2 Traitement des données

Signification des icônes

1. Activités cognitives transversales

1. Classer, organiser

2. Conceptualiser, définir

3. Verbaliser, communiquer

4. Induire, déduire, anticiper

5. Représenter, traduire

6. Relier, structurer, synthétiser

Introduction

Raisonner, c'est établir des liens entre des objets et structurer l'environnement qui nous entoure en le catégorisant. Les activités cognitives présentées ici ne sont pas spécifiques aux mathématiques. Elles sont au coeur de toute démarche scientifique, mais sont particulièrement sollicitées en mathématiques. Le domaine étudié ici se prête particulièrement et naturellement à l'interdisciplinarité. Pour organiser son environnement, plusieurs démarches seront nécessaires : - Classer dans des ensembles selon un ou plissures critères - Sérier, ranger dans l'ordre croissant ou décroissant des objets - Organiser une suite d'actions - Passer de l'exemple au cas général, conceptualiser, définir - Verbaliser, communiquer ses observations ou son raisonnement - Induire, déduire, organiser ses idées dans un schéma logique - Anticiper, disposer d'outils pour agir efficacement - Représenter, traduire ses idées sous diverses formes pour faire ressortir les idées essentielles - Relier, structurer, synthétiser les informations afin qu'elles forment un tout cohérent. Ces démarches sont essentielles au développement cognitif de tout citoyen et ont donc leur importance à tout âge pour développer une pensée critique autonome.

Visées transversales

VISEES TRANSVERSALES

Se connaître et s'ouvrir aux autresPrendre conscience de l'espacePrendre conscience du temps
Apprendre à apprendreObserver, comparer, catégoriser, ordonnerRaisonner, conceptualiser, abstraire, modéliserReprésenter, schématiserPrendre conscience des apprentissages : pertinence, raisons des choix, communicationMaîtriser et mobiliser des outils numériques
Développer une pensée critique complexeTrouver, traiter et évaluer des sources d'informations et organiser ces informations
Développer la créativité et l'esprit d'entreprendreDécouvrir différentes techniques et stratégies pour résoudre des tâches.
Découvrir le monde scolaire, la diversité des filières et des options qui s'ouvrent après le tronc commun et mieux connaître le monde des activités professionnellesDécouvrir différents milieux professionnels et leur diversité, et être sensibilisé tant aux contributions sociétales qu'aux enjeux éthiques liés à ces divers mondes socioprofessionnels.Découvrir différentes options et filières de formation ultérieure qui s'ouvrent en fin de tronc communRelier des sphères professionnelles et des métiers à des parcours d'étude et de formationRelier des savoirs, savoir-faire ou compétences disciplinaires ou transversaux, travaillés en classe, avec des filières et des options qui s'ouvrent après le tronc commun et avec des sphères professionnelles des métiers.Devenir des consommateurs capables de faire des choix éclairés, responsables et éthiques.
Développer des projets personnels et professionnels : anticiper et poser des choix.Transformer des connaissances et des observations en choix et en actions qui les concrétisent.Développer divers scénarios de leur avenir et être capable de s'y projeter.Etre sensibilisé au caractère non définitif de ses choix et aux perspectives offertes par l'apprentissage tout au long de la vie, notamment dans le contexte des évolutions professionnellesArgumenter ses choix.

Quelles activités liées à la logique, aux ensembles, à des tableaux ou graphiques, ou encore à la résolution de problème mathématique avez-vous déjà pu observer sur le terrain ?

Eléments essentiels d’un classementOrganiser les concepts est une activité importante du scientifique en général, et du mathématicien en particulier. Dans des situations simples, il suffit parfois de trier, c’est-à-dire de distinguer deux catégories d’objets : ceux qui possèdent une propriété et ceux qui ne la possèdent pas. Quelques exemples à travers la scolarité : les blocs jaunes et les blocs “non jaunes”, les triangles et les “non triangles”, les polygones et les “non polygones”, les solides convexes et les solides non convexes, … Bien souvent, il faudra pousser la distinction plus loin, et classer en utilisant un critère. Cette fois, on obtient plusieurs catégories bien distinctes, n’ayant aucun élément en commun. Ceci doit pouvoir se faire sans ambiguïté : le critère doit être objectif. Quelques exemples : classer les blocs selon leur couleur (chacun n’en ayant qu’une), des objets selon leur nature, des animaux selon le nombre de pattes, des polygones selon le nombre de côtés; des triangles selon la nature de leurs angles, des polyèdres selon le nombre de faces, … Si un critère ne suffit pas, on poursuit le classement à l’aide d’un deuxième critère. Ce classement peut facilement se représenter à l’aide d’un tableau dont toutes les cases sont remplies, que l’on retrouve dès l’école maternelle dans des tableaux à double entrée à remplir complètement en utilisant deux critères, les plus fréquents étant la nature de l’objet, sa couleur et le nombre d’objets. C’est ce que l’on essaye de faire parfois chez soi quand on décide d’organiser son environnement, de “mettre de l’ordre” et de “ranger”, termes qui prennent malheureusement un autre sens en mathématique, parce qu’ils utilisent en plus une notion d’ordre. En effet, il existe un autre type de classement, où les catégories s’emboîtent les unes dans les autres : il s’agit ici d’un classement par inclusion, plus difficile à comprendre. On l’appelle aussi sériation. Quelques exemples : Parmi les quadrilatères, on trouve les trapèzes. Parmi ceux-ci, on a les parallélogrammes, qui sont des “super trapèzes” ayant une propriété supplémentaire, celle d’avoir deux paires de côtés parallèles. De même, on peut voir les carrés comme des “super rectangles”, les triangles équilatéraux comme des “super triangles isocèles”, les rectangles comme des super “trapèzes isocèles”. Ceci est perturbant pour de nombreux enfants, pour qui le concept d’inclusion n’est pas intuitif, et parfois malheureusement aussi pour leurs enseignants. Cette notion d’inclusion est souvent implicite et traduite par les mathématiciens par “Qui peut le plus peut le moins”. Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, on prouve d’abord qu’il est isocèle. Si on a un rectangle, il suffira de prouver par exemple que deux côtés consécutifs sont égaux pour pouvoir dire que c’est un carré. Organiser en mathématiqueStructurer et organiser font partie des activités quotidiennes en mathématique, mais aussi dans notre vie quotidienne : préparer une recette, effectuer un nouveau trajet, élaborer des projets, planifier les prochaines vacances, réaliser un bricolage ou une oeuvre artistique, utiliser diverses technologies, résoudre certains casse-têtes sont autant de situations nécessitant d’organiser des actions, de façon plus ou moins consciente. AlgorithmeUn algorithme, c’est une suite d’opérations qui permettent de résoudre un certain type de problèmes. Expliquer à quelqu’un comment résoudre un problème nous fait prendre conscience des différentes étapes de la résolution de celui-ci, que ce soit pour décrire comment préparer une recette, résoudre un problème technique, ou réaliser un origami. Pour être efficace, nous devons donner des instructions à la fois courtes, claires, précises, et bien ordonnées, concevoir un algorithme. Jeux et algorithmesDe nombreux problèmes mathématiques consistent à trouver comment passer d’une situation à une autre, et donc à chercher un algorithme. Dans de nombreux jeux, il est possible de trouver une solution à l’aide de manipulations. En voici quelques exemples :

Des jeux de transvasement ou de déplacement de verres (Par exemple, on a 6 verres alignés, les trois premiers sont remplis et les trois autres sont vides. En une seule action, on doit alterner les verres pleins et les verres vides).
Des jeux de sauts, de grenouilles ou autre (Par exemple, on a 7 cases alignées, les trois premières sont occupées par des lapins blancs, la case milieu est libre, et les trois dernières sont occupées par les lapins bruns. On doit inverser les positions des lapins en un minimum de mouvements, sachant qu’un lapin peut soir se déplacer d’une case, soit sauter au-dessus d’un lapin pour arriver sur une case libre). Le plus célèbre est sans doute le jeu de solitaire, où on place 32 billes en croix, en laissant libre la case centrale, et où chaque bille se déplace en sautant au-dessus d’une autre qui est alors retirée du plateau de jeu, l’objectif étant de rester avec le moins de billes possible, si possible une.
Des problème d’échange de deux cavaliers noirs et deux cavaliers blancs sur un échiquier, 3 x 3 (explications par MicMaths)

La programmationL’étape suivante consiste non plus à effectuer l’action soi-même, mais à programmer un robot à l’aide de commandes prédéfinies, en parlant son langage, c’est-à-dire en utilisant des actions spécifiques : avancer, tourner, ….. Il existe à l’heure actuelle énormément de ressources gratuites en ligne traitant de programmation. A l’heure actuelle, Scratch et Python semblent s’imposer, sans oublier l’importance toujours plus grande de l’impression en 3 dimensions. En fonction de vos souhaits, vous trouverez plusieurs cours sur https://studio.code.org/courses, ou sur https://www.fondation-lamap.org/fr/123codez ou encore https://www.codenplay.be. Un panel d’activités est proposé sur https://pixees.fr/quarante-activites-pour-la-quarantaine/

