1 Numeration et debuts de l'algebre

Index (à ajouter)

Signification des icônes

6. Décomposition du nombre

5. Comparaison de nombres

4. Aspects cardinal et ordinal

3. Conservation du nombre

2. Quantité, chiffre, nombre

1. Notion de comptage

1. Notion de nombre

Illustrations : autres numérations

4. Système écrit de numération

3. Système de numération oral

2. Système de numération

1. Troc, groupement, base

2. Base de numération

Numérationbinaire

Les heures

Numération sinojaponaise

Numération maya

Premières numérations, calculi

Numération babylonnienne

Chiffres arabes

Numération égyptienne

Chiffres romains

7. Puissances et exponentiation

6. Division

5. Tables de multiplication

4. Multiplication

3. Soustraction

2. Addition

1. Opération et opérateur

3. Opérations

4. Règles de priorité

3. Procédés fondamentaux

2. Propriétés des opérations

1. Utilité du calcul mental

4. Calcul mental et opérations

Autres techniques

5. Division écrite

4. Multiplication écrite

3. Soustraction écrite

2. Addition écrite

1. Utilité du calcul écrit

5. Calcul écrit

Animation GeoGebra à suivre

Histoire du calcul écrit

Vidéo de présentation générale

Multiplication russe

Multiplication égyptienne

Multiplication "Spaghetti" ou japonaise

Multiplication "per Gelosia"

Bâtons de Neper

Autres techniques

5. Suites de nombres

4. PGCD et PPCM

3. Critères de divisibilité

2. Multiples et diviseurs

1. Parité

6. Familles de nombres

5. Propriétés des opérations dans Z

4. Multiplication et division dans Z

3. Addition et soustraction dans Z

2. Valeur absolue, nombres opposés

1. Nombres entiers, négatifs (relatifs)

7. Nombres négatifs et nombres entiers

6. Division de fractions

5. Multiplication de fractions

4. Addition / Soustraction

3. Représentation de fractions

2. Comparaison de fractions

1. Fraction

8. Fractions et nombres rationnels

3. Compléments (à suivre)

3. Nombre à virgule et fraction

2. Nombre décimal et nombre à virgule

1. Nombre à virgule

9. Nombres à virgule et nombres réels

2. Compléments (à suivre)

1. Introduction (didactique)

10. Expressions littérales

2. Compléments (à suivre)

1. Notion d'équation

11. Equations

Chiffres romains

(à suivre)

Les mots-clés suivants vous permettront d'accéder à la page où le sujet est développé.

Index

Annexe : Signification des icônes

Que vaut le tiers du quart de 0,1 ? Répondre sous la forme d'une fraction irrréductible puis d'un nombre à virgule. Un nombre à virgule est-il toujours décimal ? Expliquer votre réponse. Comparer "fraction non décimale" et "nombre rationnel", puis "fraction décimale" et " nombre réel non rationnel". Convertir la fraction 2/3 en nombre à virgule en base neuf puis en base dix. Ecrire le nombre 2,234343434... puis le nombre 57,132712712712.... sous la forme d'une somme de fractions irréductibles.

Expliquer les sens différents du mot "reste" dans l'étude des opérations numériques. Illustrer chacun d'eux par un exmple de situation numérique et un exemple de problème où le mot "reste" intervient. Dans Z, la multiplication est-elle associative ? Dans Q, la multiplication distribue-t-elle la division ? La division distribue-t-elle l'addition ? Justifier par 3 exemples numériques. Citer et expliquer 5 spécificités du zéro dans l'étude de notre numération et des 4 opérations fondamentales. Quels sont les différents sens que l'on peut donner à la division ? Illustrer chacun d'eux par un exemple et expliquer pourquoi il y a plusieurs sens en partant de la définition. Dans quelle (s) base(s) peut-on écrire 4 + 5 = 13 ? Que deviennent le reste et le quotient dans une division par 700, si on augmente le dividende de 1500 ?

Dans quelle base peut-on le calcul suivant est-il correct ? 1145 + 52 = 1207

Tous les projets liés à d'autres civilisations, d'autres cultures peuvent avoir un volet consacré à la façon de dire et/ou de représenter les nombres. Exemples : chiffres égyptiens, mayas, romains, mésopotamiens et numération associée. L'informatique offre une occasion d'aborder le système binaire, le système hexadécimal.

Pouvoir dire la fraction du puzzle représentée par chaque pièce d'un puzzle géométrique (Tangram ....) Ranger des fractions exprimées de différentes façons dans l'ordre croissant Effectuer une suite d'opérations sur les fractions en utilisant les dénominateurs les plus "simples" et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. Quelle heure est-il lorsque la partie du jour écoulée est les 2/3 de ce qui en reste ? Une personne emploie les 3/8 d'une somme, puis les 2/5 de ce qui reste et enfin le quart du nouveau reste. Il lui reste alors 9000 €. Combien avait-elle au départ ?

