IDENTITÀ ED EQUAZIONI

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IDENTITÀ ED EQUAZIONI

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RISOLUZIONE E VERIFICA DI UN' EQUAZIONE INTERA DI 1° GRADO A UNA INCOGNITA

EQUAZIONI

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EQUAZIONI EQUIVALENTI

LE Equazioni

1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

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FABRIZIO CORBINO

!PROBLEMA!

Emma e Pietro devono inventare, per un compito, un' equazione che abbia come soluzione il numero corrispondente alla loro età. Emma scrive: "Mio padre ha 39 anni, esattamente il triplo dei miei". Pietro scrive: "Se aggiungessi 6 anni alla mia età sarei già maggiorenne da un anno".

Che cosa hanno in comune i due problemi inventati dai ragazzi?

Scriviamo in matematichese!

Emma: "Mio padre ha 39 anni, esattamente il triplo dei miei".

Emma: 3x = 39

Pietro: "Se aggiungessi 6 anni alla mia età sarei già maggiorenne da un anno"

Pietro: x + 6 = 18 + 1

Scriviamo in matematichese!

Emma: "Mio padre ha 39 anni, esattamente il triplo dei miei".

Emma: 3x = 39

Pietro: "Se aggiungessi 6 anni alla mia età sarei già maggiorenne da un anno"

Pietro: x + 6 = 18 + 1

!RISOLVIAMO!

Entrambe le equazioni hanno radice 13, cioè sono verificate per x= 13

Equazioni come queste, che hanno la stessa radice, si dicono equazioni equivalenti.

DEFINIZIONE

Due equazioni sono equivalenti quando le soluzioni di una sono le soluzioni dell'altra e viceversa.

Equazione ridotta in forma normale

Un' equazione di 1° grado a un' incognita è ridotta in forma normale se in essa compaiono solo un termine che contiene l'incognita e un termine noto.

In generale un' equazione ridotta in forma normale è del tipo:

x= con a ≠ 0

a = coefficiente dell'incognita

b = termine noto

!PROBLEMA!

Emma e Pietro devono inventare, per un compito, un' equazione che abbia come soluzione il numero corrispondente alla loro età. Emma scrive: "Mio padre ha 39 anni, esattamente il triplo dei miei". Pietro scrive: "Se aggiungessi 6 anni alla mia età sarei già maggiorenne da un anno".

Che cosa hanno in comune i due problemi inventati dai ragazzi?

Risposta: I due ragazzi hanno la stessa età, 13 anni, perchè le due equazioni sono equivalenti

Sostituendo all' incognita i valori indicati, verifica se sono o no soluzioni dell'equazioni

Esercizio svolto

x = - 1 x=1 x=3

10x - 14 = 6x -2

10 (-1) - 14 = 6 (-1) - 2

-10 - 14 = -6 - 2

-24 ≠ -8

-1 NON è una soluzione

10 (1) - 14 = 6 (1) -2

-4 ≠ 4

10 - 14 = 6 - 2

1 NON è una soluzione

10 (3) - 14 = 6 (3) -2

16 = 16

30 - 14 = 18- 2

3 è una soluzione

Da svolgere ora:

7x - 3 = 2x - 8 per x=0 x= - 1 x=2

Considera le seguenti equazioni e verifica se hanno la stessa radice x=2

a) 6x - 2 = 2x + 6

b) 16x - 10 = 32x - 42

Sostituisci in entrambe, al posto dell' incognita x, il valore 2:

6 ∙

+ 6

-2 = 2∙

- 42

........

-10 = 32∙

16 ∙

........

........

........

12

32

64

- 10 =

- 42

- 2 =

+ 6

........

........

........

........

22

22

........

........

10

10

........

........

Avendo la stessa radice, le 2 equazioni sono

EQUIVALENTI

Verifica se le seguenti equazioni sono equivalenti per x=4

5 minuti

16 - 4x = 6x -24 6x + 8 = 9x - 4

Sono equivalenti?

SI

compiti per casa

!PROBLEMA!