Depuis la maternelle, toutes les situations qui nécessitent de mettre des objets en relation sont intéressantes, en n'oubliant pas de faire verbaliser et plus tard de faire représenter la situation. Ces situations seront d'autant plus intéressantes qu'elles seront ouvertes, ludiques ou proches de la vie quotidienne et de l'environnement de l'enfant. En mathématique, les critères utilisés seront les plus objectifs possible, et non liés à l'affectivité et si possible non liés au genre (éviter les jouets "pour filles" et "pour garçons" !!!) Dans cet esprit, le matériel utilisé devra posséder des propriétés ne prêtant pas à discussion, au moins pour les plus jeunes : couleur non ambigüe, propriétés des figures géométriques clairement identifiables. Quelques idées d’activités de classement à distance

Pour les plus jeunes, ranger des objets (jouets, vêtements, objets de couleurs différentes, …) en devant progressivement trouver un critère sera déjà une activité intéressante.
Demander de vérifier si un jeu de cartes est complet et de repérer les cartes manquantes demandera à l’enfant d’organiser les cartes. Cela peut être “Trouver la carte manquante”.
Le jeu “Set” demande de trouver des ensembles de 3 cartes qui sont soit “toutes pareilles” soit “toutes différentes” pour les différents critères. Chaque jour, un défi en ligne est proposé sur le site https://www.setgame.com/set/puzzle et il s’agit de trouver toutes les solutions possibles.
Pour en savoir plus sur les classements en mathématique et en biologie, avec une approche plus interdisciplinaire, je vous propose un petit document en ligne http://jeuxmath.be/wp-content/uploads/2012/03/APPROCHES-INTERDISCIPLINAIRES05.pdf
Avec six formes différentes, construire les fractions suivantes : 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12 et les placer dans un tableau à double entrée. Les 36 pièces construites peuvent ensuite servir pour un jeu de bataille ou un jeu de familles. Il y a plein d’autres jeux à inventer avec ce matériel !
A l’aide de 6 allumettes de même grandeur placées sans superposition verticalement ou horizontalement, on construit des lignes continues différentes. Les trouver toutes et proposer une façon de les classer. Ceci pourrait être un sujet de recherche intéressant.

Quelques idées d’activités d'organisation, à différents niveaux

Pour les plus jeunes, répéter un rythme, des gestes, une succession de 2, 3 ou 4 couleurs est une première idée de la notion d’algorithme, répétitif ici. On peut aussi utiliser des legos, des perles, et pourquoi pas la décoration d’un plat.
Appliquer ou décrire une recette, un trajet (par exemple pour une chasse au trésor).
Jouer au robot (toujours pour une chasse au trésor, en réel ou sur un quadrillage), se familiariser avec des robots tels que Bee Bot (application sur tablette, ou en ligne), Run Marco (application sur tablette) sont des introductions dynamiques à la programmation.
Faire expliquer en étapes simples des manipulations technologiques sur la tablette, la TV, le téléphone, l’ordinateur.
Face à un projet d’un enfant, ou à une tâche complexe demandée pour l’école, déterminer les actions à effectuer (sous-tâches) et les organiser dans un certain ordre.
Résoudre le problème des tours de Hanoï est un défi particulièrement intéressant à de nombreux niveaux et appartenant à la culture mathématique. Pour les plus jeunes, n’utiliser que 3 ou 4 disques, à déplacer un à la fois, en ne pouvant pas poser le disque sur un disque plus petit. Progressivement, utiliser plus de tours pour arriver au défi classique, avec 8 tours, qui peut se résoudre à l’aide d’un algorithme pour effectuer le moins de mouvements possible. Cet algorithme est récursif, c’est-à-dire que les actions de bases se répètent à des niveaux différents.
S’initier au langage Scratch, accessible en ligne, par exemple avec des vidéos.
Découvrir Python, l’un des langages de programmation les plus utilisés à l’heure actuelle, par exemple avec des vidéos.

Voir https://www.jeuxmath.be/fiches-des-jeux/logique/

Les premières activités cognitives sont particulièrement interdisciplinaires : toutes les situations de la vie de la classe peuvent donner lieu à une réflexion.

Représenter, traduire : tableaux et graphiquesIntroductionUne particularité des mathématiques est la nécessité de pouvoir présenter les situations rencontrées sous plusieurs formes différentes : construction géométrique, tableau, graphique, formules et symboles, texte. Il est important de maîtriser ces différents langages pour pouvoir présenter les informations ou la situation sous la forme la plus efficace pour avoir une vision globale de ce que l’on observe, analyse ou crée, et pour communiquer des résultats de façon concise et facilement compréhensible. En tant que citoyen, il est important d’avoir l’esprit suffisamment critique pour repérer les erreurs ou ne pas se laisser piéger par les apparences des nombreux graphiques qui nous sont proposés au quotidien. Une première étape, les tableauxPour les plus jeunes, bien des situations de la vie quotidienne sont l’occasion de lire des tableaux, comme par exemple les grilles de programmes de la télé, d’en utiliser comme les plannings et calendriers, ou d’en écrire, comme par exemple le comptage des points dans un jeu ou l’horaire hebdomadaire de chacun. Pour les plus grands, l’utilisation d’un tableur comme Excel, Google Sheet ou Numbers sont de belles occasion de se familiariser avec l’outil, avec en prolongement la présentation de données sous la forme de graphique, en testant les différentes présentations. Les graphiques Une première étape est de pouvoir se repérer dans un quadrillage, et de prendre conscience des deux axes, en général horizontal et vertical. Très vite, on ordonne les deux informations en indiquant horizontalement la première et verticalement la deuxième. Les graphiques illustrent un lien entre les éléments de deux ensembles :

une température ou un relevé d’autres données en fonction du temps (heure, date, …) avec une représentation sous forme de points ou de barres verticales, où le temps sera indiqué horizontalement.
une caractéristique en fonction de l’âge ou pour chaque membre d’une famille avec une représentation sous forme de barres verticales,
une répartition d’un total entre plusieurs personnes ou catégories, avec une représentation en secteurs sur un disque ou “camembert” (si on ajoute un effet “3D”), et souvent l’utilisation de pourcentages,
l’évolution d’une donnée en fonction d’une autre avec une représentation sous forme de courbe lorsque les points sont très proches, quand on cherche à voir une évolution ou que le lien peut s’exprimer par une formule liant les deux données, exprimée par un lien entre deux variables désignées le plus souvent par des lettres,
…

Prospectus, articles de journaux, informations télévisées ou sur internet sont autant d’exemples de graphiques à analyser de façon critique :

En cas de données numériques, y a-t-il une coupure ou l’écart entre les nombres est-il toujours le même ?
A-t-on voulu “tasser” les données en choisissant la gradation verticale, ou les faire apparaître relativement plus grandes en démarrant les indications à un nombre donné ?
S’il s’agit de répartition, les pourcentages correspondent-ils bien à ce que l’on voit ? N’y a-t-il pas de biais visuel ? (effet faisant paraître certaines catégories comme plus petites ou plus grandes que ce qu’elles sont ?)
La gradation verticale est-elle classique (les écarts représentent toujours la même chose) ou logarithmique (la gradation sur l’axe verticale est multipliée à chaque fois par un même facteur > 1) comme pour l’échelle de Richter qui mesure la magnitude des tremblements de terre ?

La synthèse permet de situer l'activité proposée dans un contexte plus large, en la reliant à ce qui a déjà été fait, mais aussi, en essayant d'aider à anticiper des utilisations des concepts abordés.

Conceptualiser Introduction Dès son plus jeune âge, c’est grâce à ses expériences que l’enfant attribue un sens aux mots. Par exemple, c’est en ayant vu un grand nombre de chiens, mais aussi en rencontrant d’autres animaux que l’enfant va progressivement se faire une idée de ce qu’est un chien, en repérant des caractéristiques essentielles et en les affinant au fur et à mesure. De même, en mathématique, c’est en le rencontrant de multiples situations que l’enfant va donner du sens au concept, et va donc pouvoir abstraire l’objet mathématique observé. Quelques exemples mathématiquesC’est en l’utilisant dans plein de situations différentes que le jeune enfant va progressivement pouvoir se faire une image mentale de la notion de nombre, et la vie quotidienne en donne plein d’occasions, ne fût-ce que lors des repas. Il en est de même pour les objets géométriques (triangles, rectangles, angles droits, droites, droites parallèles, droites perpendiculaires, cubes, pyramides, …), avec la difficulté supplémentaire que la position de ces objets n’a pas d’importance en mathématique (un rectangle, même incliné reste un rectangle, un triangle, même posé sur sa pointe reste un triangle), et que ces objets nécessitent plus d’abstraction (on ne peut pas montrer une droite, juste l’imaginer à partir d’un segment, certains exemples de cubes comme les dés sont souvent arrondis pour mieux rouler, on “oubliera” parfois certaines caractéristiques pour en retenir d’autres, plus intéressantes mathématiquement). Pour les fractions également, il est important de les aborder dans des contextes différents : fractions d’objets différents (tartes, mais aussi feuilles de papier, carrés,…), fractions de nombres, rapports entre des formes géométriques ou entre des parts (gâteau, oeufs en chocolat). L’abstraction, un parcours en plusieurs étapesLes expériences sont essentielles, mais ne suffisent cependant pas pour que l’enfant retienne les éléments essentiels d’un concept : il faudra les exprimer, les verbaliser. Cela peut se faire en demandant à l’enfant pourquoi c’est telle chose, comment il l’a reconnue (Par exemple 5, un triangle, un quart). Dans sa réponse, on doit trouver des propriétés essentielles. Souvent, en expliquant, on trouve le besoin de schématiser, de dessiner, de représenter ce qu’on a vu. Cette étape est une aide pour dégager l’essentiel. En effet, nous ne gardons que quelques éléments essentiels (nombre, forme) et négligeons les autres (couleur, texture ou nature des objets) : nous mettons des “lunettes mathématiques”, nous modélisons. Pour aider l’enfant à abstraire, nous pouvons lui demander de retrouver autour de lui d’autres représentations du même concept (Dans nos exemples : nombre 5, triangle, quart). Enfin, pour savoir s’il a compris ce dont on a parlé, le lui faire dessiner, reproduire avec du matériel simple (legos, pailles, billes, ….) imaginer d’autres situations où on retrouve le même concept. Ce qui apparaître comme un jeu aidera à voir si l’enfant a compris le concept. La définitionEléments essentiels d’une définitionLa définition d’un concept est une équivalence : il s’agit de donner les caractéristiques essentielles du concept, permettant de l’identifier, pas plus, et pas moins. Il faut donc vérifier que chaque caractéristique est bien indispensable, et que toutes les caractéristiques renvoient au concept voulu et pas à autre chose. Cela demande aussi de se poser des questions sur les “cas limites”