Comment vérifier qu'un enfant maîtrise l'aspect ordinal du nombre 6 ? Donner 4 exemples de consignes permettant des approches différentes de ce concept. Même question pour l'aspect cardinal du nombre 6.

Dans un lot de pommes, un quart d'entre elles sont trop petites, un tiers ne sont pas mûres, un dixième sont pourries et les autres sont parfaites. En supposant que ces fruits ne possèdent qu'une seule de ces caractéristiques à la fois, calculer la proportion de pommes parfaites. Ecrire la fraction 2/3 comme somme de deux fractions irréductibles de dénominateurs différents. Justifier.

Compléter et expliquer le procédé utilisé : 240 x 0,4 = ... x 4 ; 240 x 0,9 = ... Dans un nombre à virgule, expliquer le rôle de la virgule et le rôle dz zéro. Calculer par écrit : 19,004 - 6,0968 (variante 21,003 - 5,0869) Effectuer et expliquer en privilégiant le sens la division écrite suivante ( à 0,1 près) : 102,235 : 4,56 On dispose de pièces de 2, 1 € et de pièces de 1, 2, 5, 10, 20 et 50 centimes. A la boulangerie, il faut payer 1,74 €. On donne trois pièces différentes à l'employée qui en rend deux. Quelle a été la somme rendue ?

Existe-t-il des nombres situés entre 10/21 et 11/21 ? Si oui, en donner deux exemples différents, sinon expliquer pourquoi. Classer dans l'ordre croissant et justifier : a) 7/12, 11/20, 8/15 et 38/75 b) 7/12, 11/18, 8/15 et 37/72

Les affirmations suivantes sont-elles toujours vraies ? Justifier la réponse à l'aide d'exemples numériques. a) On peut suppromer les zéros placés à gauche du premier chiffre qui n'est pas zéro. b) Pour multiplier par 10, on écrit un zéro à droite du dernier chiffre c) Si un nombre s'écrit avec plus de chiffres qu'un autre, il lui est supérieur. Transformer 0,018 en fraction irréductible. Expliquer la différence entre nombre décimal et nombre à virgule

Les nombres à virgule sont uilisés tous les jours, avec les euros au quotidien, et chaque jour dans l'actualité et dans des documents.

Que deviennent les reste et le quotient d'une division d'un nombre supérieur à 2000 par 600, si on augmente le dividende de 1900 ? Dans le problème suivant, quelle est l'opération concernée et quel sens lui a-t-on donné ? " A la récréation, une classe a vendu une caisse de cent galettes par paquets de trois. Tous les paquets étant vendus, combien de galettes reste-t-il et combien de paquets y avait-il ?"

Adam vide un tube de dentifrice en 72 jours, un flacon de shampoing en 60 jours et un savon en 40 jours. Aujourd'hui, il entame ces trois éléments. Dans combien de jours sera-ce à nouveau le cas ? Expliquer. Soit les nombres 54 et 96. Imaginer un problème utilisant ces 2 nombrees et pour lequel il faudra calculer le PGCD. Résoudre ce problème comme en primaire. Si le PPCM de deux nombres est 360 et que l'un d'eux est 36, quel peut être l'autre ? (Donner au maximum 4 solutions) Idem avec 240 et 15. Si le PGCD de deux nombres est 18 et que l'un d'eux est 900, quel peut être l'autre ? (Donner au maximum 4 solutions) Avec 240 fleurs rouges et 400 fleurs bleues, combien peut-on former de bouquets, si on en veut le plus possible ? Commetn seront constitués ces bouquets ?

Comparer "opérateur" et "opération".

Expliquer la différence entre "nombre décimal" et "nombre à virgule". Entre deux nombres différentes, on peut toujours intercaler autnat de nombres qu'on veut. Est-ce vrai dans N ? dans Z ? dans Q ? dans R ? Expliquer et illustrer par des exemples ou contrexemples.

Quels sont les avantages d'utiliser les réglettes au premier degré de l'école primaire ?

Penser à tous les contextes de la vie courante pour donner du sens à ce concept. Utiliser l'idée de marches, d'escaliers à monter ou descendre. Dans un autre contexte, les bons/mauvais points d'un jeu permettent de saisir l'addition et la soustraction de nombres entiers.

