1 Numeration et debuts de l'algebre

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https://view.genial.ly/6121354070ad990dbae8feca/presentation-01intromathematique2223

1. Notion de nombre

1. Notion de comptage

2. Quantité, chiffre, nombre

3. Conservation du nombre

4. Aspects cardinal et ordinal

5. Comparaison de nombres

6. Décomposition du nombre

- Qu'est-ce qu'un nombre ? - Quelles sont les difficultés de comptage et comment y remédier ? - Comment enseigner le nombre ? Quels en sont les différents aspects ? - Comment compter une collection d'objets ? - Comment comparer des collections ? - Pourquoi décomposer un nombre ? - Comment introduire le vocabulaire et les symboles d'(in)égalité en classe ?

Pour compter le nombre d'objets d'une collection, il faut : - connaître tous les mots-nombres (d'où l'importance des comptines à la maternelle, et de la position d'un nombre dans la suite des nombres (aspect ordinal du nombre) - associer chaque objet à un mot nombre (correspondance un - un ou correspondance terme à terme) - comprendre que le dernier nombre cité correspond à la quantité globale (aspect cardinal du nombre) - comprendre que l'ordre dans lequel on compte les objets n'a pas d'importance - comprendre que chaque objet est compté comme unité, même si les objets sont différents (hétérogénéité) Le comptage va progressivement s'organiser en groupant les objets. On parle parfois alors de dénombrement ou de comptage organisé (plus élaboré que le comptage un par un).

Compter le nombre de "points" et pouvoir expliquer comment on a fait.

Matériel concret : - jetons, bouchons, marrons, legos, cotons tiges, pailles, cubes emboitables, objets divers ... - Réglettes Cuisenaire - Bandes numériques, plateaux de jeux de parcours, ... Décompositions : arbres, ensembles, blocs rectangulaires Applications pour tablette : - Number Line (Droite des nombres), - Number Frame (Jetons virtuels) Ecrire un nombre dans une autre base, en ligne Le cuboscope : représenter semi-concrètement les nombres, en ligne Jeux : Halli Galli, dominos, ... Zahlen-Mobile, Adaptation du jeu-matériel SpielMal Pour la maternelle : jeu Quips Jeux sur tablette : Number Catcher

Piaget : conservation du nombre : oeufs et coquetiers : https://www.youtube.com/watch?v=Piut4mOsJEE

Quelle est la différence entre : - chiffre et nombre - aspect cardinal et aspect ordinal du nombre Donner un exemple d'erreur d'un enfant qui n'a pas compris la notion de nombre, et deux exemple de remédiation à lui proposer. Comment vérifier qu'un enfant maîtrise le nombre 6 ? Donner des exemples de consignes permettant d'aborder les différentes facettes de ce concept. Expliquer la correspondance terme à terme : ce que c'est et à quoi elle sert pour la numération.

Premières compétences mathématiques Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/

En mathématique, certains problèmes sont récurrents : - la difficulté d'abstraire à partir du matériel concret, - la modélisation, avec l'idée qu'on se concentre sur certaines propriétés et pas sur d'autres - le rôle du matériel, intéressant mais dont il faudra un jour se passer. Voir les informations sur les "Dys" Penser à installer le nombre corporellement : comptage et sauts, déplacement de ... pas, cerceaux, ... Varier les contextes, et privilégier ceux de la vie de l'enfant. Insister sur les différents aspects du comptage, sur les inclusions successives de collections. Pour les dyscalculies, lier plus rapidement à la bande numérique peut aider à visualiser le nombre. Pour passer de la bande numérique à la droite graduée, la latte peut aider.

Jouer à varier les procédés de dénombrement, grouper pour compter, penser au comptage à l'envers, aux variations "Et si ... ?" Créer des cartes mentales sur les nombres : liens avec la vie quotidienne, décompositions (représentées de diverses façons : ensembles, rectangles, arbres), position sur la droite des nombres, proverbes ou citations, .... Privilégier les décompositions de 10, 100, 1000 A partir de matériel simple ou de jeu (exemple : "Pop it"), proposer ou faire créer des activités reprenant les différents aspects du nombre.

Arts plastiques : Reconnaissance de nombres dans des oeuvre d’art Dessin avec contraintes de nombres, décompositions de nombres à dessiner

Le nombre est un concept abstrait qui est la caractéristique commune à des collections qui ont le même nombre d'éléments, c'est-à-dire qui sont équipotentes. Pour comparer deux collections, on peut : - les comparer globalement, visuellement (c'est ce qu'on appelle la numérosité, perception globale du nombre) - dénombrer chaque collection et comparer la place des deux nombres dans la suite numérique (lié à l'aspect ordinal du nombre) - faire correspondre 1 à 1 les objets de chaque collection, et regarder s'il en reste, et dans quelle collection. Le procédé utilisé est le mise en correspondance terme à terme, liée à l'aspect cardinal du nombre. Si les deux collections ont le même nombre d'éléments, elles sont dites équipotentes. Cet aspect est lié à l'aspect cardinal du nombre. Les nombres trouvés sont égaux, ce qui se représentera par le signe = Sinon, les nombres sont différents, ce qui se représentera par le symbole ≠ On peut être plus précis en utilisant les symboles d'inégalité : <, >, ≤, ≥

Quelques exemples : 6 peut être décomposé en 5 et 1 (ce qui se traduira 6 = 5 + 1), ou partagé en 3 paquets de deux (ce qui se traduira 6 = 3 x 2 ou plus simplement 6 : 3 = 2). La décomposition additive d'un nombre est un prélude à l'addition et va permettre de se faire des images mentales et représentations variées de ce nombre, de façon à "aller chercher" la plus utile dans une situation donnée. La décomposition multiplicative est un prélude à la division et à la multiplication. Elle va permettre par exemple de se représenter le nombre sous la forme d'un quadrillage rectangulaire, et à nouveau d'aller chercher le quadrillage le plus utile dans une situation donnée. La notion de partage est très intuitive : elle s'utilise au quotidien (pensons aux repas par exemple !).

Une quantité correspond à un nombre d'objets, et répond à la question "Combien?" Les chiffres sont des symboles, des outils pour représenter les nombres ; il y en a d'autres : barres, doigts, points seuls ou configurés en schèmes comme les points du dé, .... Le nombre est un concept abstrait : il correspond au cardinal d'une collection, à la quantité d'objets donnés : on parle parfois de "nombre de" car les premiers nombres sont souvent associés à des collections concrètes, avant de devenir progressivement plus abstraits (personne n'imagine concrètement une collection d'un million d'objets !) Un nombre peut être représenté à l'aide d'un ou plusieurs chiffres. Définir le nombre avec précision est compliqué. On peut le voir comme caractéristique commune à des ensembles qui ont le même nombre d'éléments (cardinal), ensemble que l'on dira équipotents.

Il y a 3 stades à la conservation du nombre, observables en modifiant la disposition des objets d'une collection et en demandant à l'enfant s'il y en a plus, moins, ou si c'est pareil (ou mot équivalent). - Non conservation : l'enfant se laisse piéger à chaque fois et se trompe - Stade intermédiaire : l'enfant se trompe parfois et ne peut pas justifier sa réponse quand elle est correcte. - Conservation : non seulement l'enfant ne se trompe pas, mais il peut justifier sa réponse avec un argument * de réversibilité : on peut replacer les objets comme avant * d'identité : on n'a rien ajouté et on n'a rien enlevé * de compensation : par exemple : les objets sont plus proches mais l'écart entre eux a diminué.

L'aspect cardinal est l'aspect quantité du nombre. Il se retrouve quand on compte le nombre d'objets d'une collection (étiquette numérique d'un ensemble d'objets), quand on ajoute ou enlève des objets pour retrouver une quantité donnée, quand on compare des collections. L'aspect ordinal est lié à la position du nombre dans la suite numérique. On le retrouve en demandant le nombre situé avant ou après un nombre donné (encadrement), quand on place un nombre sur la droite des nombres ou une image simplifiée de celle-ci.