Un carré est-il un rectangle ?
Un triangle équilatéral est-il un triangle isocèle ?
Un rectangle est-il un trapèze isocèle ?
Un trapèze qui a deux côtés consécutifs isométriques est-il isocèle ?
0 est-il pair ou impair ?
0 est positif ou négatif ?
1 est-il un nombre premier ?

Propriétés liées à un conceptUne fois le concept défini, on peut s’intéresser à ses propriétés, que l’on peut traduire par exemple sous forme de carte mentale. Les propriétés pourront servir d’outils lorsqu’on retrouvera le concept dans d’autres contextes.

Verbaliser ou faire verbaliser a plusieurs objectifs : fixer le vocabulaire, les liens, repérer ce qui n'a pas bien été compris le plus tôt possible. C'est aussi passer progressivement à l'abstraction, en se dégageant de l'action et de la manipulation, ce qui nécessite une prise de distance, un recul par rapport a ce qui a été fait.

La déduction et l’inductionDe quoi s’agit-il ?La déduction consiste à utiliser des informations pour en tirer une conclusion dont on est sûr qu’elle est vraie. Cette conclusion peut être évidente, ou demander un raisonnement plus élaboré. Par exemple, si un code secret est constitué de 4 chiffres différents allant de 1 à 4, si je connais déjà 3 chiffres (par exemple 14_2), je peux en déduire directement que le chiffre manquant _ est 3. L’induction consiste à utiliser des informations pour en tirer une conclusion dont on est pas sûr qu’elle soit vraie, mais qui est possible. Cette conclusion peut à ce stade être vraie ou fausse. En mathématique, on parle alors de conjecture. Voici un exemple, très (trop ?) simple, avec le même type de code secret, si je connais les deux premiers chiffres (par exemple 32_ _), le code peut être 3214. Je peux tester cette réponse, qui sera soit vraie, soit fausse (si le code est 3241). Utilisations en mathématiqueEn mathématique, une théorie se construit à partir de termes “naïfs”, non définis (il faut bien partir de quelque chose) et d’axiomes, c’est-à-dire de règles que l’on va considérer comme vrais et qui seront le point de départ de la théorie. A partir de cela, on va se poser des questions et établir des conjectures (en utilisant l’induction), que l’on va essayer de démontrer à partir de ce que l’on connaît (les axiomes). Une fois que l’on a prouvé par un raisonnement (une démonstration) que la conjecture est vraie (en utilisant donc la déduction), elle va prendre le nom de théorème (ou propriété) et pourra servir de base pour se poser de nouvelles questions. Les mathématiques utilisent donc à la fois l’induction et la déduction, qui ont chacune leur importance à des moments différents. Les projets de recherche en mathématique permettent aux élèves de découvrir ces deux aspects, alors que bien souvent on montre aux élèves une théorie déjà établie sans leur laisser assez de temps pour se poser des questions, établir des conjectures et essayer de les prouver, ou montrer qu’elles sont fausses en montrant une situation qui les contredit (cette situation est ce qu’on appelle un contrexemple). L’anticipationUne compétence essentielleDès son plus jeune âge, l’enfant explore le monde qui l’entoure. Les jeux et les activités variées lui permettent de manipuler des objets. C’est ce qui lui manque lorsqu’on lui propose trop d’écrans : télévision, ordinateurs et tablettes lui imposent un monde virtuel sans lui donner l’occasion de s’approprier la réalité. En mathématique, la manipulation d’objets concrets est une étape indispensable pour construire les premiers concepts. Cette étape ne suffit cependant pas : c’est en posant des questions à l’enfant, en lui faisant dire ce qu’il fait qu’on va l’aider à en prendre conscience et que l’on va enrichir son vocabulaire en lui donnant des mots qui vont lui permettre de mieux exprimer ses idées et de les structurer. A ce stade, l’enfant constate souvent des faits. Le rôle de l’adulte est de lui faire poursuivre sa pensée, avec des phrases du type “Et que se passerait-il si .... ?”. Progressivement, l’enfant est alors amené à passer de la manipulation à la conceptualisation, à abstraire, tout en ayant encore des objets pour l’aider en cas de besoin. Cette étape est l’anticipation. C’est lorsqu’il peut répondre à des questions correctement, sans manipuler, qu’il a acquis le concept mis en jeu. De l’anticipation à la stratégieIl est possible de s’entraîner à anticiper, en apprenant à se poser des questions. Les contextes peuvent être extrêmement variés. Cela peut être une activité à part entière à proposer aux enfants : “Imaginer des questions “mathématiques” à partir de son environnement“… Et essayer d’y répondre ! Si cela vous semble difficile, démarrez par des questions “Combien de ….” et continuez avec “Et que se passerait-il si …?“. Il y en a évidemment plein d’autres !! Une autre facette de l’anticipation est l’anticipation sur des actions. Un contexte particulièrement adapté est celui des jeux de stratégie. Plusieurs d’entre eux sont expliqués dans le document Jeux logiques de ce site et dans le document Des jeux pour s’orienter dans le plan et dans l’espace. Dans le même ordre d’idées, la page Chercher, c’est aussi un jeu détaille aussi quelques jeux et quelques activités qui pourraient être un sujet intéressant à proposer pour le Prix André Parent.

Conceptualiser : quelques idées d’activités, à différents niveaux

Lorsque vous utilisez un terme mathématique abordable pour l’enfant, lui demander s’il sait ce que c’est, s’il peut le dessiner, s’il peut en retrouver d’autres dans la pièce.
Jouer à mettre des “lunettes mathématiques” et à observer soit son environnement, soit une image, soit une photo ou encore une oeuvre artistique. Si c’est trop vague, on peut spécifier les lunettes : lunettes numériques (liées au nombre) ou lunettes géométriques ou encore lunettes de rapport de grandeurs.
Fixer le mot mathématique du jour ou créer un jeu de cartes avec des mots mathématiques (exemple 5, rectangle, quart, cube, cercle). On a un mot, et soit librement, soit en un temps donné (avec un sablier par exemple), on doit trouver ou créer un maximum d’objets différents qui évoquent ce mot.
Avec ce jeu de cartes (qui peut être créé par les enfants et complété d’un jour à l’autre), faire trouver le mot soit librement, en donnant le moins de mots-clés possible, soit en le mimant ou en traçant un dessin dans le dos de ce celui qui doit trouver le mot, ou encore à l’aide d’objets (baguettes, legos, jetons, cubes, ustensiles de cuisine, matériel de récupération, …).
On peut reprendre l’idée pour des concepts mathématiques plus complexes, en se fixant les mots à utiliser, un peu à la façon du jeu Concept (Informations sur le jeu).
Jouer à relier deux concepts de la même famille (nombres, géométrie). Cette fois on a deux cartes du même type et on doit trouver une façon mathématique de passer de l’un à l’autre, ou le plus grand nombre possible. (Par exemple avec 5 et 12, on peut ajouter 7, ou alors multiplier par deux puis ajouter deux, …. En géométrie, avec rectangle et cube, on peut transformer le rectangle en carré en fixant une longueur de côté, puis reproduire ce carré en 6 exemplaires et les coller pour faire un développement de cube. Ceci pourrait être fait ensuite sous la forme d’une vidéo.
En géométrie, reproduire des formes géométriques (par exemple un trapèze rectangle) à l’aide de Geogebra (en ligne) à partir de leurs propriétés. Si en bougeant les points, on garde la même forme, c’est bon.

