Module B - Leçon 2

Module B : LA Mesure

Mathématique 11

Leçon 2 : Les rapports

Commencer

Didactic Unit

Objectifs

C'est quoi que tu vas apprendre dans cette leçon ?

Objectifs

Dans cette leçon, tu dois utiliser des dessins à l'échelle pour résoudre des problèmes et démontrer comment l'échelle influence les dimensions, les aires et les volumes de figures et d’objets semblables.

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Les formes 3D

M2. résoudre des problèmes comportant des dessins à l’échelle à l’aide du raisonnement proportionnel M3. démontrer une compréhension des relations entre l’échelle, l’aire, l’aire totale et le volume de figures à deux dimensions et d’objets à trois dimensions semblables.

Conclusion

Didactic Unit

Introduction

Que vas-tu voir ici ?

As-tu jamais essayé de…

Objectifs

Dans cette leçon, nous explorerons la manière dont les rapports sont utilisés pour les dessins à l'échelle et pour comparer des mesures comme l'aire et le volume.

modifier une recette pour préparer plus de portions ? utiliser des plans de construction pour fabriquer un œuvre ? utiliser une imprimante 3D pour faire des miniatures ou autres ?

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Les formes 3D

C'est quoi un rapport ?

Conclusion

Didactic Unit

Vocabulaire important

Dans la leçon 1 du module B, tu as appris ce qu’est un taux et comment l’utiliser. Dans le leçon 2, tu découvriras les rapports et leurs applications.

Objectifs

Un rapport compare deux grandeurs et exprime combien de fois une grandeur contient l'autre. Les deux grandeurs comparées peuvent avoir les mêmes unités ou des unités différentes. Un rapport est souvent exprimé sous forme de fraction ou de notation comme 𝑎 : 𝑏. Exemples :4 : 2 (rapport entre 4 tasses de farine et 2 tasses de sucre). Si 3 pommes coûtent 6 $, alors 1 pomme coûte 2$ (6$/3 = 2$).

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Les formes 3D

Conclusion

Le rapport est souvent sans unité lorsqu'il compare des grandeurs ayant les mêmes unités

Comment identifier un rapport

Didactic Unit

Les dessins à l'échelle

Un dessin à l’échelle est une représentation d’un objet, lieu ou structure, réduite ou agrandie tout en respectant les proportions réelles. Cela permet de représenter des objets trop grands ou petits pour être dessinés à taille réelle. La proportionnalité signifie que deux éléments changent ensemble de manière identique : si l’un est multiplié ou divisé, l’autre l’est aussi.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Exemple : Le dessin à l'échelle du bateau inclut une échelle qui permet de déterminer les dimensions réelles. Il indique une distance de 1cm qui représente 3 m en réalité. Il est important d'utiliser les mêmes unités pour établir l'échelle, soit 1:300. Le 1:300 indique que l'objet réel est 300 fois plus grand. Si l'échelle était 300:1, l'objet serait 300 fois plus petit.

Dessin à l'échelle

Exemple 1

Pratique 1

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Les formes 3D

Conclusion

Comment calculer l'échelle

Des équivalences communes

Didactic Unit

Exemple 1 : L'échelle

Jean-Luc essaie d'utiliser un dessin à l'échelle pour créer un modèle d'une voiture. Si la voiture mesure 460 cm de long et chaque carré sur l'image en bas mesure 5 mm de côté, quelle est l'échelle du diagramme ?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Exemple 1

Pratique 1

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Explication

Les formes 3D

Conclusion

Pratique guidée

Solution

Didactic Unit

Exemple 1 : Pratique guidée

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Exemple 1

Pratique 1

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Les formes 3D

Conclusion

Didactic Unit

Les agrandissments et les réductions

Le facteur de proportionnalité (k) est le rapport entre les dimensions d'un objet après transformation (agrandissement ou réduction) et les dimensions de l'objet avant transformation. Il est exprimé par un nombre ou un rapport.

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Comment est-ce que je peux utiliser l'échelle ?

Réductions et agrandissements

Exemple 2

Si on augmente les dimensions d'un objet, le facteur de proportionnalité est supérieur à 1. Si on réduit les dimensions d'un objet, le facteur de proportionnalité est comprisentre 0 et 1.

Pratique 2

Les formes 2D

Les formes 3D

Comment utiliser l'échelle

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 2 : Utiliser l'échelle

Quelle sont les vrais dimensions du salon ?

Objectifs

1 : 87,5

Introduction

Vocabulaire

Cuisine

Dessin à l'échelle

Salon

Agrandir/Réduire

Exemple 2

Pratique 2

Les formes 2D

Les formes 3D

Explication

Conclusion

Pratique guidée

Solution

Didactic Unit

Exemple 2 : Pratique guidée

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Exemple 2

Pratique 2

Les formes 2D

Les formes 3D

Conclusion

Didactic Unit

L'aire des figures 2D

L'échelle détermine la relation entre les dimensions réelles de l'objet et celles sur le dessin, et cette relation affecte également le calcul de l'aire.