Quelle est la différence entre chiffre et nombre ? 5 est-il un chiffre ? 5 est-il un nombre ? 52 est-il un chiffre ou un nombre ? Parmi 5 et 6, quel est le plus grand chiffre ? quel est le plus grand nombre ? Pourquoi ? Dans l'opération 2 + 3 = 5, de quoi parle-t-on, de chiffres ou de nombres ?

Piaget a établi 3 stades de la conservation du nombre. Pour ce faire, il part de deux collections (par exemple de 8 jetons) placées côte à côte, puis modifie l'une des deux collections (par exemple en rapprochant ou en écartant les jetons). Il demande ensuite à l'enfant s'il y a plus ou moins d'objets. Si l'enfant répond correctement et peut justifier son choix (voir théorie 3), il maîtrise la notion de nombre.

Quand on aborde un nombre en classe, on envisage ses différents aspects : - ses représentations (chiffres ou autres) - son aspect cardinal (qui aide à se donner une image globale du nombre), en demandant de réaliser une collection comportant un certain nombre d'objets. - son aspect ordinal (qui aide à se donner une image du nombre dans la suite des nombres, souvent représentée sous la forme d'une bande numérique, utile pour les nombres entiers, ou d'une droite sur laquelle on place les nombres, utile quand on placera des nombres non entiers) On prolonge ensuite l'activité - par des comparaisons avec d'autres nombres - par des décompositions diverses du nombre, additives et progressivement multiplicatives

Au fur et à mesure que l'on rencontre des nombres, comme cardinal d'un ensemble fini (c'est-à-dire comme nombre d'objets d'une collection), on va travailler tantôt l'égalité de nombre (on parlera d'ensembles équipotents : collections de mêmes quantités d'objets), tantôt l'inégalité : moins, plus, vient avant / après sur la bande numérique. Ces deux aspects sont basés sur deux concepts mathématiques essentiels : l'équivalence ( est pareil selon un certain point de vue) et l'inclusion ou la sériation (ordonner, emboîter dans des ensembles de plus en plus grands) On se constituera aussi une banque d'images mentales lorsqu'on étudie un nombre : aspect cardinal, aspect ordinal et placement sur la bande et plus tard sur la droite numérique, représentations diverses, écriture chiffrée (et sens de cette écriture), comparaison aux nombres déjà rencontrés. Ensuite, on décomposera le nombre (voir plus loin).

Dans un premier temps, la décomposition est réalisée avec du matériel concret et sera visualisée sous forme de maison (décomposition additive) ou d'arbre (décomposition multiplicative) sans aller jusqu'au calcul. Ce genre de décomposition (souvent représentée par une maison en début de primaire, pour les décompositions additives, et par des arbres pour les partages en deux ou plus (pas forcément égaux). La diversité des décompositions va aider à compléter sa "banque d'images" pour chaque nombre. Dans un deuxième temps, à cette représentation visuelle, on pourra associer un calcul et progressivement plusieurs, selon le nombre cherché. On ajoutera aussi, pour les nombres plus élevés (en général > 20) des décompositions qui utilisent notre système de numération (place privilégiée aux C, D, U ....) Une fois les nombres décomposés de diverses façons, on les reconstituera en "recomposant les nombres", c'est-à-dire en travaillant les deux sens de l'égalité.

A suivre

Expérience de Piaget : https://www.youtube.com/watch?v=MawXvXp4n3g

Vidéo RTBF : Nombre : aspect ordinal du nombre (P1) et autres activités : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2692812

Vidéo RTBF : « Comparer des nombres entiers (naturels) et autres activités : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2695421

Vidéo RTBF : « Nombre 7 et autres activités » (bien distinguer chiffre et nombre …) : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2812663

Travaux didactiques :

1. Découverte d'un jeu et actualisation de la fiche de jeu en fonction du nouveau référentiel
2. Création d'un lexique reprenant les mots-clés du chapitre
3. Création d'un quiz sur le chapitre, si possible en ligne
4. Préparer une histoire contée, une activité, une carte mentale sur l'étude d'un nombre
5. Préparer une activité liant les maths et une autre discipline abordant le sujet du chapitre (activité physique, artistique, linguistique, ...)

Compter, aspect ordinal du nombre

1. Connaître différentes comptines numériques.
2. Citer la suite des nombres jusqu’à 20.
3. Compter un à un, en déplaçant / sans déplacer les objets, avec / sans aide.
4. Compter des objets variés.
5. Compter sans commencer à 1.
6. Déterminer le premier, le 2e, le 3e, …, le dernier.
7. Trouver le nombre suivant, le nombre précédent avec / sans la bande numérique.
8. Compter à l’envers.
9. Placer les nombres dans l’ordre (croissant ou décroissant)

Aspect cardinal du nombre

1. Déterminer le cardinal d’une collection.
2. Comparer des quantités (plus que, moins que, pareil, égal, autant que), utiliser l’égalité, l’inégalité.
3. Créer des collections de cardinal donné.
4. Associer / réaliser des collections équipotentes.
5. Ajouter / retirer pour obtenir une quantité.
6. Transformer des collections pour les égaliser.

Représentation, image du nombre

1. Représenter / lire / écrire les nombres de 1 à 10 (de 10 à 30) à l’aide des doigts, de schèmes, de chiffres.
2. Associer des représentations (images) différentes de nombres.

Conservation du nombre Reconnaître une même quantité présentée sous des dispositions différentes (et pouvoir justifier son affirmation). Dénombrer, compter de façon organisée

1. Utiliser des quantificateurs : un peu, beaucoup, …
2. Dénombrer globalement de petites quantités (jusqu’à 5),
3. Dénombrer des quantités plus importantes à l’aide d’un comptage organisé (pas 1 par 1).

Décomposition des nombres

1. Décompositions additives
2. Décompositions multiplicatives

Maternelle Reconnaître et désigner une collection de 1 à 3 objets (M1-M2), globalement pour 4 objets (M3) Dénombrer une collection jusqu'à 5 en comptant. (M1-M2), jusqu'à 9 (M3) : mots-nombres et cardinal. Associer une collection d'objets à une représentation structurée de même quantité (M1-M2), jusqu'à 6 (M3), avec le chiffre correspondant (écriture numérique) (M3) Reconnaître que des collections sont équipotents, pour des objets de natures, tailles ou dispositions différentes (M3), quel que soit l'ordre de comptage (jusqu'à 5) (M3) Construire une collection de cardinal donné, jusqu'à 5 au moins (M1-M2) Comparer deux collections par appariement ou par dénombrement des collections en verbalisant, avec l'aide de l'enseignant si nécessaire (M1-M2, plus en M3) Distinguer les chiffres des autres signes graphiques (M3) Dire les nombres dans l'ordre stable jusqu'à 29 au moins (M3) Décomposer une quantité d'objets (jusqu'à 6) et la recomposer (M3), en dessinant les représentations et les mots-nombres (M3) Se placer ou placer u objet dans une suite et exprimer sa position (M3) Primaire Utiliser les nombres pour communiquer une quantité, une position, un numéro (P1) Utiliser de manière adéquate les dix chiffres à l'écriture des nombres (P1) Représentations des nombres Associer le nom d'un nombre naturel à son écriture en chiffres, jusqu'à 39 (P1), 100 (P2), 1000 (P3), 100 000 (P4), aux millions (P5), aux milliards (P6). Reconnaître les nombres de 1 à 20 (P1), de 1 à 100 (P2), de 1 à 1000 (P3), nombres < 1 exprimés en dixièmes ou composés d'une partie entière et d'une partie non entière (P4) : en P1, P2, - en s'appuyant sur des schèmes structurés (mettant en évidence 2, 5 ou 10) - des collections différentes de même quantité - des variations de positions d'objets d'une même collection (invariance, conservation) - des variations de l'origine et du sens de comptage des objets d'une même collection (indépendance du cardinal) En P2, des représentations des dizaines et des unités. Aspect ordinal - chaîne numérique Dire les nombres dans l'ordre stable jusqu'à au moins 39 (P1), 100 (P2) Compter par 2 et par 5 jusqu'à 20 (P1), par 5 jusqu'à 50 et par 10 jusqu'à 100 (P2) Compter par 10, 20, 25, 50, 100, 200, 500 jusqu'à 1000 (P3), jusqu'à 2000 (P4) Compter par 1000 jusqu'à 20 000 (P4) Compter par 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 0,25 ; 0,125 jusqu'à 2 (P5) Associer les symboles d'ordre aux expressions est plus petit / grand que, égal à (P1) et à leur positions respectives sur une droite orientée graduée (S1) Utiliser les termes liés à la comparaison de nombres (P1) Utiliser les signes <, >, = pour exprimer la comparaison entre deux nombres (P1). Ordonner des nombres, du plus petit au plus grand et inversement (P1), de 1 à 20, de 1 à 100 (P2), de 1 à 1000 Placer sur un nombre et exprimer sa position sur une bande numérique, jusqu'à 20 (P1), jusqu'à 100 en exprimant sa position selon le degré de précision donné (P2) dans un tableau, compléter des portions de celui-ci jusqu'à 100 (P2), jusqu'à 1000 (P3), sur une portion de droite numérique, jusqu'à 1000 en exprimant sa position selon le degré de précision donné (P3) Décomposer et recomposer des nombres jusqu'à 20, en 2 termes, de façon non ordonnée, en plusieurs termes dont l'addition réitérée (P1), multiplicativement sous forme de nombre de paquets de (P1) jusqu'à 100, en 2 termes, de façon non ordonnée (P2) en particulier, en les liant, les nombres 12, 24 et 48 ; 12, 36 et 72 ; 12 et 60, 15 et 45. (P2) le nombre 100, additivement et multiplicativement (P2), idem pour 1000 (P3), pour 1 (P4) Décomposer un nombre en sa partie entière et non entière (P4)