Définir : Quelques idées d’activités à distance

Pour les plus jeunes, reconnaître des objets (figures géométriques par exemple) mathématiques autour de soi, les dessiner et dire comment on les a reconnus (début de définition)
Demander de définir
1. rectangle,
2. triangle isocèle
3. trapèze isocèle
4. pyramide
Construire des cartes mentales pour des concepts déjà étudiés en classe.
Reconnaître des figures géométriques et avancer le plus loin possible dans le jeu en ligne http://mathix.org/linux/archives/9434
Imaginer un classement des pentagones ou des hexagones à la façon de celui sur les quadrilatères, seul ou à plusieurs. Ceci pourrait être un de recherche sujet intéressant

A venir

Induire / Déduire : quelques activités à différents niveauxDe nombreux jeux utilisent, pour les niveaux les plus simples la déduction, et progressivement l’induction.

Des jeux comme Bazar bizarre, Pippo, Figurix, Cluedo sont basés sur la déduction.
Des jeux comme Chocolate Fix, Métaformes, Sudoku, Démineur sont basés sur la déduction, mais les raisonnements plus complexes nécessitent de faire des hypothèses, et font donc appel à l’induction.
Des jeux plus complexes comme le Master Mind (appelé aussi Guess) et d’autres jeux rassemblés sous l’étiquette Puzzles de Simon Tatham (téléchargeables gratuitement sur Smartphone ou tablettes), avec possibilité de jouer en ligne (en anglais) sur https://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/puzzles/
D’autres jeux permettent de travailler l’induction et la recherche de propriétés essentielles : Concept, Code Names, et récemment Association 10 dés. Si vous n’avez pas ces jeux, il est possible de jouer à plusieurs avec les règles suivantes. Faire deviner un mot (soit librement choisi, soit d’une liste obligatoire) à l’aide du moins de mots possibles.

Anticipation : quelques idées d’activités à distanceC’est le moment de (re)découvrir quelques jeux classiques aves les plus jeunes.

Le jeu de Puissance 4 à deux ou à trois dimensions (expliqué dans Des jeux pour s’orienter dans le plan et dans l’espace).
Le Morpion, où il faut aligner trois symboles identiques dans un carré 3 x 3, chacun à son tour écrivant son symbole dans une case.
La Mérelle (repris dans les Jeux logiques )
Othello (repris dans les Jeux logiques )
Abalone (repris dans les Jeux logiques )
Awélé (repris dans les Jeux logiques )
Enfin, je vous invite à (re)découvrir le jeu de Hex (repris dans les Jeux logiques ). Des plateaux à imprimer de différents formats sont proposés sur ce site, et Mickaël Launay (alias Micmaths) vous le fait découvrir et vous donne quelques pistes de stratégie en vidéo sur YouTube. Profitez-en pour découvrir et faire découvrir ses autres vidéos !

Quelques idées d’activités, à différents niveaux

Elaborer, utiliser puis faire écrire des tableaux lorsque l’occasion se présente dans la vie quotidienne : calendrier, répartition des tâches sur la semaine, planning de la semaine, comptage de points lors d’un jeu, …
Faire un relevé de données (jeux de société, recettes de cuisine, destinations de voyage et prix du trajet, températures, …) et profiter de cette occasion pour faire utiliser un tableau dans Word ou Powerpoint, un tableur comme Excel.
Lors d’une recherche d’informations sur Internet ou lorsqu’ils se présentent, analyser les graphiques proposés avec les enfants : ce qu’ils disent, les questions que l’on peut se poser, éventuellement comment répondre à ces questions. Cela peut être l’occasion de redécouvrir les carnets reprenant taille ou poids en fonction de l’âge depuis la naissance, d’essayer de comprendre les différentes informations qui y figurent.
Proposer des données (stock de nourriture ou autre, bulletin, …) à recopier dans un tableau, comparer les diverses représentations proposées et choisir le(s) graphique(s) le(s) plus approprié(s).
Chercher les erreurs, comme par exemple sur https://mathix.org/linux/archives/12835 ou encore sur https://mathix.org/linux/archives/13577
Construire des graphiques en utilisant GeoGebra, découvrir l’application Desmos (existe aussi sur Google Play) et une foule d’activités.

FMTT Concevoir un logigramme (P5, S1-2-3) Traduire un logigramme en langage de programmation, le tester et le débogguer (P5-6, S1-2) Trier, avec l'aide de l'enseignant, dans leur cadre de production, les déchets recyclables, compostables, récupérables (P1)

Etablir déjà une liste de mots de vocabulaire important, avec leur signification dans la vie quotidienne et/ou en mathématique.

2. Logique, ensembles et relations

1. Notions de logique

2. Ensembles : notions fondamentales

3. Relations

Prolongement : robotique

- Qu'est-ce qu'un matériel multicritère ? - Quelles sont les caractéristiques des expressions utilisées en mathématique ? - Qu'est-ce qu'un connecteur logique ? un quantificateur ? - Comment construire la négation d'une proposition mathématique - Quand et comment utiliser le concept d'ensemble ? De quoi s'agit-il ? - Etablir des liens est crucial en mathématique, mais quels liens, et comment les représenter ?

Le matériel possible est particulièrement varié : - objets divers issus de la vie quotidienne - matériel ou jeu multicritère (Pippo, Chocolaté Fix, Wingo Dingo, Set,...) - jeux de relations (Bazar bizarre, ...) - jeux d'organisation (Athena, ...) - jeux de codage et déplacement (Bee Bot, Code Master, ...) - jeux de stratégie (Morpion, Puissance 4, Hex, Otrio, ...)

A ne pas manquer, les jeux logiques sur https://www.jeuxmath.be/fiches-des-jeux/logique/

Partir de situations concrètes issues du quotidien et verbaliser différentes actions. Utiliser des contextes ludiques pour retrouver ces situations.

Des jeux comme Set avec la possibilité de jouer en ligne : https://www.setgame.com/set/puzzle Tous les robots à programmer !

Trier, avec l'aide de l'enseignant, dans leur cadre de production, les déchets recyclables, compostables, récupérables (P1-2-3-4), FMTT Comparer des solides et des liquides pour dégager des similitudes ou des différences (Sciences, P2) Classer des matières en matières solides ou matières liquides et justifier le choix (Sciences, P2) Choisir des critères d'observation et recueillir des informations en lien avec les étapes de croissance d'une plante à fleurs (Sciences, P3) Utiliser différents critères pour classer les êtres vivants et identifier ceux retenus pour la classification (Sciences, P6) Organiser des données numériques afin de faciliter leur gestion (FMTT, S1) Concevoir un logigramme (FMTT, P5, S1-2-3) Traduire un logigramme en langage de programmation, le tester, le débogguer, l'optimiser (FMTT, S2) Interroger / analyser le potentiel d'un algorithme (IA, objets connectés (IoT) (FMTT, S3)

Un matériel multicritère est un ensemble d'objets construits à l'aide de plusieurs critères (par exemple forme, couleur, nombre, grandeur), chacun comprenant plusieurs propriétés (pour les formes carré, triangle, disque, ... ; pour la couleur : bleu, rouge, vert, ..., pour le nombre 21, 2, 3, ...). Tous les cas possibles sont repris une seule fois. Une proposition logique est tout objet auquel on peut attribuer une et une seule valeur logique qui est soit vrai (noté 1) soit faux (noté 0). Une proposition logique ne peut être à la fois vraie et fausse (principe de non contradiction). La valeur logique d'une proposition ne change pas (principe d'identité) Tout proposition logique ne peut avoir comme valeur logique que 0 ou 1, il n'y a pas de troisième possibilité (principe du tiers exclu). Quelques connecteurs logiques : non (négation), et, ou inclusif (qui signifie et/ou), ou exclusif (l'un ou l'autre, mais pas les deux), implication, équivalence. Les quantificateurs sont des mots qui expriment des quantités. (nombres, au moins ..., au plus ...., un au moins, ..., tous, aucun, ...). En mathématique, un sous-entend un au moins, sinon on dira "exactement un" ou "un seul". Un algorithme (répétitif ou récursif) est une suite d'instructions, est est vu comme un procédé permettant d'effectuer une action donnée.

Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. Un élément appartient ou non à un ensemble donné (principe du tiers exclu), un ensemble comprend ou non un élément. Tout objet est unique. Une représentation privilégiée pour un ensemble est un diagramme de Venn (corde fermée) à l'intérieur duquel on note les éléments (en ajoutant un point pour préciser qu'ils appartiennent bien à l'ensemble), mais on utilise aussi des arbres ou des tableaux. Selon les contextes, un objet peut jouer le rôle d'ensemble ou d'élément, mais jamais en même temps. Il existe un seul ensemble sans élément : l'ensemble vide. Il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles. Le cardinal d'un ensemble est le nombre de ses éléments. Un ensemble peut être défini en extension (en citant chacun de ses éléments) ou en compréhension (en citant une propriété vérifiée (uniquement) par les éléments de l'ensemble). Deux ensembles peuvent être : - égaux, s'ils comprennent les mêmes éléments - distincts, s'ils diffèrent par au moins un élément - disjoints s'ils n'ont aucun élément en commun - équipotents, s'ils ont le même cardinal Un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tout élément de A est un élément de B. Une partition d'un ensemble est un partage de cet ensemble en sous-ensembles disjoints, non vides, et dont la réunion est l'ensemble de départ. Cette notion se cache derrière chaque classement. Enfin, il est possible de "combiner" des ensembles, en utilisant des opérations : l'union (qui correspond au ou inclusif vu en logique), l'intersection (qui correspond au et vu en logique), et la différence (non symétrique A \ B ou symétrique). Ces opérations possèdent pour certaines des propriétés similaires à celles des opérations sur les nombres : commutativité, associativité, existence d'un neutre, existence d'un absorbant.

