Exemple 2
Pratique guidée 1
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
La loi de cosinus
La loi des cosinus te permet de résoudre des triangles qui ne sont pas nécessairement rectangles. C'est une extension du théorème de Pythagore qui, contrairement à ce dernier, est applicable à tous les types de triangles.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
La loi de cosinus peut être présenté dans trois manières ;
Révision
La loi de sinus
Si tu cherches un côté spécifique, utilise la forme de l'équation ou le côté que tu cherches est déjà isolé. Si tu cherches un angle, choisis la formule appropriée et isole l'angle.
a2 = b2 + c2 - 2bcCosA
La loi de cosinus
Vidéo
b2 = a2 + c2 - 2acCosB
Exemple 3
Exemple 4
c2 = a2 + b2 - 2abCosC
Pratique guidée 2
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
La loi de cosinus
Objectifs
Visionne la vidéo ci-dessous pour apprendre comment appliquer la loi des cosinus.
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Vidéo
Exemple 3
Exemple 4
Pratique guidée 2
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 3 : La loi de cosinus
Quelle est la mesure de l'angle B ?
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Vidéo
Exemple 3
Exemple 4
Pratique guidée 2
Explication
Solution
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 4 : La loi de cosinus
Un bateau navigue entre les ports Marseille et Toulon. Le capitaine connaît la distance entre Marseille et un point C (150 km), ainsi qu’entre Toulon et C (200 km). Il souhaite connaître la distance directe entre Marseille et Toulon, sachant que l'angle entre les trajets de Marseille et Toulon est de 45°.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Vidéo
Exemple 3
Exemple 4
Pratique guidée 2
Pratique guidée
Solution
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
Pratique guidée : La loi de cosinus
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Vidéo
Exemple 3
Exemple 4
Pratique guidée 2
Le cas ambigu
Conclusion
Didactic Unit
Le cas ambigu
Le triangle de Marielle. Le triangle de Nathan
M. Alex demande à sa classe de dessiner un triangle en utilisant les mesures suivantes :
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
- A = 35°
- a = 4 cm
- b = 8 cm
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Qui a raison ? Est-ce queles deux sont correctes ?
Visionne la vidéo
Tableau
Exemple 5
Pratique guidée 3
Conclusion
Didactic Unit
Le cas ambigu
Objectifs
Introduction
Le cas ambigu se présente lorsque l'on connaît les mesures d'un côté et d'une paire d'angles, dont l'un est opposé au côté donné.
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Tableau
Exemple 5
Pratique guidée 3
Conclusion
Didactic Unit
Exemple 5 : Le cas ambigu
Dans le ∆ABC, a = 3, b = 4 et ∠A = 30°. Détermine toutes les mesures manquantes.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Explication
Tableau
Exemple 5
Pratique guidée 3
Pratique guidée
Solution
Conclusion
Didactic Unit
Pratique guidée : La cas ambigu
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Tableau
Exemple 5
Pratique guidée 3
Conclusion
Didactic Unit
Voici les grandes idées que tu aurais dû apprendre dans cette leçon ;
Les lois de sinus et de cosinus peuvent être utilisées pour résoudre des triangles qui ne sont pas nécessairement rectangles. Dans le cas où un angle et deux côtés sont donnés, si l'angle et le côté sont opposés, un cas ambigu peut se présenter. Dans ce cas ambigu, il est possible de former 0, 1 ou 2 triangles en fonction des informations données.
Objectifs
Introduction
Vocabulaire
Révision
La loi de sinus
La loi de cosinus
Le cas ambigu
Voici un peu de pratique en avance de ta leçon.
Conclusion
As-tu des questions ? Communique avec ton enseignant !
Rends-toi à la révision sur la feuille d'accompagnement.
Puisqu'on connaît les mesures de trous côtés, on peut utiliser la loi de cosinus pour identifier l'angle ∠B.
b2 = a2 + c2 - 2acCosBb2 + 2acCosB = a2 + c2 2acCosB = a2 + c2 - b2 B = Cos-1(a2 + c2 - b2)/(2ac) B = Cos-1((5)2 + (10)2 - (11)2)/(2(5)(10)) B = Cos-1(0,04) B = 87,7°
On doit isoler B.
On connaît déjà trois variables.
Solutionécrite
Quand tu essaies d'identifier quelle version de la formule à utiliser, identifie le côté ou l'angle que tu cherches. Cette lettre devrait être la première chose que tu vois dans la formule, et aussi la dernière. Par exemple si je cherche côté c, je prends la dernière forme.
a2 = b2 + c2 - 2bcCosA
b2 = a2 + c2 - 2acCosB
c2 = a2 + b2 - 2abCosC
Solutionécrite
Les angles ∠AEI et ∠FEH sont opposés par le sommet (E), alors ils sont égaux.
Solutionécrite
Les côtés opposés
Le terme opposés (opp) signifie : qui est en face de. C'est toujours en référence à une angle en particulier. Le côté a est opposé à l'angle A. Le côté b est opposé à l'angle B.
La tangente
La tangente (tan) est un rapport trigonométrique. Elle peut être représentée avec la formule suivant. tanθ = opp/adj Dans ce cas, si l'angle en référenceest l'angle A, la formule devient ; tan(A) = a/b
Les côtés adjacents
Le terme adjacent (adj) signifie : qui est à côté de. C'est toujours en référence à une angle en particulier. Le côté b est adjacent à l'angle A. Le côté a est adjacent à l'angle B.
*NB* Les angles sont notés avec des lettres majuscules, tandis que les côtés sont étiquetés avec des lettres minuscules.
Puisqu'on connaît un pair d'angle-côté opposé et une deuxième côté, on peut utiliser la loi de sinus pour identifier l'angle ∠A.
SinA/a = SinC/cA = Sin-1(aSinC/c) A = Sin-1(6,1Sin(73°)/11) A = Sin-1(0,53) A = 32°
On a seulement besoin de deux parties.
On doit isoler A.
On connaît déjà trois variables.
Lorsque l'on connaît un angle (A) et le côté opposé à cet angle (a) dans un triangle, on peut utiliser la loi des sinus pour résoudre le triangle
SinA/a = SinB/b = SinC/c
Le cosinus
Le cosinus (cos) est un rapport trigonométrique. Elle peut être représentée avec la formule suivant. cosθ = adj/hyp Dans ce cas, si l'angle en référenceest l'angle A, la formule devient ; cos(A) = b/c
Solutionécrite
Soh Cah Toa
Soh Cah Toa est un outil mnémotechnique qui peut t'aider à te souvenir des rapports trigonométriques de base pour les triangles rectangles.
Soh : Sinusθ = Opposé / HypoténuseCah : Cosinusθ = Adjacent / Hypoténuse Toa : Tangenteθ = Opposé / Adjacent