Pietro ha comprato un paio di scarpe su Spartoo e le ha pagate 35€, spedizione inclusa. È soddisfatto perchè rispetto al negozio "Scarpeggiando" ha risparmiato 18€.

Quanto costavano le scarpe in negozio?

Equazione: x - 18 = 35

non è ridotta in forma normale!!!

Come possiamo ridurla in forma normale?

Usando il

1° principio di equivalenza

delle equazioni

1° principio di equivalenza:

Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di un' equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica si ottiene un' equazione equivalente a quella data

Regola del trasporto

Regola della soppressione dei termini uguali

!PROBLEMA!

Pietro ha comprato un paio di scarpe su Spartoo e le ha pagate 35€, spedizione inclusa. È soddisfatto perchè rispetto al negozio "Scarpeggiando" ha risparmiato 18€.

Quanto costavano le scarpe in negozio?

Con la regola del trasporto dei termini si può risolvere l'equazione x - 18 = 35 -> x = 35 +18 -> x= 53 e rispondere al problema di Pietro: le scarpe nel negozio costavano 53€.

Esercizi

Risolvi le seguenti equazioni applicando il 1° principio di equivalenza. a ) x + 2 = 7; b ) 2 + x = 3; c ) 16 + x = 26; d ) x − 1 = 1; e ) 3 + x = −5; f ) 12 + x = −22; g ) 3x = 2x − 1; h ) 8x = 7x + 4; i ) 2x = x − 1; j ) 5x = 4x + 2; k ) 3x = 2x − 3; l ) 3x = 2x − 2

Vai alla pagina

Un' equazione è un' uguaglianza tra due espressioni letterali in cui la lettera è chiamata incognita e il termine senza lettera è chiamato termine noto

ES: 4x + 5 = 2x - 3

Un' equazione si dice ridotta in forma normale quando al primo membro compare solo l'incognita moltiplicata per un coefficiente(a) e al secondo membro compare il termine noto (b). a e b sono numeri!

incognita

coefficiente a x = b termine noto

ES: 4 x = 20

x + 4

Un' equazione è come una bilancia in equilibrio

3x = 39 x = 39 : 3 x=13

Emma: 3x = 39

Pietro: x+6 = 18 + 1

19 - 6 = 13 x= 13

AND

x + 6 = 18 +1 x + 6 = 19 Qual è il contrario della somma?

La sottrazione!

ESITI

(b+2)2 =b2 +4b+4

b2 + 2(b)(2) + 22=b2 +4b+4

b2 + 4b + 22= b2 +4b+4

b2 + 4b + 22= b2 +4b+4

IDENTITÀ

18 - 2y - 20 = y + 6 + 3y

-2 - 2y = 4y + 6

EQUAZIONE

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Regola del trasporto

In un' equazione è possibile trasportare un termine da un membro all' altro cambiando il suo segno

Esempio: 5x + 3 = 4x - 2 5x - 4x = -2 - 3 x = -5

Risolviamolo insieme alla lavagna, poi torniamo qui.

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Un' equazione è un' uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, che è vera solo per determinati valori numerici assegnati alle lettere che vi compaiono.

Il valore dell' incognita che verifica, cioè rende vera, un' equazione trasformandola in un'uguaglianza numerica, si dice soluzione o radice dell'equazione stessa.

Regola della soppressione dei termini uguali

Se in un' equazione compiaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, i due termini si annullano

Esempio: 2x + 2 - 3x = 10 - 3x (per x=4)

2x + 2 = 10 sempre verificata per x = 4

4a (a+2)= a (8+4a)

4a2 +8a = 8a+4a2

IDENTITÀ

5a - 3 - 4a = 2a +12 -8

a - 3 = 2a + 4

EQUAZIONE

Un' identità è un' uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, che è vera per qualunque valore numerico assegnato alle lettere che vi compaiono

x = +1

x +3x = 4x

+1 + 3 (+1) = 4 (+1)

+1 + 3 = +4

+4 = +4

uguaglianza vera