En mathématique, repérer les liens entre des objets ou des situations est essentiel. Souvent, on est amené à établir un lien, une relation entre les objets de deux ensembles. On peut alors citer un ensemble de couples, qui sont des éléments de la relation, et les représenter soit de façon ensembliste, à l'aide d'un diagramme fléché (sagittal), soit par un. diagramme cartésien, qui préfigure la représentation de fonctions. Lorsqu'on s'intéresse à une relation entre objets d'un même ensemble, plusieurs propriétés sont privilégiées en mathématique : le relation peut être - réflexive (chaque élément est en relation avec lui-même) ou antiréflexive (aucun élément n'est en relation avec lui-même) ou juste non réflexive - symétrique (on peut intervertir les deux éléments des couples de la relation) ou antisymétrique ou juste non symétrique - transitive (si on a un lien entre a et b et entre b et c, alors on a le même lien entre a et c). Une relation est une équivalence lorsqu'elle est à la fois réflexive, symétrique et transitive : on peut alors la voir comme une sorte d'égalité si on ne s'intéresse qu'à un critère précis. La notion d'équivalence est particulièrement utile au quotidien pour définir des concepts. La relation d'ordre (réflexive, antisymétrique et transitive) est celle que l'on retrouve par exemple dans les relations d'inégalité ≤ et ≥ (pour des ensembles de nombres). Lorsqu'on s'intéresse à une relation d'un ensemble A vers un ensemble B, on peut avoir plusieurs cas particuliers : - chaque élément de A est l'origine de 0 ou 1 couple : on parle alors de fonction - chaque élément de A est l'origine d'exactement un couple : on parle alors d'application (ou de transformation, si A = B) - chaque élément de A est l'origine d'exactement un couple et chaque élément de B est l'extrémité d'exactement un couple: on parle alors de bijection (ou de permutation, si A = B)

Matériel multicritère : - Observer différents jeux construits à partir d'un matériel multicritère : Set, Chocolaté Fix, Wingo Dingo, Pippo, ..... : repérer les propriétés, les critères - Avec les plus jeunes, construire des suites d'objets à une / deux différences(s), des paires d'objets n'ayant aucune propriété commune - Construire un matériel (cartes ou autre) en reprenant tous les cas possibles, une seule fois. Les connecteurs et les quantificateurs sont des outils mathématiques constamment utilisés : les repérer, les comprendre et les utiliser est essentiel en mathématique. En tant qu'enseignant, mettre l'accent sur leur compréhension dans les divers contextes où ils apparaissent est primordial pour outiller l'élève à devenir autonome. Connecteurs logiques et négation logique Construire des négations de propositions en se servant à chaque fois du sens de ce qui est dit pour construire la négation (qui doit reprendre toutes les autres situations) : en mathématique, on travaille prioritairement sur le fond. Les quantificateurs sont également constamment utilisés en mathématiques, et méritent de s'assurer de leur bonne compréhension, et ce d'autant plus qu'il y a parfois des différences avec le langage courant ("un ou un au moins ?") La construction et la compréhension d'algorithmes est essentielle à l'heure où le codage prend de plus en plus d'importance. En maternelle, se sera repérer une séquence de 2, 3, 4 objets qui se répète, pour progressivement arriver à une suite de nombres dont on cherche l'élément suivant, ou à une suite d'opérations à faire réaliser par un robot ou un programme en vue d'arriver à un résultat, dont la forme est très variée (nombre, dessin, mouvement, ...). A l'heure du numérique, cette compétence est devenue fondamentale. Evolution au cours de l'école maternelle : vers la notion d'algorithme Dans un premier stade, appelé stade figura, l'enfant crée une image avec les objets proposés (par exemple une maison avec des bâtonnets), la notion d'alternance puis d'algorithme est plus complexe. Des jeux d'alternance (exemple : rouge - bleu - rouge - bleu - .....) sont réalisables dès la classe d'accueil Pour construire un algorithme répétitif ou rythme, il faut percevoir les différences entre les objets (couleur, forme, position, ...). Ce genre d'activité oblige l'enfant à être moins égocentrique lorsqu'il doit suivre une séquence imposée, ou lui laisse une certaine créativité s'il peut établir lui-même une séquence ou un rythme à suivre. Ce type d'activité peut se retrouver dans bien des contextes ; musical, artistique, ... On considère qu'en 3e maternelle, l'enfant doit être capable de respecter un rythme, une séquence de 4 objets.

Pour les plus jeunes, les ensembles peuvent se matérialiser de bien des façons : feuilles de couleur, cerceaux, boîtes, corde fermée ou tracée à la craie. L'étiquette ou nom de l'ensemble est d'abord intuitif (couleur par exemple) puis progressivement ajoutée (nombre ou photo / dessin d'objet par exemple) La théorie des ensembles n'est pratiquement plus enseignée pour elle-même, bien qu'on en utilise de nombreux éléments. Catégoriser, classer sont des activités essentielles en mathématique. La notion de classement dans un tableau à double entrée est une façon d'aborder un classement selon deux critères, essentiel à la pensée mathématique. Lorsqu'on travaille sur les nombres et les opérations, on utilise de nombreux diagrammes, en ajoutant en général une étiquette numérique reprenant le cardinal de l'ensemble. Enfin, la notion d'arbre est une représentation utilisée dans de nombreuses disciplines, comme la biologie. Cette partie des mathématiques est totalement transversale, et essentielle, même si on a renoncé à de longs développements théoriques pour privilégier l'aspect "outil pour comprendre son environnement". La relation d'inclusion est également importante, et apparaîtra notamment dans les classements de triangles, quadrilatères, figures planes et solides en général, mais aussi dans les notions de diviseur et de multiple. Elle est également essentielle. Un classement peut s'effectuer de deux façons : soit en "découpant" l'ensemble de départ, à l'aide d'une partition, soit par inclusions successives, en utilisant de plus en plus de propriétés, comme pour les quadrilatères. Les opérations sur les ensembles seront surtout utilisées comme outils pour représenter des situations. Pour la maternelle Pour classer des objets, l’enfant perçoit d’abord une ressemblance entre des objets c’est-à-dire une propriété commune, et ensuite, il réunit tous les objets qui possèdent cette propriété (on dit qu’il classe sur base d’équivalence). Lors d’un classement, l’enfant est amené à :- Former un ou deux ensembles selon des critères choisis ou suggérés (forme, couleur,...)- Justifier l’appartenance ou la non-appartenance d’un élément à un ensemble- Représenter progressivement la situation vécue à l’aide d’outils mathématiques :diagramme, tableau, arbre. Exemples Formations d’équipes en psychomotricité Copie d’une figure donnée Trouver un objet manquant Classement de jouets en fonction de la nature, du mécanisme, de la couleur,... Classement de crayons, de bijoux en fonction de la couleur Jeu du clown, jeu des familles, « set », « wingo dingo », « Cher Augustin »,… Activités mathématiques liées aux ensembles, à la logique Jeux de psychomotricité où l’on forme des ensembles, matérialisés à l’aide d’un cerceau, d’une corde, d’un trait à la craie,...Exemples : les garçons d’un côté, les filles de l’autreles enfants qui portent des lunettesles enfants qui possèdent un collier rouge vont dans le cerceau rougeles enfants forment plusieurs trainsOn étiquettera les ensembles ainsi constitués.L’enfant jouera ainsi le rôle d’élément d’un ensemble, et pourra ainsi vivre cette notion. Formation d’ensembles, de “familles” selon des critères liés à la forme, la couleur, la taille, l’épaisseur, la matière, le nombre, ...L’institutrice apporte du matériel tiré de la vie quotidienne : perles, fruits, dînette, couvercles, crayons, biscuits, couronnes, gommettes, fleurs, ...ou blocs logiques...Elle fait décrire les objets à l’aide d’un vocabulaire correct.Elle laisse éventuellement les enfants manipuler les objets et motive leur tri, par exemple en expliquant que l’on va placer clairement ces objets dans le magasin.Elle examine ensuite avec les enfants la manière dont on va classer les objets, c’est-à-dire les critères qui seront utilisés.Les enfants trient alors les objets selon le(s) critère(s) choisis.L’institutrice propose aux enfants des boîtes (ou récipients ou endroits précis) où placer les objets triés et place une étiquette reprenant le(s) critère(s) choisi(s) (ou référent) sur la boîte.Ensuite, elle peut éventuellement jouer à l’objet caché : les enfants doivent le deviner, en posant des questions.Elle peut également demander les différences entre deux objets donnésElle ne mélange pas les objets triés à la fin de l’activité.Remarquons que chaque ensemble doit être étiqueté pour permettre à l’enfant d’avoir un référent, dessiné par l’institutrice ou par l’enfant. Rechercher deux objets identiques parmi plusieurs. Retrouver une forme dont on connaît le modèle dans un sac opaque (= jeu tactile) Après un jeu où les enfants se sont déguisés à l’aide de masques et de chapeaux, l’institutrice classe les enfants selon certains critères (exemple les masques de Zorro à gauche et les masques de princesse à droite; les chapeaux noirs devant, les autres derrière).Ensuite, les enfants déposent leur masque et leur chapeau à la place où ils se trouvaient.L’institutrice crée alors avec les enfants le tableau à double entrée correspondant.Correspondance entre deux ensembles : l’enfant doit trouver autant de ... que de points indiqués sur le dé (ou autre chose). Cet aspect sera développé plus tard.