Un élève a écrit : 24 x 9 = 24 x 10 = 240 - 24 = 216 Entourer les signes d'égalité mal utilisés Ecrire correctement les calculs à effectuer sous la forme d'une même suite d'égalités successives, mais correctes. Quelle est la technique de calcul utilisée ici ? Donner un exemple de compensation dans la multiplication comme procédé utilisé en calcul mental. Expliquer. Compléter et expliquer le(s) procédé(s) utilisé(s) : 123 x 9 = ... Idem pour 125 x 56

Dans divers contextes, repérer les égalités et vérifier leur validité.

Si le jeu offre un contexte interdisciplianire privilégié, les liens sont ici nombreux avec l'économie.

Donner les caractéristiques du : - système de numération romain / égyptien / maya / babylonien Comparer : - notre système de numération oral et notre système de numération écrit. Effectuer en chiffres romains l'opération 2025 - 56 en expliquant les difficultés rencontrées et les caractéristiques de ce système de numération. Sur un mur se trouve écrit MDCCCXXI. Quel est ce nombre et quelles sont les caractéristiques du sytème de numération utilisé ?

Trouver le plus petit nombre naturel de 3 chiffres différents et a) divisible par 9 en base dix puis en base trois. b) divisible par 4 en base dix puis en base six On donne le nombre à 4 chiffres 57X6, en base dix. Il est divisible par 3. Quelles sont toutes les valeurs possibles pour X ? Citer et expliquer un critère de divisibilité du même type dans la base six. Expliquer un caractère de divisibilié dans la base dix, un critère du même type dans une autre base (neuf, huit, six)

On donne le nombre 2A (base douze) et on demande de le convertir en base huit, si possible sans passer par la base dix. Dans quelle(s) base(s) la quantité cent s'écrit-elle par un nombre à trois chiffres ? Expliquer votre raisonnement. Convertir 654 (base dix) en base onze, en base neuf. Convertir en écriture décimale 245 (base six). Dans quelle(s) base(s) peut-on dire que 35 exprime une quantité paire ? Justifier Même question avec 43 qui doit exprimer une quantité impaire. Dans quelle(s) base(s) peut-on dire qu'un nombre à deux chiffres qui se termine par 4 exprime toujours une quantité paire ? Justifier Si un nombre n s'écrit 111111111 en base deux, comment s'écrit n+1 ? Dans quelle(s) base(s) peut-on écrire 4 + 5 = 13 ? Justifier. Dans quelle(s) base(s) la quantité trente s'écrit-elle par un nombre à deux chiffres dont celui de gauche est 2 ? Même question si le chiffre de droite est 3.

Calculer, de deux méthodes différentes, dans l'abaque et avec jetons, dans la base indiquée : 2035 - 1442 (base dix, base six sans changer les chiffres du calcul) 2034 - 405 (base dix, base huit sans changer les chiffres du calcul) 2025 - 56 (base sept) ; 2341 - 1425 (base six, base huit) 344 - 255 (base six) et donner trois exemples de vérification. Retirer la quantité trois cent vingt de la quantité neuf cent soixante en base six. Citer 3 types d'erreurs courantes dans la soustraction écrite, leur raison et une remédiation possible.

Comment vérifier qu'un enfant maîtrise la différence entre chiffre et nombre ? Donner 4 exemples de consignes permettant des approches différentes de ce concept. Question FFJM (2018) On écrit sur des étiquettes les nombres de 1 à 50 en toutes lettres : un, deux, ..., cinquante. On classe ensuite ces étiquettes par ordre alphabétique. Quelle sera la première étiquette et quelle sera la dernière ?

Expliquer la différence entre multiplication et produit. Une petite bille d'acier a la propriété de rebondir aux 9/10 de sa hauteur de chute. Si elle tombe de 1 m de haut, quelle hauteur atteindra-t-elle à son 3e bond ?

Comment introduire de façon complète le concept d'inégalité numérique < et > ? Illustrer chaque aspect envisagé par un exemple. Même question pour ≤ et ≥. Même question pour le concept d'égalité numérique.

Donner un exmple de progression d'activités permettant de passer de la notion de fraction, fractions équivalentes et de fractions irréductibles (qui sont donc des prérequis) à la position d'un nombre sur une droite graduée.