Maternelle un, rien plusieurs (M1-M2) nombres de 1 à 10 (M1-M2) plus que, moins que (M1-M2), autant que, la même quantité que (M3) premier, dernier (M1-M2), deuxième, troisième, quatrième, cinquième (M3) Primaire égal, le même nombre que, autant que, moins que plus petit que, plus grand que (P1) autant en moins / plus que (P2) avant, après, entre, juste avant / après, premier, deuxième, ..., dernier (P1) autant de fois (P3) Plus généralement : Comptage / Dénombrement Quantité Chiffre / Nombre Conservation du nombre Aspect cardinal / Aspect ordinal Représentations du nombre Décompositions du nombre Symboles d'égalité et d'inégalité

2. Base de numération

1. Troc, groupement, base

2. Système de numération

3. Système de numération oral

4. Système écrit de numération

Illustrations : autres numérations

- Qu'est-ce qu'un système de numération ? - Quelles sont les caractéristique de notre système de numération orale, écrite ? - Quelle est la différence entre rang et classe ? - Quelles sont les difficultés de notre système de numération (orale et écrite) ? - Quel est le rôle de zéro dans un système de numération. Existe-t-il toujours ? Pourquoi ? - Comment remédier aux difficultés des élèves concernant ce concept ? - Comment analyser un système de numération ? - De quels exemples historiques dispose-t-on ? - Travaille-t-on parfois dans d'autres bases que dix ? Quelles sont alors les difficultés ?

Dès la maternelle, l'enfant peut faire du troc en échangeant un objet contre un autre. Dans la vie quotidienne, nous regroupons parfois des objets par 2, 4, 5, 6, 8, 12, ... Quand nous devons recompter, par exemple les pièces d'un puzzle, nous les regroupons par plus de facilité, par exemple par paquets de dix. Tous ces exemples sont des traces de groupements. On parlera de base lorsqu'il y a plusieurs échanges de niveaux différents, où l'on utilise toujours la même règle, le même groupement pour passer à une unité supérieure. Le nombre utilisé sera alors appelé base du système de numération utilisé.

Distinguer troc, groupement et base en première primaire Ecrire le nombre d'habitants en Belgique (source Wikipedia) en expliquant la signification de chaque chiffre et en distinguant rang et classe.

Matériel : Pailles ou cure-dents, Base dix (assemblages de 1, 10, 100, 1000), perles Montessori, gobelets à emboîter et étiquettes à supposer (UM, C, D, U), ..., Cartes Calcul'AS, ... Représentations : Tableau (grille) des nombres jusqu'à 100, droite graduée, abaque et glisse-nombre Sur tablette : Nombre Lines, Number Frame, Number Pieces, ... Manipulation de nombres : https://mathigon.org/polypad Décomposition visuelle de nombres jusque 9999 : https://www.geogebra.org/m/attaskq4 Jeu "Troc chez le chef indien" (2 variantes, à comparer) : Applications pour tablette : - Number Frame (Jetons virtuels) - Number Pieces (abaque et matériel iconique) Ecrire un nombre dans une autre base, en ligne Le cuboscope : représenter semi-concrètement les nombres Jeux sur les nombres : voir site Abaques en ligne : - avec exercices : http://www.pepit.be/exercices/primaire3/mathematiques/nombrabaquetx/page.html

Vidéo RTBF « Compter jusque 100 et autres activités » Vidéo RTBF : « Organiser son comptage » :

Quelle est la différence entre numération et numérotation ? Analyser les autres systèmes de numération proposés. Soit le nombre 737. Voici des phrases. Sont-elles vraies ou fausses ? Pourquoi ? A : le chiffre des unités est 7 B : le nombre des unités est 7 Ecrire son âge en base deux, en base six, en base vingt. Nombre mystère à trouver à l'aide des cartes, en disant sur quelle(s) carte(s) il est écrit : chercher l'astuce ! Trouver un nombre à partir de sa décomposition, en ligne : https://www.geogebra.org/m/c56ub5nf

Groupements autres que par dix : histoire : https://cultea.fr/pourquoi-beaucoup-de-produits-sont-vendus-par-6-ou-12.html/amp?fbclid=IwAR0iNrxO7TGiNKa7yxttkPB_CU-RzHaQnY8I4mYmddeQEWtddurc6FsgEik Padlet : https://padlet.com/joelle_lamon/l0mrz4m5aapw Livre : "Les mathématiques à toutes les sauces" de Bernadette Guéritte-Hess (Ed. Le Pommier, 2005) Autres explications : https://www.mathematiquesfaciles.com/bases_2_52421.htm http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/aaaBASE/Specifiq.htm Matériel (Padlet) : https://padletuploads.blob.core.windows.net/prod/222744698/2eca805429c345c53a9d17270e405f84/Liste_mat_riel_de_manipulation_en_math_matique_au_pr_scolaire_et_au_primaire_2016.pdf Lectures Livre : « Aider les élèves en français et en math », De Boeck, cycles 2-3 Livre « Construire le sens du nombre » L’addition et la soustraction, Chenelière Education, 2010

La notion de nombre prend du sens dans des contextes variés, qui permettra de plus d'utiliser des schèmes, des groupements variés, par exemple pour représenter les nombres. Pour les plus jeunes, le troc, les échanges simples puis plus complexes vont installer les prérequis nécessaires à l'étude de notre système de numération, où les échanges ne se font pas avant 10. Faire vivre et verbaliser des échanges, des groupements (équivalences numériques) par 2, par 5, par 10.

Numération Shadock à expliquer L'étude d'autres systèmes de numération, voire la création d'un nouveau système offre la porte d'entrée à bien des raisonnements.