En mathématique, chercher des liens, les représenter et les verbaliser sont des activités essentielles, à la fois pour le vocabulaire, qui s'apprend progressivement, mais aussi pour rendre l'élève autonome et critique. Visualiser des liens, sous forme de diagramme fléché, de un tableau à double entrée, puis progressivement de graphique est une activité importante, qui va de la maternelle à la représentation de fonctions. Toutes les activités mathématiques, mais aussi les activités d'organisation de la vie quotidienne et de la classe sont des occasions de dire et représenter des liens.

Vidéo RTBF : Combinatoire (P1-P2) : https://www.rtbf.be/auvio/detail_les-permutations?id=2649568 Vidéo RTBF Matériel multicritère et autres activités : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2773025 Vidéo RTBF Sudoku et autres activités : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2776252 Vidéo RTBF : Logique déductive et autres activités : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2721743

Rechercher des présentations différentes de données et les analyser. Reprendre des problèmes du CEB, du CE1D, en relevant ceux qui vous semblent les plus complexes à résoudre ou à expliquer en classe.

Propriétés, "et", "ou", négation :

Citer des / les propriétés d’un objet.
Citer des / les similitudes ou différences entre des objets.
Comprendre / construire des phrases avec et, ou, avec une négation portant sur une / des propriété(s).
Prendre / désigner un objet possédant une ou plusieurs propriété(s) données.
Construire / utiliser la « carte d’identité » d’un objet.

Ensembles, classements :

Réaliser des ensembles d’objets possédant une propriété commune.
Justifier l’appartenance ou non d’un objet à un ensemble.
Repérer un intrus et justifier.
Trier des objets selon qu’ils possèdent ou non une propriété donnée.
Déterminer un critère de classement.
Classer selon un / plusieurs critère(s).
Comprendre, utiliser, repérer une relation d’inclusion entre des ensembles.
Représenter un classement (à 1 ou plusieurs critères) à l’aide d’ensembles, de tableaux, d’arbres.
Utiliser un tableau à 1, 2 entrée(s).

Algorithmes, rythmes, suites logiques : (à continuer)

Compléter une séquence répétée de 2, 3, 4, … dessins.
Créer des algorithmes à l’aide de matériaux divers (perles, gommettes, …).
Chercher des régularités.

Combinatoire :

Trouver des / les objets possibles possédant certaines propriétés.
Rechercher une / des / les solutions possibles.

Relations, couples : (à continuer)

Mettre en relation des objets.
Associer des objets.
Comparer des objets à l’aide d’une relation d’ordre.
Utiliser les termes petit-moyen-grand.
Utiliser les termes plus petit/grand que, aussi .. que.
Effectuer des sériations de 4 objets ou plus.
Pratiquer des correspondances terme à terme.
Pouvoir déterminer la réciproque d’une relation simple.
Utiliser un tableau cartésien.

Résolution de problèmes :

Identifier puis créer un problème, une histoire mathématique pour en repérer les éléments clés
Chercher une solution à un problème par tâtonnements, essais-erreurs
Emettre une hypothèse de résolution du problème.
Poser des questions opportunes.
Utiliser des outils adaptés à une situation.
Procéder à un raisonnement structuré, l’exprimer verbalement, l'exprimer par écrit
Comprendre et comparer des procédures de résolution.
Vérifier sa solution, rectifier une erreur.

Organiser des objets selon un critère donné :

trier selon que les objets possèdent ou non une propriété (M1-M2)
classer en au moins 3 catégories des objets selon un critère (exemple couleur en M1-M2, figure géométrique en M3) en observant les différentes propriétés (vert, rouge, bleu par exemple en M1-M2, carré, disque, triangle en M3). (M1-M2)
ordonner, ranger dans l'ordre (dé)croissant maximum 3 objets (M1-M2), 5 objets (M3)

Organiser des objets réels ou représentés : - par tri selon un critère déterminé (P1), deux critères considérés successivement (P3), trois critères (P4), nombre quelconque (P5) - par classement selon maximum trois caractéristiques déterminées au sein d'un critère (P1), nombre quelconque (P2) Nommer des caractéristiques observables - d'objets réels ou représentés (M3) - commune aux objets observés (M3) Déterminer le critère (P1), les critères (P3) appliqué(s) dans l'organisation d'objets réels ou représentés (P1), dans l'organisation de données (P5) Lire un tableau et interpréter des données pour en extraire de l'information : - prélever une donnée dans un tableau à simple entrée (M1-M2), dans un tableau à double entrée utile à l'organisation de la vie de la classe en croissant les critères définis (M3) - désigner et nommer un tableau utilisé en classe (ateliers, présences, ...) (M3) - verbaliser les critères d'organisation et leur agencement dans un tableau utilisé en classe, à simple entrée et à double entrée (M3) Organiser selon un critère, selon la situation : - en triant (M1-M2) - en classant (M1-M2) - en rangeant dans l'ordre croissant ou décroissant (M1-M2) Exprimer avec ses mots l'organisation réalisée et le résultat (M1-M2), verbaliser en utilisant le terme spécifique, en nommant la caractéristique commune aux objets observés (M3) Choisir un critère à appliquer pour trier des objets réels ou représentés (P1), pour organiser ces objets : un critère à appliquer à un tri (P2), un critère et à appliquer à un classement, avec au moins 2 caractéristiques (P2), un nombre quelconque (P4). Idem pour organiser des données (P5) Calculer la moyenne arithmétique d'une variable quantitative discrète (S1) Recueillir des informations : - à partir d'une question exigeant une réponse par oui ou non (P1) - permettant un classement des données récoltées (P2) - en formulant une question (cf supra) (P4) Présenter des données Compléter le support donné pour représenter (P1-P4), représenter, (P5-P6) en fonction de la situation, un tri ou un classement, - des ensembles disjoints (P1), deux ensembles incluant une intersection (P3), trois ensembles incluant une intersection (P5) - un tableau à double entrée (P1) - un arbre dichotomique (1 critère en P2, 2 critères en P3, 3 critères en P4), un arbre multichomique (P6) - un diagramme à bandes horizontales ou verticales (P2) Relier entre elles différentes représentations d'une même situation (liste de données, tableaux de distribution, diagrammes) (S1) Présenter une liste de données à l'aide d'un diagramme en bâtonnets et à bandes (S1), diagramme circulaire (S2) Résoudre des problèmes de logique déductive, en complétant un tableau à double entrée limité à des cases : 9 en P1, 16 cases en P3, 25 cases en P5

Utiliser les termes liés à chaque organisation vécue : - prendre seulement, a, n'a pas (M3) - mettre ensemble, grouper par (M3) - ranger du plus petit au plus grand / du plus grand au plus petit (M3) Trier, a, n'a pas, classer (P1)

3. Traitement des données et problèmes

1. Langues mathématiques

2. Visualisation en mathématique

3. Notion de problème en général

4. Résolution de problèmes

5. Moyennes

- Quelles langues pour représenter les mathématiques ? - Comment visualiser une situation mathématique, visualiser des données ? - Comment représenter des liens entre des éléments, entre des ensembles ? - Quels sont les éléments clés et les types de problèmes ? - Comment résoudre un problème, de façon générale ?

Partir des erreurs trouvées dans les médias est toujours intéressant.

Utiliser le plus possible la vie quotidienne, l'organisation, l'actualité.

Lire un graphique évolutif en bâtonnets pour identifier une tendance (à la hausse, à la baisse, à la stagnation) d'un phénomène pour une durée désignée (FHGES, P5) Sur base de données chiffrées relatives à la population active et inactive, illustrer la répartition de la population belge (diagramme, graphique...) (FHGES, P5) Produire et traiter des données au moyen d'un tableur (FMTT, S1) Echelles et proportionnalité Fresque à reproduire, à agrandir Artiste : Theo Van Doesburg et formes d’aires croissantes

Un problème se caractérise par plusieurs éléments : - des informations ou données, présentées sous forme de texte, de schéma, de construction géométrique ou de graphique - une question ou injonction, liée en général à une donnée non indiquée Certains problèmes peuvent être impossibles (donnée manquantes, ou données incompatibles ou données fausses), ou avoir plusieurs, voire une infinité de solutions. On peut relever deux grandes classes de problèmes : - des problèmes décrivant des situations ("photo") et demandant une partie, une comparaison, la totalité de ce qui est indiqué. Un schéma permet en général de reprendre toutes les données. - des problèmes décrivant des actions ("film") et demandant le début, la fin, une transformation partielle ou globale. Des opérateurs sont alors une façon de préciser les différentes actions. Résoudre un problème mathématique, c'est : - avoir compris la situation, le contexte, l'énoncé, et la question - pouvoir représenter la situation en dégageant les données, l'inconnue (ou les inconnues) - trouver les concepts mathématiques (formule, opération, propriété, ...) à utiliser - dégager un plan de résolution pour trouver ce qui est inconnu - le mettre en oeuvre (en précisant les différentes étapes pour pouvoir relire et expliquer) - trouver ce qui est demandé, éventuellement sous une autre forme - traduire la réponse trouvée en répondant à la question posée - vérifier lorsque c'est possible le résultat, ou au moins sa plausibilité - pouvoir expliquer sa résolution à "un ami", à "un ennemi" - généraliser à des situations proches, en variant les éléments de l'énoncé.