Objectifs

Voici les étapes;1) Identifie l'échelle, fait attention aux unités.2) Mesurer les dimensions, utilisant une règle. Utilise les mêmes unités comme l'échelle.3) Calcule l'aire sur le dessin.Par exemple, si l'objet est un rectangle ;Aire sur le dessin = Longueur × Largeur4) Applique le facteur d'échelle pour l'aire réelle. Puisque chaque dimension est transformé par le facteur de proportionalité l'aire sera proportionnelle au carré du facteur d'échelle ; Aire réelle = Aire sur le dessin × (Facteur d’échelle)2

Des formules de l'aire

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Convertir les unités

Comment est-ce que je calcul l'aire ?

Exemple 3

Pratique 3

Les formes 3D

Conclusion

Exemple

Didactic Unit

Convertir les unités

Quand tu fais la conversion des unités métriques, tu déplaces la virgule vers la gauche (l'unité devient plus grande) ou vers la droite (l'unité devient plus petite) 1 fois pour chaque position que tu changes.

1D

Objectifs

Exemple :Distance

Introduction

Vocabulaire

2D

Dessin à l'échelle

Puisque l'aire est une mesure de deux dimensions, c'est nécessaire de déplacer la virgule deux fois pour chaque place que tu veux changer.

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Exemple :Aire

Convertir les unités

Exemple 3

Puisque le volume est une mesure de trois dimensions, c'est nécessaire de déplacer la virgule trois fois pour chaque place que tu veux changer.

3D

Pratique 3

Les formes 3D

Conclusion

Exemple :Volume

Didactic Unit

Exemple 3 : Calculer l'aire

Que serait l'aire du dessin de cette forme ?Que serait l'aire de l'objet réel ?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Convertir les unités

Exemple 3

Pratique 3

Les formes 3D

Conclusion

Pratique guidée

Solution

Didactic Unit

Exemple 3 : Pratique guidée

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Convertir les unités

Exemple 3

Pratique 3

Les formes 3D

Conclusion

Didactic Unit

Les formes 3D

Un dessin à l'échelle en 3D est une représentation proportionnelle d'un objet en trois dimensions. Il permetle visualisation des objets complexes, comme des bâtiments ou des maquettes. Pour calculer l'aire des formes 3D, on doit déterminer l'aire de chaque face avant d'additionner les résultats. Comme pour les figures 2D, pour trouver l'aire de la figure réelle, il faut multiplier par le carré du facteur d'échelle (k2).

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Les formes 3D

Calcul l'aire de la figure trois dimensionnelles ci-dessous.

Le volume

Exemple 4

Pratique 4

Solution

Conclusion

Explication

Didactic Unit

Le volume des figures 3D

Chaque dimension de l'objet en trois dimensions est affectée par le facteur d'échelle. Étant donné que les trois côtés sont multipliés par le même facteur, le volume de l'objet dans le dessin est proportionnel au cube du facteur d'échelle. Puisque l'échelle est 1:15, le volume sera multiplié par 153. Volume sur le dessin : 5 cm x 3 cm x 2 cm = 30 cm³ Volume réel : 30 cm3 × 153 = 30 cm3 × 3 375 = 101 250 cm3

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Des formules de volumes

Les formes 3D

Le volume

Comment est-ce que je calcul le volume ?

Exemple 4

Pratique 4

Conclusion

Didactic Unit

Exemple 4 : Le volume

La pyramide du Louvre est une pyramide à base carrée emblématique située au centre de la cour Napoléon du Musée du Louvre à Paris. Si Andréa veut créer un modèle d'une hauteur de 21 cm. Que serait le volume de son modèle ?

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

21,64 m

35,24 m

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Les formes 3D

Le volume

Exemple 4

Explication

Pratique 4

Conclusion

Solution

Pratique guidée

Didactic Unit

Exemple 4 : Pratique guidée

Objectifs

Introduction

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Les formes 3D

Le volume

Exemple 4

Pratique 4

Conclusion

Didactic Unit

Voici les grandes idées que tu aurais dû apprendre dans cette leçon ;

L'échelle dans les images ou modèles conserve des proportions fixes entre l'objet réel et sa représentation.

Objectifs

Introduction

Augmentation > 1 Réduction < 1

Vocabulaire

Dessin à l'échelle

Quand tu travail avec l'aire, le facteur d'échelle doit être mis au carré

Agrandir/Réduire

Les formes 2D

Quand tu travail avec le volume, le facteur d'échelle doit être mis au cube

Les formes 3D

Conclusion

Voici un peu de pratique en avance de ta leçon.

As-tu des questions ? Communique avec ton enseignant !

Rends-toi à la révision sur la feuille d'accompagnement.