Notre système de numération écrite La base 10 indique que le passage à une unité de rang directement supérieur se fait toujours par groupement de 10 unités A chaque position correspond une puissance de la base (10 pour notre système de numération) La valeur que représente un chiffre dépend de sa position dans le nombre (donnée dans notre système par la classe et le rang). Le zéro sert à indiquer qu'une unité d'un rang n'est pas utilisée Dix chiffres suffisent à représenter tous les nombres. Techniques d'opérations plus simples (cf. calcul écrit). Système additif (par ex. romain, égyptien) Le passage d'un symbole à l'autre ne se fait pas toujours par des groupements égaux . Pour connaître le nombre, il faut additionner la valeur des différents signes qui le composent Des quantités différentes sont exprimées à l'aide de symboles différents. Il n'y a pas de symbole pour les grands nombres. Il n'y a pas de zéro Les opérations sont vite complexes (d'où l'apparition de bouliers)

Notre système de numération orale possède plusieurs caractéristiques : - les premiers nombres sont irréguliers (et doivent donc être mémorisés) 1, 2, ... 16 - plusieurs autres termes ne peuvent s'inventer : 20, 21, 30, 40, 60, (70), 80, 90, 100, 1000 - la façon d'appeler les grands nombres (au-delà du milliard) est particulière : billion, billiard, trillon, trllard etc ... Globalement, il s'agit d'u. système additif (et multiplicatif) Exemple 374 se "lit" 3 x 100 + 7 x 10 + 4

Notre numération écrite se distingue par le rôle de la position des chiffres. Chaque rang a une signification, et trois rangs forment une classe. On a la classe des unités (C - D - U) On a la classe des mille (C - D - U). Au début, on écrit parfois CM, DM, UM On a ensuite la classe des millions, la classe des milliards. On continuera avec billion, billiard, trillion, trilliard, ... Lorsqu'on écrit de grands nombres, on laisse parfois un espace entre les classes pour plus de lisibilité(exemple 27 311 614), ce qui facilite la lecture par classes. Pour de très grands nombres, on passe souvent à d'autres notations : - la notation scientifique (celle de la calculatrice, avec un chiffre non nul devant la virgule) (exemple pour le nombre précédent : 2,7 . 10^7) - la notation ingénieur (où l'exposant doit être un multiple de 3 et est lié à la classe) (exemple pour ce même nombre : 27,3 . 10^6)

Notre système de numération est à mettre le plus possible en évidence à travers les activités mathématiques en insistant sur la notion - d'unité et de dizaine en 2e année - d'unité, de dizaine et de centaine en 3e année, à lire et écrire sous la dictée - d'unité, de dizaine, de centaine, d'unité de mille mais aussi de dixième, de centième et de millième en 4e année en mettant en évidence les rangs, et en s'exerçant à la lecture et l'écriture de nombre - lorsqu'on aborde de grands nombres, en mettant en évidence les classes et les rangs Les techniques de calcul mental mais surtout écrit utilisent constamment le caractère positionnel de notre numération, à mettre en évidence dans les explications.

Pourquoi utiliser des bases inférieures à dix avec les enfants ? Quel en est l'intérêt ? Quelles sont les difficultés dans l'utilisation des heures, minutes, secondes ?

Ecrire et lire de grands nombres et les placer dans l'abaque permet d'aborder la notion de rang et de classe. La notation scientifique s'enseigne en secondaire, mais peut être abordée avant si l'occasion se présente, par exemple en lisant des documents scientifiques.

Vidéo RTBF « Jouer avec les nombres entiers (naturels) (P3-P4) : Base deux : vidéo explicative

Numération et base dix : le pays des Pas Dix : https://lepaysdespasdix.wordpress.com Vidéo U, D, C : https://www.youtube.com/watch?v=3Z80gwvh-7Y

Quelle est la différence entre numération et numérotation ? Analyser les autres systèmes de numération proposés. Ecrire son âge en base deux, en base six, en base vingt. Nombre mystère à trouver à l'aide des cartes, en disant sur quelle(s) carte(s) il est écrit : chercher l'astuce ! Trouver un nombre à partir de sa décomposition, en ligne : https://www.geogebra.org/m/c56ub5nf

Troc, groupements, échanges

1. Reconnaître des groupements de la vie quotidienne.
2. Grouper des objets (ou se grouper) par 2 (paires), par 3, …
3. Procéder à des échanges (1 pour ..) pour des objets de la vie quotidiennes (mains, boîtes à œufs..) ou lors d’un jeu.
4. Reconnaître l'équivalence numérique de collections groupées ou non.

Aspect ordinal du nombre 1. Encadrer entre deux unités, 2 dizaines, ..... Décomposition des nombres 1. Décomposition selon les rangs des chiffres du nombre A CONTINUER

Rangs et classes Utiliser, de manière adéquate, les noms des rangs (unité, dizaine) (P2), centaine (P3), et les noms des classes (des mille, des unités simples, des millièmes) (P4), des millions (P5). Associer le nom d'un nombre composé d'une partie entière limitée aux centaines (P4), unités de mille (P5) et d'une partie non entière limitée aux millièmes à son écriture en chiffres (P4) Dire, lire, écrire, représenter des nombres en chiffres jusqu'à 20 (P1), 100 (P2), 1000 (P3), 100 000 (P4), au million (P5), au milliard (P6) avec une partie non entière limitée aux millièmes et partie entière limitée à la centaine (P4), partie entière limitée aux unités de mille (P5). Transformer l'écriture d'un nombre en une écriture équivalente (écriture fractionnaire et écriture décimale) (S1) Expliquer la présence de zéro dans l'écriture de 10 et de 20 (P1), des dizaines et de 100 (P2), jusqu'à 1000 (P3), jusqu'à 100 000 (P4), jusqu'au million et dans un nombre décimal (P5) Représenter des nombres Représenter des nombres avec du matériel de comptage (P1-P4), à l'aide de schèmes (P1-P2), en D et U (P1), en C,D,U (P3). Représenter ou écrire des nombres jusqu'à 4 chiffres et des nombres inférieurs à 100 comprenant une partie non entière, en M,C,D,U,d,c,m et dans l'abaque (P4), idem en avec des parties entières à 4 chiffres en P5. Décomposer et recomposer les nombres en lien avec la numération décimale (UM, C, D, U) jusqu'à 20 (P1), 100 (P2), 1000 (P3), pour des nombres de 3 à 6 chiffres (P4)

Unité, dizaine (P2) Centaine (P3) Noms des rangs et noms des classes (des mille, des unités simples, des millièmes) (P4), des millions (P5) Mais aussi Groupement, base, échange et équivalence (numérique) Numérotation, numération Numération orale / écrite Numération additive / positionnelle Zéro Rang, classe Virgule (voir plus loin)

Chiffres romains

Vidéo : https://www.rtbf.be/auvio/detail_savoir-lire-les-chiffres-romains?id=2633065 Y'a pas école, on révise ! : Y'a pas école, on révise ! sur AuvioVisionnez gratuitement les vidéos du programme Y'a pas école, on révise ! en streaming sur Auvio. Voir la...RTBF Auvio I V X L C D M un cinq dix cinquante cent cinq cents mille

Numération égyptienne

Vidéo RTBF : « Numération égyptienne » et autres (et pas numérotation …) : https://www.rtbf.be/auvio/detail_des-adjectifs-en-anglais-la-numerotation-egyptienne-les-crocodiles?id=2818066

Chiffres arabes

Les chiffres dits arabes sont en fait d'origine indienne et nous ont été transmis par les Arabes, avec une évolution de la graphie au cours du temps.

Numération babylonnienne

Premières numérations, calculi

Numération maya

Numération sinojaponaise

Leur système est très proche de notre numération orale, mais avec moins d'exceptions ! 347 s'écrira 3 x 100 + 4 x 10 + 7 x 1. La lourdeur pour les calculs amène l'utilisation de bouliers.

Les heures

Rôle de 60 pour convertir de secondes en minutes, de minutes en heures, trace de la civilisation babylonienne. L'utilisation de l'abaque pour les conversions est souvent utile. Opérations sur les heures : https://view.genial.ly/62d9618293db6200199cd88b/presentation-calcul-avec-les-heures-par-mrocca?fbclid=IwAR2eW2XnaGoR36vsxG4F64l7Lg_L5cZWs_axRs9-tavDPGXhZBmOMfh8h-8

Numérationbinaire

La numération binaire est une numération en base deux, beaucoup utilisée en informatique, avec sa dérivée : la base hexadécimale (en base 16), qui utilise les "chiffres" 0,1,..,9,A,B,C,D,E,F.