Peut-on dire que tous les diviseurs de 15 sont des diviseurs de 50 ? Justifier. Vrai ou faux (à justifier à l'aide d'exemples numériques) A : Si un nombre est multiple de 4, alors il est multiple de 2 B : Si un nombre est multiple de 5, alors il se termine par 5 C : Si un nombre se termine par 4, alors il est multiple de 4 D : Si un nombre se termine par 5, alors il est multiple de 5 Quelle est la différence entre "nombres premiers" et "nombress premiers entre eux" ? Expliquer et illustrer par des exemples. Quel est le plus petit nombre naturel qui soit non nul, multiple de 90 et cube parfait ? Justifier

Ranger les nombres suivants dans l'odre croissant et justifier : a) 6/9 ; 1/4 + 1/3 ; 0,66 ; 12/15 ; 6/8 : 2/3 ; 3/5 x 15/9 b) 8/12 ; 1/3 + 1/4 ; 0,66 ; 8/10 ; 3/4 : 6/9 ; 4/5 x 10/9 c) 4/6 ; 6/10 ; 1/2 + 1/5 ; 0,66 ; 2/5 : 5/8 Donner un exemple de problème d'école primaire utilisant les fractions, dont la résolution demande d'utiliser une somme puis un quotient, et qui a pour réponse 1/12. Justifier comme àl'école primaire.

Expliquer la fraction 5/6 à un élève du début du primaire. Variantes : 3/4, 2/3) A quel aspect de la notion de fraction fait-on appel lorsqu'on demande la fraction du puzzle correspondant à chaque pièce d'un puzzle ? Expliquer. Combien y a-t-il de quarts d'heure dans une semaine ? Justifier. Comparer "nombre décimal" et "fraction".

Donner un exemple d'addition écrite de deux nombres à 4 chiffres en base sept nécéssitant deux reports, qui seront précisés.

Proposer 3 façons différentes de résoudre le calcul 45 + 27 en précisant à chaque fois le procédé mathématique utilisé, qui doit être différent pour chaque résolution. Même question pour 81 - 28, pour 64 x 125, pour 28 + 37

Effectuer la division écrite 24789 : 37 et expliquer chaque étape en la liant à l'abaque. Partager la quantité cent en trois dans la base six.

Calculer, dans la base indiquée, en indiquant les retenues / reports : 28 x 37 (base neuf) sept fois 324 (base cinq), six fois 324 (base huit), cinq fois 324 (base six) Calculer par une autre méthode de multiplication écrite (russe, égyptienne, par gelosia, chinoise, avec les bâtons de Néper) 28 x 37 Effectuer le calcul 1034 x 405 en base dix, à l'aide de l'abaque. Proposer 3 méthodes de vérification différentes et les utiliser en justifiant chaque affirmation ou calcul. Expliquer la notion de retenue : ce que c'est et à quoi elle sert pour le calcul écrit. Donner un exemple de multiplication écrite d'un nombre à 4 chiffres par un nombre à 2 chiffres en base six nécessitant 3 reports, qui seront précisés.

Quelles sont les étpaes principales lors de l'étude d'une table de multiplication ?

De nombreux documents utilisent la notion de fraction ou de pourcentage, dans les contextes les plus divers. Les divers graphiques en camembert sont aussi des occasions d'utiliser les fractions, et de rester critique face aux erreurs !!! Dans la même optique, un regard critique sur les publicités offre aussi de belles occasions de pratiquer les fractions dans un contexte le plus souvent économique.

Comparer : - notre système de numération oral et notre système de numération écrit. Imaginer un système de numération additif utilisant 5 symboles différents. Expliquer son fonctionnement à l'aide d'exemples bien choisis. Donner les caractéristiques de ce système ainsi que ses avantages et inconvénients. Imaginer un système de numération positionnel utilisant 5 symboles différents. Expliquer son fonctionnement à l'aide d'exemples bien choisis.

Un enfant reçoit des billes de sa maman. Après avoir perdu, il lui reste le quart de ce qu'il a reçu, puis il gagne 5 billes et donne enfin la moitié de ce qu'il a en poche à son frère qui reçoit 5 billes. Combien de billes avait-il reçu de sa maman ? Par quelle fraction faut-il multiplier un nombre pour a) l'augmenter de ses 12/5 b) le diminuer de ses 2/7

Pour ouvrir un coffre-fort à l'aide d'un code, un pirate doit résoudre l'énigme suivante : Le produit de 2 nombres est 180, le PGCD de ces nombres vaut 6. le nombre secret les le PPCM de ces deux nombres. Les dimensions d'une caisse à parois rectangulaires sont 150 cm, 165 cm et 105 cm. On veut fabriquer des boîtes cubiques dont l'arête mesure un nombre entier de cm pour remplir entièrement la caisse. Calculer la mesure de l'arête des boîtes, ainsi que le nombre de ces boîtes. Un nombre est divisible par x dans la base b si et seulement si son dernier chiffre est un multiple de x. Si b vaut dix, que peut valoir x ? Si b vaut six, que peut valoir x ?, et de façon générale, pour une base b, que peut valoir x ?