Dans la vie de tous les jours, il existe plusieurs types de moyennes : - la moyenne arithmétique : c'est la plus classique, celle utilisée pour la météo Les données peuvent être pondérées, c'est à dire avoir une importance différente. - la moyenne géométrique : c'est par exemple celle qui est actuellement utilisée dans l'enseignement supérieur pour calculer la note de chaque UE Il en existe d'autres, comme la moyenne harrmonique

Une des activités du mathématicien est d'analyser des situations, en en dégageant les caractéristiques essentielles pour les modéliser. Souvent, c'est en passant du texte aux schémas, aux tableaux, aux graphiques ou aux symboles que les liens les plus importants sont mis en évidence. A l'école, depuis la maternelle on passe de situations concrètes à une représentation de celles-ci, de plus en plus abstraite. Souvent, cela commence par des ensembles, parfois matérialisés, puis très vite des tableaux, comme le tableau à double entrée, voire des arbres. Du tableau qui associe, comme celui des charges, ou celui des travaux terminés, on arrive progressivement à l'idée d'une représentation graphique liant deux données, qui seront parfois des grandeurs. Les données numériques donneront lieu à des formules, des expressions mathématiques, des symboles permettant de résumer des informations en peu de texte, mais un texte d'une grande densité d'informations.

Face à des objets, il y a plusieurs actions possibles : Classer : - dégager les propriétés de ces objets, en observant les similitudes et différences entre eux - sur base d'un critère (forme, nombre, ...) classer ces objets en catégories et représenter ce classement à l'aide d'ensembles, d'un tableau ou d'un arbre - affiner le classement à l'aide d'un 2e critère .... Dégager les liens, les relations - trouver des liens entre des objets d'un même ensemble ou de deux ensembles différents - les matérialiser, soit par des flèches (diagramme sagittal ou fléché), soit à l'aide d'un tableau où on répertorie les objets d'un ensemble horizontalement, et du deuxième, en lien avec le premier, verticalement et où cette fois les liens sont représentés par des points. Rassembler les informations sur un schéma, surtout si elles sont de nature très différentes. Repérer ce qui manque ou les contradictions Formaliser, définir sur base du classement et/ou des liens trouvés. Formuler des conjectures (on parlera en sciences de formuler des hypothèses)

Repérer dans un manuel de mathématique de 1ère, 4e, 6e primaire ou secondaire les différentes "langues mathématiques" utilisées.

Pour différentes situations mathématiques, s'entrainer à visualiser la situation sous une autre forme que celle qui est présentée. Par exemple, reprendre des énoncés des Championnats des jeux mathématiques et logiques sur le site www.fbjm.be

Dans une liste, classer les différents types de problèmes. Sur un sujet donné, proposer des énoncés chacun de type différent. L'objectif est ici de varier suffisamment les énoncés de problèmes pour éviter qu'un élève agisse par imitation, par exemple en combinant les nombres sans avoir compris la situation. Par ailleurs, certains élèves sont aidés par une image globale de la situation, d'autres par les étapes successives : y penser dans les résolutions d'exercices.

En classe, résoudre un problème mathématique n'est pas si facile. Quelques points d'attention : - laisser le temps aux élèves de lire le problème et de se l'approprier (le prof sait de quoi il s'agit, pas l'élève !) - vérifier la compréhension du problème (énoncé et question), soit entre élèves (par exemple par binômes), soit collectivement, demander de représenter le problème sous une autre forme est une aide. - prendre le temps de faire choisir l'outil à utiliser (de plus en plus complexe au fil de la formation mathématique) - laisser le temps de la résolution par l'élève, si possible avec sa méthode - pour les plus rapides, proposer soit de résoudre d'une autre façon, soit d'inventer d'autres problèmes sur le sujet, soit d'aider d'autres élèves, soit donner d'autres problèmes, en variant ce qui leur est proposé. - lors de la correction collective, soigner la clarté des étapes, du tableau - ne pas hésiter à corriger de plusieurs façons, en relevant le(s) procédé(s) les plus rapides ou économiques : il y a souvent plusieurs méthodes de résolution - ne pas reprendre collectivement des explications trop embrouillées - si l'explication n'a pas été claire ou comprise, ne pas hésiter à la reprendre, de préférence au cours suivant, pour laisser un temps de maturation au problème. Préparer le moment de l'évaluation, en faisant le lien avec les critères de réussite, en préparant les élèves à être seuls devant le problème à résoudre.

La notion de moyenne (arithmétique) est l'occasion d'utiliser des graphiques pour aider à donner du sens à cette notion.

Graphiques et traitement de données : https://wp.gem-math.be/2021/02/08/graphiques-construire-lire-et-interpreter/

Propriétés, "et", "ou", négation :

Citer des / les propriétés d’un objet.
Citer des / les similitudes ou différences entre des objets.
Comprendre / construire des phrases avec et, ou, avec une négation portant sur une / des propriété(s).
Prendre / désigner un objet possédant une ou plusieurs propriété(s) données.
Construire / utiliser la « carte d’identité » d’un objet.

Ensembles, classements :

Réaliser des ensembles d’objets possédant une propriété commune.
Justifier l’appartenance ou non d’un objet à un ensemble.
Repérer un intrus et justifier.
Trier des objets selon qu’ils possèdent ou non une propriété donnée.
Déterminer un critère de classement.
Classer selon un / plusieurs critère(s).
Comprendre, utiliser, repérer une relation d’inclusion entre des ensembles.
Représenter un classement (à 1 ou plusieurs critères) à l’aide d’ensembles, de tableaux, d’arbres.
Utiliser un tableau à 1, 2 entrée(s).

Algorithmes, rythmes, suites logiques : (à continuer)

Compléter une séquence répétée de 2, 3, 4, … dessins.
Créer des algorithmes à l’aide de matériaux divers (perles, gommettes, …).
Chercher des régularités.

Combinatoire :

Trouver des / les objets possibles possédant certaines propriétés.
Rechercher une / des / les solutions possibles.

Relations, couples : (à continuer)

Mettre en relation des objets.
Associer des objets.
Comparer des objets à l’aide d’une relation d’ordre.
Utiliser les termes petit-moyen-grand.
Utiliser les termes plus petit/grand que, aussi .. que.
Effectuer des sériations de 4 objets ou plus.
Pratiquer des correspondances terme à terme.
Pouvoir déterminer la réciproque d’une relation simple.
Utiliser un tableau cartésien.

Résolution de problèmes :

Identifier puis créer un problème, une histoire mathématique pour en repérer les éléments clés
Chercher une solution à un problème par tâtonnements, essais-erreurs
Emettre une hypothèse de résolution du problème.
Poser des questions opportunes.
Utiliser des outils adaptés à une situation.
Procéder à un raisonnement structuré, l’exprimer verbalement, l'exprimer par écrit
Comprendre et comparer des procédures de résolution.
Vérifier sa solution, rectifier une erreur.

Prélever des informations issues d'une représentation : - d'ensembles disjoints (P1), 2 ensembles avec intersection (P3), nombre quelconque (P5) - d'un tableau à double entrée (P1), tableau (P5) - d'un arbre dichotomique (1 critère (P2), 2 critères (P3), 3 critères (P4)), arbre quelconque (P5) - d'un diagramme à bandes horizontales ou verticales (P2), d'un diagramme circulaire (P5), en bâtonnets (P6) Lire des informations présentées à partir de supports différents pour répondre à des questions (S1) Reconnaître une représentation de données en tableau, ensembles, arbre (dichotomique) (P2), multichomique (P6), diagramme à bandes (P2) Identifier le diIdentifier le diagramme donné : diagramme en bâtonnets (variables quantitatives) ou diagramme à bandes (variables qualitatives), diagramme circulaire (S1) Décrire le concept de moyenna arithmétique (variable discrète) (S1) Présenter des données Compléter le support donné pour représenter (P1-P4), représenter à l'aide du support donné, (P5-P6) en fonction de la situation, un tri ou un classement, - des ensembles disjoints (P1), deux ensembles incluant une intersection (P3), trois ensembles incluant une intersection (P5) - un tableau à double entrée (P1) - un arbre dichotomique (1 critère en P2, 2 critères en P3, 3 critères en P4), un arbre multichomique (P6) - un diagramme à bandes horizontales ou verticales (P2) Relier entre elles différentes représentations d'une même situation (liste de données, tableaux de distribution, diagrammes) (S1) Présenter une liste de données à l'aide d'un diagramme en bâtonnets et à bandes (S1), diagramme circulaire (S2)

4. Statistiques et probabilités

1. Moyenne

2. Médiane et moyenne

3. Statistiques et tableaux

4. Vers les probabilités

5. Probabilités : notions

6. Probabilités : compléments

Comment analyser des données statistiques ? Comment introduire le concept de probabilités ?