3. Opérations

1. Opération et opérateur

2. Addition

3. Soustraction

4. Multiplication

5. Tables de multiplication

6. Division

7. Puissances et exponentiation

- Quelle est la différence entre opérateur et opération ? - Quels sont les éléments essentiels d'une addition, d'une soustraction, d'une multiplication, d'une division ? (Vocabulaire et concepts) - Quelles tables de multiplication introduire et comment ? - Comment introduire les puissances ? Quel est le vocabulaire indispensable sur ce sujet ? - Quelles sont les propriétés des différentes opérations ? A quoi serviront-elles ? Voir Calcul mental ...

En numération, l'opérateur est quelque chose qui "agit" sur une collection donnée et traduit donc une action sur une collection. Ajouter, enlever, prendre la moitié (ou une autre fraction), mettre au carré (ou à un autre exposant), chercher le double, ... sont autant d'action sur des collections d'objets et progressivement des nombres. Ce sont des opérateurs que l'on utilisera dans des problèmes où on transforme successivement des collections en ajoutant ou ôtant des objets, et ceci se traduira en général par des flèches qui expriment une action, et qui pourrait se visualiser par un film. Mathématiquement, une opération est une combinaison de deux nombres pour qui en fournira un troisième, le résultat. C'est donc une sorte de photo d'une situation, d'un état, beaucoup plus statique. C'est à cette abstraction-là qu'il faut arriver avec les élèves. C'est une représentation d'une situation, d'une photo, où tous les éléments figurent sur le schéma, parfois implicitement.

A l'école maternelle, on va verbaliser les actions, dont celles d'ajouter, enlever, partager, prendre x fois ou dormir x fois. Ces actions sont liées à un opérateur. On aborde d'abord le vocabulaire des actions, d'abord sans rechercher le résultat puis en le cherchant. D'autres situations, comme le jet de deux dés, ou la mise en commun de plusieurs collections vont donner un sens plus général à l'addition. Le rôle de l'école primaire sera de partir de ces actions, de ces expériences, bref de la notion d'opérateur pour arriver à un concept plus abstrait et plus global, comme le sont les quatre opérations fondamentales. Un soin particulier sera mis ensuite sur la lecture et l'écriture de l'opération, et sur la signification du symbole égal comme relation et pas juste comme incitation à calculer.

Matériel concret : - jetons, bouchons, marrons, ... - Réglettes Cuisenaire Représentations visuelles - Blocs (Méthode de Singapour) - Cartes Calcul'AS - Cartes SpielMal, Arithma où les multiplications sont visualisées par un quadrillage. - Table de Pythagore reprenant toutes les multiplications des tables dans un tableau (faisant facilement apparaître la commutativité de la multiplication) Jeux sur tablette : - Duel math - Défi tables, 120 secondes (apps de Christophe Auclair de l'Académie de Dijon) - Roi des maths, - Calcul@tice - Solve Me Mobile accessible aussi en ligne sur https://solveme.edc.org/mobiles/ App et site Mathador Chrono (https://www.mathador.fr/chrono.html) et Solo (https://www.mathador.fr/solo.html) Application Nombre Cible : http://www.multimaths.net/nombrecible.php Jeux : - Mathador - Fou des maths (Mad maths) - Trio - Arithma - Folix - Math Sumo Notons qu'il y a une foule de défis possible à tous les niveaux avec de simples dés ! Exercices sur les Tables de Multiplication à télécharger : https://apprendre-reviser-memoriser.fr/jeux-pedagogiques-tables-multiplication/?fbclid=IwAR1WHUEGMyRVftVINev2vAax08X1MiV7kLfAqUILKUgZR51phlgoGfoi9lA Jeu en ligne et dés en lignes (taper 2d20 dans google) Idées diverses pour aider à mémoriser les tables Dobble des maths et opérations : https://joliesmaths.fr/fabriquer/le-dobble-des-maths/?fbclid=IwAR0kbkWuNopc4sP1wNahOHOIt6rUF0NZ_wQBU0KFF7VD_NoyQMW5V5MGKuQ Représentations diverses de nombres, sous la forme de défis avec réponses cachées à partir d’un nombre : https://www.geogebra.org/m/cenfsa35?fbclid=IwAR3qEb-HgakIhPHtcMwB-sQBOrfYLZ0zrPG9uyZuxwc4y0_xCYmgitHZwwU Outils pour les tables de multiplication : https://methodeheuristique.com/page-2/les-tables-de-multiplication/

Travailler sur : - le vocabulaire et les tables de multiplication, à connaître mieux que des élèves de 6e primaire ! - les erreurs de conception possibles et leur remédiation - les exercices où l'on fait varier dividende ou quotient ou reste Construire un questionnaire sur ce chapitre (Kahoot, Plickers, Wooclap) Exercices sur les tables … et autres ! https://www.logicieleducatif.fr/math/calcul/tablesmultiplication.php?fbclid=IwAR1OkgPSM2wRS8WB2z1QdpUWdzxfVsC8wr6p0uy6qhk59ZUCESsN1mouh6k Analyser l'image suivante et expliquer le raisonnement sous-jacent :

Numération et « Pop it » : https://youtu.be/NgLVQr_8d7Q Revisions tables : https://view.genial.ly/6114e89f3246b00ddd495d98?fbclid=IwAR1_C3IGSokWzvU6Okh61fHaYnhQnk2BZQafIBoPjHB65IK4oAmML0JCCZc Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/

Sens des opérations : faire vivre des expériences variées : actions et verbalisation dans un contexte de grandeurs puis de nombres, opérations en contexte (dés par exemple) sur de petites quantités. Contextualisation : utiliser un maximum de contextes de la vie quotidienne (cuisine, jardinage, organisation de la classe, distribution de matériel, activités artistiques, psychomotricité, ...) pour mettre en évidence les opérations que l'on utilise, les décompositions. Décompositions : elles permettent de se faire une image plus statique des opérations, et obligent à changer son regard pour s'int"rester à des éléments différents. Créer des décompositions, verbaliser ce qui est représenté (arbre, ensembles, blocs rectangulaire) de différentes façons. Sens du signe = à travailler spécifiquement, par exemple avec l'image de la balance. Préparer aux calculs lacunaires, à des égalités du type 5+3 = 6+2, utiliser le jeu Zahlen Mobile ou SolveMe Mobile et traduire sous forme d'une (in)égalité ce qui a été fait. Faire retrouver des erreurs parmi des égalités.

• Faire créer des calculs (avec la réponse)
• Avec les nombres 1,2,3 et 4, trouver un maximum de nombres différents.
• Inventer de nouvelles opérations, par exemple x*y = 2x+3y, les faire trouver à partir de quelques exemples.

FFJM 2018 Matthieu a 99 billes de plus que Mathias. Après une partie acharnée, Mathias gagne et reçoit 39 billes de Matthieu. Combien Matthieu a-t-il maintenant de billes de plus que Mathias ? Si on ajoute à 1018 la somme de ses chiffres, on obtient 1028 (1018 + 1 + 0 + 1 + 8 = 1028) Quel nombre augmenté de la somme de ses chiffres est égal à 1018 ?