Des conversions communs

Longueur 1 pouce (in) = 2,54 centimètres (cm) 1 pied (ft) = 12 pouces = 0,3048 mètres (m) 1 mètre (m) = 100 centimètres = 39,37 pouces 1 mile (mi) = 1,609 kilomètres (km) 1 kilomètre (km) = 1000 mètres = 0,621 miles Masse / Poids 1 once (oz) = 28,349 grammes (g) 1 livre (lb) = 16 onces = 0,4536 kilogrammes (kg) 1 kilogramme (kg) = 1000 grammes = 2,204 livres Volume (Liquide) 1 cuillère à café (tsp) = 5 millilitres (ml) 1 cuillère à soupe (tbsp) = 3 cuillères à café = 15 ml 1 once liquide (fl oz) (US) = 29,573 ml 1 tasse (cup) (US) = 8 onces liquides = 236,588 ml 1 gallon (US) = 3,785 litres (L) 1 litre (L) = 1000 ml = 0,264 gallons 1 cm3 = 1 mL 1 L = 1 000 cm3 Vitesse 1 mile par heure (mph) = 1,609 kilomètres par heure (km/h) 1 kilomètre par heure (km/h) = 0,621 miles par heure (mph) 1 mètre par seconde (m/s) = 3,6 kilomètres par heure (km/h)

Température Degrés Celsius (°C) à Fahrenheit (°F) : °𝐹 = °𝐶 × 9/5 + 32 Degrés Fahrenheit (°F) à Celsius (°C) : °𝐶 = ( °𝐹 − 32 ) × 5/9 Énergie 1 calorie (cal) = 4,184 joules (J) 1 kilowattheure (kWh) = 3,6 millions de joules (MJ) ​

L’échelle est plus importante que le volume réel de la pyramide ou la longueur de la base du modèle, car elle sert de lien entre les dimensions réelles et celles du modèle réduit. Voici pourquoi : Volume réel de la pyramide : Bien qu’il soit utile pour comprendre la grandeur de la pyramide, le volume réel n’est pas directement nécessaire pour construire le modèle. C’est l’échelle qui permet de calculer les dimensions réduites et, ensuite, le volume du modèle. Longueur de la base du modèle : Cette mesure découle directement de l’échelle. Sans l’échelle, il est impossible de déterminer la longueur de la base du modèle en fonction des dimensions réelles.

Un prisme rectangulaire possède 6 faces, mais comme c'est une forme régulière, ces faces se regroupent en 3 paires de faces identiques.

• Les faces A ont la même aire.
• Les faces B ont une aire différente de celle des faces A, mais sont identiques entre elles.
• Les faces C ont également une aire propre et identique entre elles.

Solutionécrite

Des formules de volumes

a = Longueur d'un côté

B = Aire de la base

1 m3 est équivalent à 1 000 000 cm3

La virgule est déplacée 3 places vers la droite, 2 fois.

Des formules d'aires

Solutionécrite

Visionne la vidéo à droite pour apprendre comment convertir les unités carrées.

1. Les rapports peuvent être exprimés de différentes façons, mais ils représentent toujours une relation entre deux quantités. 2. Les mots ou expressions qui indiquent une comparaison entre deux quantités peuvent te signaler qu'il s'agit d'un rapport. Par exemple ; pour chaque, ratio, par rapport à, etc. 3. Une proportion est une égalité entre deux rapports. Cela signifie que les rapports des deux ensembles de quantités sont identiques. 4. Les rapports peuvent aussi impliquer des unités de mesure (par exemple, des distances, des prix, des vitesses). Lorsque tu vois qu'une quantité est liée à une autre par une unité spécifique, c'est un indice que tu as un rapport.

Solutionécrite

Solutionécrite

L'échelle indique que chaque 87,5 cm en réalité serait 1 cm sur le dessin. 3,5 m est équivalent à 350 cm. Si on divise 350 cm par 87,5 on trouve qu'il prendrait 4 cm pour représenter les murs sur le dessin.

1 dm2 est équivalent à 0,01 m2

La virgule est déplacée 2 places vers la gauche, 1 fois.

Quand tu utilises un rapport sous la forme a : b, il est crucial qu’a et b soient exprimés dans la même unité. 5:460 et 1:460 ne fonctionnent pas comme échelle puisqu’il utilise seulement le nombre de carrés ou la longueur d'un carré, et non la longueur de l'image. Pour calculer l'échelle, tu dois compter le nombre de carrés nécessaire pour dessiner la voiture pour trouver la longueur du dessin pour comparer avec la longueur d'auto en réalité.

Solutionécrite

1 km est équivalent à 1 000 m

La virgule est déplacée 1 place vers la droite, 3 fois.

1) Identifie l'échelle 1 : 500 2) Utilise une règle pour mesurer les dimensions Longueur : 6,5 cm = 0,065 mLargeur : 4,0 cm = 0,040 m (C'est plus facile à travailler avec les mètres.) 3) Calcule l'aire sur le dessin Ad = Lℓ = (0,065)(0,040) = 0,0026 m2 4) Applique le facteur d'échelle pour calculer l'aire réelle. Aire réelle = Aire sur le dessin × (Facteur d’échelle)2 Ar = Ad x (facteur d'échelle)2 Ar = (0,0026 m2) x 5002 Ar = (0,0026 m2) x 250 000 Ar = 650 m2