La notion de moyenne (arithmétique) est l'occasion d'utiliser des graphiques pour aider à donner du sens à cette notion.

A suivre ! Partir des erreurs trouvées dans les médias est toujours intéressant.

FMTT Produire des données au moyen d'un tableur (S2)

Vidéo française : organisation et représentation de données : https://www.lumni.fr/video/representation-des-donnees-tableaux-histogrammes-diagrammes-circulaires-26-mai Vidéo française (collège) : statistiques : médiane et moyenne : https://www.lumni.fr/video/statistiques-moyenne-et-mediane

Vidéo française : organisation et représentation de données : https://www.lumni.fr/video/representation-des-donnees-tableaux-histogrammes-diagrammes-circulaires-26-mai Graphiques et traitement de données : https://wp.gem-math.be/2021/02/08/graphiques-construire-lire-et-interpreter/

Statistiques : stabilisation des fréquences : vidéo française : https://www.lumni.fr/video/probabilites-stabilisation-des-frequences

Vidéo française (collège) : introduction aux probabilités : https://www.lumni.fr/video/introduction-aux-probabilites

Rechercher des présentations différentes de données et les analyser. Reprendre des problèmes du CE1D, en relevant ceux qui vous semblent les plus complexes à résoudre ou à expliquer en classe.

Générer un diagramme statistique à l'aide d'un outil numérique (S1, S2)

A suivre

Signification des icônes

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Questions clés Reprend les questions principales auxquelles ce chapitre devrait répondre.

Boîte à outils Matériels didactiques, jeux, applications (en ligne ou sur tablette)

Evaluation sur le sujet Exercices globaux

Liens intéressants

Remédiations D'une façon générale, conseils pour aider les apprenants qui n'ont pas compris après les premières explications.

Projets et dépassements Exercices et problèmes plus ouverts, sujets de réflexion, voire de recherche Souvent, une plus grande part est laissée à la créativité, seul.e ou en équipe

Interdisciplinarité Pistes pour un travail interdisciplinaire exploitant le sujet

Cours Lien vers le cours proposé aux étudiants futurs enseignants

Théorie Résumé des notions théoriques essentielles

Didactique Propose parfois une question de réflexion, parfois un complément à la théorie, mais le plus souvent des conseils pour les enseignants.

Explications Souvent sous forme de vidéos explicatives

Exercices divers

Progression (création personnelle) Progression spécifique d'objectifs spécifiques concernant le sujet, en pensant surtout aux plus jeunes

Référentiel belge Reprise du référentiel pour ce qui concerne le chapitre, avec indication des années

Vocabulaire - Mots clés Reprend le vocabulaire proposé dans le référentiel belge, mais aussi d'autres mots utiles dans le contexte du chapitre proposé.

Ecrire la négation de :- Toutes les nappes sont blanches ou rondes- Tous les étudiants sont bons dans au moins une discipline.- Aucun garçon de la classe ne porte des lunettes et certaines filles ont les yeux bleus.- Toutes les pommes sont vertes ou rouges.- Il y a au moins une nappe qui est blanche et ronde.Imaginer un matériel multicritère de 8 cartes utilisant 3 critères différents et ensuite dessiner un tableau à double entre représentant un classement de ces huit cartes selon exactement deux des 3 critères.Amélie, Béa et Celia discutent de sport (tennis, football ou basket) qu'elles vont choisir cette nouvelle année scolaire.Amélie dit "Si Béa fait du tennis, je joue au football""Si Amélie joue au football, je fais du tennis, mais si elle fait du basket, je fais du football", répond Celia.Béa réplique : Si clémence ne fait ps de basket, je fais du football.Quel sport pratiquera chacune d'elle, sachant que ces sports sont tous différents ? Expliquer votre raisonnement.

Pouvoir repérer une erreur dans une résolution de problèmes ou sur une photo l'illustrant.

Expliquer la différence entre "ensembles distincts" et "ensembles disjoints". Illustrer votre explication avec les blocs logiques.Pouvoir critiquer des classements présentés sous forme d'arbre ou de tableau en vérifiant s'ils correspondent ou non à une partition d'ensemble. Pouvoir définir des ensembles en compréhension, en extension, citer leur cardinal, le nombre de leurs sous-ensembles.On donne les ensembles div 8 et {2,4,6,8}- Ces ensembles sont-ils égaux ? sont-ils équipotents ?- Quel est le nombre de parties de leur réunion ? JustifierDéfinir la soustraction de nombres de deux façons différentes et en déduire deux sens de la soustraction.Dans un groupe d'écoliers, 4 portent des moufles et 8 un bonnet. Combien de ces écoliers portent nécessairement à la fois un bonnet et des moufles ? Pourquoi ?

Robotique

Make Code -Micro Bit en ligne

Plusieurs "robots" sont utilisables pour développer à la fois l'anticipation et les liens logiques.A la charnière entre leprimaire et le secondaire, nous avons choisi de développer l'utilisation de cartes Micro Bit.

Donner un exemple de relation d'équivalence dans l'ensemble {1,2,3,4,5,6}Expliquer la différence entre ordre et équivalence et donner un exemple de chaque type. Expliquer ensuite l'importance de ces notions dans la consruction du nombre.Expliquer la différence entre égalité et équivalence et donner un exemple d'une situation qui ne correspond qu'à une seule de ces notions.Même question avec équivalence et équipotence.Expliquer la différence entre ordre partiel et ordre total et donner un exemple de chaque type. Expliquer ensuite l'importance de ces notions dans la construction de la numération.Prolongement : étude des propriétés des relations suivantes :"est le carré de " dans N, "coûte aussi cher que" dans Q,

Résoudre comme en primaire le problème de Rallye suivant :"Julie possède 20 pièces de monnaie : un mélange de pièces de 1€ et de pièces de 2€. Si on remplaçait ses pièces de 1€ par des pièces de 2€ et ses pièces de 2€ par des pièces de 1€, elle aurait 4 € de plus.Combien Julie a-t-elle d'euros avec ses 20 pièces ?"J'avais 600 €. J'en ai d'abord dépensé le quart, puis les 2/3 de ce qui restait. Combien ai-je maintenant ?Dans un lycée de 575 élèves, 40% sont des filles et 20% des filles ont moins de 14 ans. Combien y a-t-il de garçons ? de filles de plus de 14 ans ?

Ecrire la négation de "Toutes les nappes sont blanches et rondes" sans utiliser le mot "toutes"Compléter de deux façons différentes les trois termes suivants de la suite 3, 5, 7, ... en expliquant votre raisonnement.Six jetons sont alignés. Il y a 2 jetons bleus (B), 2 jetons rouges (R) et 2 jetons verts (V). Un seul jeton sépare les deux jetons verts. Deux jetons séparent les deux jetons rouges et 3 jetons séparent les deux jetons bleus.Indiquer les couleurs de chacun des 6 jetons en expliquant votre raisonnement.Expliquer ensuite comment présenter ce défi en 5/8.

Deux voitures partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours d'un même circuit. La voiture A fait le tour du circuit en 36 minutes et la voiture B en 30 minutes.- Après combien de temps se retrouveront-elles côte à côte ?- Après 12h, combien de fois se seront-elles croisées en ne comptant pas le départ ? Combien de tours aura alors effectués chaque voiture ?Léa a dessiné des chameaux et des dromadaires, cela fait 23 bosses et 68 pattes. Elle sait que les chameaux ont 2 bosses et les dromadaires en ont une seule.Elle a encore dessiné un homme sur le dos de chaque chameau.Combien a-t-elle dessiné d'hommes en tout ?Comment remplir un bassin de 49 l avec trois seaux de 3 litres, 4 litres et 5 litres, en un minimum de voyages mais en utilisant chaque seau au moins une fois ?

Ecrire la suite d'opérations donnant la réponse à la question, sans effectuer le calcul :

Dans cette salle de théâtre, il y a 18 rangées de 52 sièges, dont 60 strapontins. Combien faut-il ajouter de sièges pour pouvoir accueillir 1000 spectateurs ?
Si je paie cash les 18 albums que j'ai commandés, on me consentira une remise de 60 €. Si chaque album coûte 26 €, combien me restera-t-il des 1000€ que j'avais au départ ?

2 Traitement des données

Over 30 million people build interactive content in Genially.

LET’S GO TO LONDON!

SLYCE DECK

ENERGY KEY ACHIEVEMENTS

CULTURAL HERITAGE AND ART KEY ACHIEVEMENTS

ABOUT THE EEA GRANTS AND NORWAY

DOWNFALLL OF ARAB RULE IN AL-ANDALUS

HUMAN AND SOCIAL DEVELOPMENT KEY

Transcript