Associer une combinaison de pièces et /ou billets avec le prix (arrondi à l'unité) d'un bien (<20€ en P1, <100€ en P2) (FHGES) Utiliser les pièces et les billets pour faire de petits achats (FHGES, P3) Compléter une frise chronologique graduée pour dater une information (FHGES, P3) Lire une frise chronologique graduée pour dater une information (FHGES, P3) Lire la frise chronologique pour prélever une information (FHGES, P4, P5) Compléter une frise chronologique avec une information relative à un repère temporel (FHGES, P4), en y plaçant les périodes conventionnelles de l'histoire et les dates charnières (FHGES, P6)

En mathématique, pour atteindre des niveaux d'abstraction supérieurs, il est nécessaire d'automatiser les aspects les plus simples, à savoir ici les résultats des opérations de base, et en particulier les résultats des multiplications des nombres de 0 à 10, celui n'exclut pas d'autres résultats, liés par exemple à la décomposition de 10, 100, 1000, nombres particulièrement utiles dans notre numération. Les tables de multiplication ne sont qu'une façon d'aider à l'apprentissage des multiplications en structurant celui-ci.

Il y a plusieurs sens à la division, qui est l'opération réciproque de la multiplication. Considérons d'abord la division (entière, dite parfois division euclidienne) exacte. On l'associe souvent d'abord à un partage d'une collection d'objets entre x personnes, dans les situations où chaque objet est partagé. Ceci permet d'écrire un calcul comme par exemple 12 : 3 = 4 (D = q x d) 12 est le dividende (le nombre d'objets à partager), noté souvent D 3 est le nombre de personnes ou diviseur, noté en général d 4 est la part de chacun, ou quotient, noté en général q On peut également rencontreront situation où on veut, par exemple à l'aide de 15 objets au départ, construire des paquets de 3 objets et savoir combien il y en a. Cette fois, il ne s'agit plus de partage mais de mesure ou de contenance. On connaît le contenu des paquets, mais pas leur nombre. Le calcul reste le même. Il y a quelques cas particuliers, toujours associés à 0 et à 1. - On ne peut pas diviser par 0 (on pourra montrer aux plus grands que la réponse est alors infinie) - Un nombre divisé par 1 reste pareil : a : 1 = a (ce qui n'et pas vrai pour 1 : a) - 0 divisé par n'importe quel nombre non nul donne 0 Une division entière peut également ne pas être exacte, lorsque des objets ne peuvent pas être tous pris. Il s'agit d'une division avec reste. Le calcul s'écrit alors D = q x d + r, avec r (le reste) < d. (Attention aux erreurs !!) Nous aborderons la division non entière plus tard, puisqu'elle utilise des nombres à virgule ou des fractions.

A l'école maternelle, on insiste sur le vocabulaire et l'action d'ajouter, et on rencontre un maximum de situations de la vie quotidienne où on effectue des ajouts (liés à un opérateur) et où on rassemble des collections, des ensembles, en s'intéressant au cardinal (nombre d'éléments) de chaque ensemble et de l'ensemble résultat. Plus mathématiquement, on a au départ deux ensembles (A et B) disjoints (les deux ensembles de départ, qui n'ont aucun élément commun), dont on connaît pour chacun le cardinal (a et b), et on s'intéresse au nouvel ensemble, union de ces deux ensembles (A et B), dont le cardinal vaut a+b, la somme de chacun des cardinaux des ensembles de départ. Dans l'addition a+b=c, a et b sont les termes, et c est la somme.

La soustraction est l'opération réciproque de l'addition. Elle peut se définir à partir de celle-ci comme étant "ce qui manque" pour obtenir un nombre donné, que l'on appelle le complément, ou comme la différence entre deux nombres donnés. On se place cette fois pour la représentation mathématique dans un ensemble A de cardinal a donné, dans lequel est inclus un ensemble B de cardinal b donné. Le cardinal de A\B appelé aussi Complémentaire de B par rapport à A est le cardinal de l'ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B, c'est-à-dire la différence a-b. Dans une soustraction a-b=c, a et b sont les termes, et c est la différence. Elle correspond à une addition lacunaire : b + ... = a, où l'on recherche le complément de b par rapport à a.

Mathématiquement, on peut visualiser la multiplication de deux nombres a et b sous la forme d'un quadrillage dont on cherche le nombre de carrés. Soit un ensemble A de cardinal a et un ensemble B de cardinal b. La multiplication est l'opération qui à ces deux nombres associe le produit a x b, cardinal du produit cartésien de A et de B, qui est l'ensemble de tous les couples obtenus en combinant un élément de A avec un élément de B. Comme ceci est fort abstrait, on peut dans un premier temps voir la multiplication comme une somme de n fois le même nombre a, a+a+....+a (n termes), que l'on écrira n x a (si on veut mettre en évidence le fait que l'on prenne n fois un paquet de a objets) comme en Belgique et parfois a x n (si on veut mettre en évidence l'idée que le paquet de a objets est pris n fois) comme en France. Le nombre de départ a est dit multiplicande. Le nombre de fois que l'on prend a est dit multiplicateur Le résultat s'appelle le produit. Comme la multiplication est commutative, les deux rôles sont permutables, et on parle plutôt de facteurs une fois que l'on a pu abstraire le concept. On retrouve ce terme dans la factorisation, qui consiste à transformer un nombre en produit de plusieurs autres. Deux nombres jouent un rôle particulier pour la multiplication : 0 est absorbant : a x 0 = 0 = 0 x a, a pouvant être remplacé par n'importe quel nombre. 1 est neutre : a x 1 = a = 1 x a

Comment introduire concrètement l'addition de deux nombres ? - proposer deux nombres (et en lien, deux collections de jetons) - demander "combien cela fera en tout" - verbaliser et écrire ... + .... = .... pour l'exemple choisi Plus tard, on insiste sur le vocabulaire : on a effectué une addition de deux termes et on a cherché le résultat, qu'on appelle la somme. On aborde le cas particulier de 0 : 7 + 0 = 7 = 0 + 7 0 est neutre pour l'addition La commutativité de l'addition apparaîtra naturellement, en changeant son regard sur la situation de départ (miroir ?) 3 + 2 = 2 + 3 On peut construire une table d'addition reprenant les résultats de l'addition de nombres jusqu'à 5, jusqu'à 10, qui seront mémorisés.

Comment introduire concrètement la soustraction ? Souvent, on commence par aborder la soustraction comme opérateur, en proposant des situations où on a un nombre d'objets, on en enlève, et on demande combien il en restera. Il est important de proposer également des situations où on recherche "combien il manque pour arriver à", c'est à dire le complément d'un nombre donné (par rapport à un autre) - proposer deux étiquettes de nombres (et en lien, deux collections de jetons) - demander la différence (ou comparaison, écart) entre le plus grand nombre et le plus petit. - verbaliser et écrire ... - .... = .... pour l'exemple choisi Plus tard, on insiste sur le vocabulaire : on a effectué une soustraction de deux termes et on a cherché le résultat, qu'on appelle la différence. D'autres mots sont aussi utilisés : enlever, ôter, soustraire, perdre, ... On aborde le cas particulier de 0 : 7 - 0 = 7 (mais 0 - 7, ce n'est pas la même chose ! La soustraction n'est pas commutative 7 - 4 ≠ 4 - 7 On peut réutiliser la table d'addition reprenant les résultats de l'addition de nombres jusqu'à 5, jusqu'à 10, et retraduire son contenu sous forme de soustraction, en s'intéressant particulièrement aux nombres 5, 10, 20, 100, 1000 importants pour notre numération.

Pour introduire la multiplication, il y a deux visions complémentaires. La première, c'est l'idée des paquets que l'on va prendre un certain nombre de fois, et l'addition répétée, du type 5 paires de chaussettes font 10 chaussettes, 3 paquets de 4 bouteilles font12 bouteilles. Les deux nombres sont différents : il y a le contenu du "paquet" et le "nombre de fois" que l'on doit prendre un paquet. Les "cas limites" doivent être abordés : 1 est neutre (et ne modifie pas le nombre de départ), 0 est absorbant (prendre 0 fois, c'est ne rien prendre, donc le résultat fait 0). L'autre, plus proche de la multiplication mathématique, consiste à constituer par exemple des cartes ou un matériel logique avec deux critères (par exemple 4 objets ou animaux ou personnages et 3 couleurs). On peut réaliser 4 x 3 = 12 cartes différentes, en reprenant une seule fois chaque possibilité. Comme c'est plus abstrait, ce sera surtout intéressant quand on utilisera la commutativité de la multiplication, qui demande une vision plus globale de la multiplication. C'est cette commutativité qui permettra par exemple d'alléger l'apprentissage des tables de multiplication.

L'objectif des tables de multiplication est de structurer l'apprentissage des multiplications de petits nombres, indispensable pour la suite : calcul mental, calcul écrit, multiples et diviseurs, fractions équivalentes et simplifications de fractions. Elles ne sont donc qu'un outil pour aider à mémoriser des calculs. Elles n'ont de sens pour l'enfant que s'il maîtrise le concept de multiplication, et si les calculs à mémoriser ont un sens pour lui. On procède en général en plusieurs étapes pour construire les calculs de la table : - on propose une situation concrète de paquets d'un nombre d'objets, souvent imagé (chaussures et paires pour la table de deux, doigts de la main pour la multiplication par 5 ou table de 5, pattes d'insecte pour la multiplication par 6, semaines ou nains pour 7, pattes d'araignée pour 8, pattes de crabe pour la multiplication par 10) - A chaque situation, on associe une image de la situation (représentation iconique) - A chaque situation, on associe la multiplication qui lui correspond. - On structure la table et on la mémorise en mélangeant progressivement les calculs pour ne pas que l'enfant n'apprenne que les résultats. De nombreux exercices de drill et surtout un retour régulier ont pour objectif d'entretenir ce qui a été mémorisé. Les outils de mémorisation sont multiples : multimalins, jetons ou réglettes, mémos divers, flashcards, ... ATTENTION !!! En Belgique, on introduit en général 3 x 5 comme étant 3 paquets de 5 objets, et la table (ici de 5) s'écrit 1x5, 2x5., 3x5, .... En France, on introduit 3 x 5 comme étant un paquet de 3 objets pris 5 fois, et la table (ici de 3) s'écrit 3 x 1, 3 x 2, 3x3, 3x4, ... Mathématiquement, à long terme, la multiplication est commutative et ceci n'a pas d'importance (d'où l'illustration fréquente par un quadrillage, que l'on pourra faire pivoter sans changer le nombre de cases), mais pour les enfants la cohérence de la représentation est importante pour comprendre le concept.

Opération plus complexe qu'il n'y paraît ! La notion de partage s'introduit dès la maternelle, et en primaire à l'aide des premières décompositions multiplicatives. La division exacte d'un certain nombre d'objets s'introduit assez facilement, tout comme son expression sous forme de calcul. Le vocabulaire est à préciser : dividende, diviseur, reste Il est important à ce stade de proposer aussi des divisions "de mesure" où l'on connaît le contenu des parts, mais pas leur nombre. Par exemple, on a douze crayons, et on veut faire des paquets de deux crayons par élève. A combien d'élèves peut-on donner un paquet ? Les cas particuliers des nombres 1 et 0 sont à aborder : - diviser (un nombre non nul) par 0 n'est pas possible (et donne en réalité l'infini, voir plus tard) - diviser par 1 ne change rien - diviser 0 par un nombre non nul donne 0 La division (entière) avec reste donne lieu à deux spécificités : Certains objets ne peuvent être partagés, donc on ne les partage pas (on verra plus tard qu'on peut parfois les couper, lorsque ce sont des grandeurs continues, comme des tartes, et pas des objets- unités, qu'on appelle grandeurs discrètes). L'écriture du calcul est différente, et doit mentionner le reste. Attention aux erreurs !! On a deux possibilités : - Ecrire le calcul en isolant le dividende (exemple : 17 = 3 x 5 + 2) : D = q x d + r - Ecrire la division, le quotient et le reste (la division de 17 par 5 donne comme quotient 3 et comme reste 2) La division non entière, où l'on partagera les objets qui restent en les coupant s'abordera dans le contexte des fractions et des nombres à virgule.

Multiplication : vidéos françaises (transition primaire – secondaire) : https://www.lumni.fr/dossier/la-multiplication

Tables de multiplication et apps : https://classetice.fr/2022/06/03/4-applications-pour-travailler-les-tables-de-multiplication/

Opérations : division : didactique : http://dsden89.ac-dijon.fr/docs/maths/domaine_numerique/situations_de_partage_par_2_et_par_5.pdf Division : vidéos françaises (transition primaire – secondaire) : https://www.lumni.fr/dossier/la-division

Liens utiles pour les enseignants (exercices à imprimer etc) : Addition : ▪ https://www.toupty.com/addition-cp-ce1-ce2-a-imprimer.html ▪ https://www.les-coccinelles.fr/calculautomatise.html#Ecrituresadditives ▪ https://www.pass-education.be/addition-calculs-mathematiques-3eme-primaire/

Addition, soustraction

1. Comprendre / utiliser (geste, parole, dessin) dans un contexte non numérique les mots : « ajouter, retirer, mettre ensemble, rassembler, réunir ».
2. Ajouter, retirer une quantité donnée.
3. Rechercher le complément d’un nombre par rapport à une quantité donnée (trouver « ce qui manque » pour arriver à …).
4. Décomposer / recomposer une quantité.
5. Effectuer de petites additions / soustractions de quantités présentées sous diverses formes (situations ou états, transformations).(Le passage à l’écriture opératoire se fera en 1ère primaire)
6. Rencontrer des situations où apparaît l’associativité ou la commutativité de l’addition.
7. Etablir puis mémoriser des tables d’addition U + U
8. Calculs du type DU + U, DU - U sans puis avec passage à une autre dizaine
9. Calculs du type DU + DU, DU - DU sans puis avec passage à une autre dizaine

Egalité Reconnaître / Associer / Compléter des décompositions différentes d'une même quantité Multiplication / Division

1. Comprendre / Utiliser le mot : « fois » (dormir 3 fois, taper 3 fois, …), les mots « partager, diviser ».
2. Créer x paquets de 2, de 3, …
3. Distribuer des objets par 1, par 2 (paires), par 3, …
4. Décomposer / recomposer une quantité (parts égales).
5. Prendre la moitié, le double.
6. Partager une quantité (parts égales, parts inégales, sans / avec reste).
7. Utiliser le vocabulaire relatif aux fractions : moitié, tiers, quart.
8. Effectuer de petites multiplications / divisions de quantités présentées sous diverses formes et comprendre le concept
9. Etablir puis mémoriser des tables de multiplication, en effectuant des liens entre elles grâce à la commutativité de la multiplication
   • x 2, x 4
   • x 5
   • x 3, x 6 (en lien aussi avec x 2)
   • x 8 en lien avec x 2 et x 4
   • x 9 en lien avec x 3
   • x 7
10. Rencontrer des situations où apparaît l’associativité ou la commutativité de la multiplication.

Sens des opérations Ajouter / Retirer un objet à la fois d'une collection, en situation (M1-M2) S'avancer ou avancer un objet d'une case à la fois, de la quantité communiquée sur une bande orientée (marelle, plateau de jeu ...) à partir de la case qui suit la position de départ. (M3) Utiliser, en situations concrètes, le vocabulaire familier lié aux 4 opérations (P1) Identifier l'opération à partir d'une situation (P4), une suite d'opérations à partir d'une situation (P5) Egalité Montrer ce qui est le même ou pas, ce qui est égal ou pas, entre deux collections ou représentations d'objets (P1) Utiliser l'égalité en terme de résultat (P1) Utiliser l'égalité en terme d'équivalence (jusqu'à 20 en P2, jusqu'à 100 en P3, 200 en P4) Addition - Soustration Associer l'opération à son symbole (P1) Associer à l'addition et à la soustraction de deux nombres (entiers ou décimaux (positifs ou négatifs) un déplacement ou un écart sur la droite numérique (S1) Utiliser les symboles = et ≠ (est égal à, n'est pas égal à) (P1) Connaître de mémoire les additions dont le résultat vaut 10, vaut maximum 10 (P1), les tables d'addition des dix premiers nombres (P2) Connaître de mémoire les soustractions dont le premier terme est maximum 10 (P1) Connaître de mémoire les décompositions de 100 en 2 termes (P3) Multiplication - division Associer la multiplication à son symbole (P2), idem pour la division (P3) Connaître de mémoire les doubles jusqu'à 20 et les moitiés des nombres pairs jusqu'à 20 (P2) Connaître de mémoire les décompositions de 100 en 2 facteurs (P3) Tables de multiplication (à partir de situations, dessins, mots, calculs : additions réitérées et multiplication) T2, T5, T10 (P2) en les connaissant de mémoire, T4, T3, T6 en les connaissant de mémoire (P3), T7, T8, T9 et connaître de mémoire toutes les tables jusqu'à 10 (P4) Exprimer les régularités observées au sein des tables et les lier : T 2, 5 et 10 (P2), T2 et T4 (P3), T3 et T6 (P3), T 2, 4 et 8 (P4), T 3, 6 et 9 (P4) pour les nombres jusqu'à 100 (P5) Parenthèses et priorités Reconnaître les parenthèses comme symbole intervenant dans les procédures de calcul (P3) Utiliser l'égalité adéquatement dans des enchaînements opératoires (P3) Ajuster les fausses égalités pour qu'elles deviennent vraies. (P3) Résolution de problèmes et opérations Voir aussi Traitement de données - problèmes Maternelle Résoudre des situations de vie de la classe : - comparer des collections, dénombrer des collections jusqu'à 5 (M1-M2), jusqu'à 9 (M3), - ajout/retrait d'un objet à la fois (M1-M2), - effectuer une opération (ajouter, retirer, prendre autant de fois, partager) en verbalisant son action et énonçant le résultat (M3) Primaire Résoudre un problème faisant intervenir des opérations sur les nombres : - en traduisant une situation contextualisée par un dessin, une verbalisation puis l'écriture d'une opération mathématique (P1), d'opérations mathématiques (P3) - en estimant les calculs (P4) - en effectuant les calculs (P1)(+, - en P1, x en P2, : en P4) - en communiquant le résultat avec précision (P1) et en verbalisant la démarche (P2) - en vérifiant la plausibilité de la réponse (P2) Résoudre un problème à l'aide des opérations et de leurs propriétés (S1) Résoudre un problème qui nécessite l'utilisation des outils algébriques (S2) Imaginer une situation en partant de la communication d'un résultat (P2) Rédiger un énoncé en partant d'un calcule et de son résultat (P4), de maximum deux calculs consécutifs et des résultats (P5), trois calculs consécutifs et des résultats (P6) Rédiger un énoncé traduisant une expression algébrique, une équation ou un schéma (S1) Prolongements en secondaire : Enoncer les règles permettant de multiplier, de diviser deux nombres entiers (S1), d'opérer sur des fractions (S2) Définir une puissance à exposant naturel, la base étant positive. (S1) Dans un contexte algébrique, reconnaître le résultat d'une opération sur des expressions algébriques (S1) Associer une expression algébrique comportant une somme à la longueur d'un segment, un produit à l'aire d'une surface, le carré / cube d'une expression algébrique à l'aire d'un carré / au volume d'un cube. (S1) Enoncer les carrés des 15 premiers naturels (S1)

Verbes et actions en maternelle : geste et verbalisation Ajouter, en plus, réunir, mettre ensemble (M3) Retirer, enlever, en moins (M3) Prendre x fois, faire des paquets (M3) Partager, couper en (M3) Verbes et actions en primaire Ajouter, avancer de, monter, mettre en plus (P1) Regrouper, rassembler, mettre ensemble, mettre avec, ... (P1) Reculer, enlever, retirer, cacher, perdre (P1) Chercher l'écart entre, la différence (P2) Faire des tas, des paquets, des piles de (P1) Prendre plusieurs fois (P3) Partager, répartir en, distribuer à (P1) Noms Addition, soustraction (P1) Est égal à, n'est pas égal à (P1) ou est différent de (P3) Multiplication (P2) Division (P3) Somme, différence, produit, quotient (P4) Termes, (premier et deuxième termes pour la soustraction), facteurs, dividende, diviseur, quotient, reste (P5) Puissance, base, exposant (S1) EN RESUME Opérateur / opération Addition, termes, somme Soustraction, termes, différence Multiplication, multiplicande, multiplicateur, facteurs, produit Table de multiplication Division entière ou euclidienne, exacte ou avec reste, dividende, diviseur, quotient, reste Neutre, absorbant, commutativité

A suivre

A suivre !

4. Calcul mental et opérations

1. Utilité du calcul mental

2. Propriétés des opérations

3. Procédés fondamentaux

4. Règles de priorité

- A quoi sert le calcul mental ? - Quelles sont les propriétés des opérations que l'on va utiliser ? - Quels sont les principaux procédés utilisés ? - Comment écrire les calculs intermédiaires ? - Quelles sont les règles de priorité quand on a plusieurs opérations ?

A l'heure des calculatrices, le calcul mental reste particulièrement utile pour : - vérifier si une affirmation d'un commerçant est correcte, s'il rend la monnaie sans se tromper ("ne pas se faire arnaquer") - estimer le résultat d'une opération, la note probable avant d'arriver à la caisse d'un magasin, le coût d'un achat de plusieurs objets - vérifier qu'on ne s'est pas trompé en recopiant des nombres - pratiquer une gymnastique mentale - trouver un procédé rapide, économique pour calculer le résultat d'une opération (c'est ce qu'on appelle le calcul pensé) Il ne repose que sur quelques procédés et propriétés des opérations.

Le calcul mental doit davantage s'enseigner comme outil créatif de pensée que comme des techniques utilisées sans réfléchir au sens ni à l'économie de calcul. Il va servir non seulement à trouver rapidement le résultat d'un calcul mais aussi à estimer l'ordre de grandeur d'un résultat, ce qui peut être utile quand on anticipe une action, ou pour vérifier qu'on n'a pas fait d'erreur de copie avec la calculatrice. C'est sans doute la partie des mathématiques de l'école primaire dont l'enseignement a le plus évolué : mettre l'accent sur le raisonnement plus que sur l'apprentissage de nombreuses techniques différentes en apparence va permettre de gagner du temps pour d'autres activités. Il est important de mettre en évidence le type de procédé utilisé (décomposition et distributivité, compensation) pour accéder au calcul pensé. L'idée d'une économie de temps et de calculs domine à travers les différentes activités à proposer.

Jeux sur tablette : - Roi des maths - Calcul@tice - Solo, Chrono, Mathador Jeux : - Mathador - Trio - Le compte est bon Jeu en ligne et dés en lignes (taper 2d20 dans google) : écrire les calculs S'entraîner : https://www.jepeuxpasjaimaths.fr/ « Le compte est bon » en ligne : https://www.educmat.fr/categories/jeux_reflexion/fiches_jeux/le_compte_est_bon/intermediaire.php?fbclid=IwAR0muixLOtAIDme1yOk_6rkfLJFzXZyb3pcOJE1EqsDquAphLSACG8P_sfQ Mathador et calcul mental : https://blog.mathador.fr/petites-activites-pour-le-calcul-mental/9293/?fbclid=IwAR2GEDvc8Ft__1EJ9mnCcKq-9fGCWVGcPYzk_yxapVI6Y-LK6XlYlASdZ-0 Site d’entrainement au calcul mental : https://calculatice.ac-lille.fr De quoi avoir des complexes ? https://player.vimeo.com/video/315536903

Calcul mental et rituels : http://www.ac-grenoble.fr/macitedessciences/IMG/pdf/REP_Rituels_mathematiques_V1.pdf

Effectuer de plusieurs façons différentes, en nommant les procédés utilisés : - 120 : 4 - 48 x 15 - 76 x 0,25 Jeu Trio en ligne : https://acamus.net/index.php?option=com_content&view=article&id=305&catid=41&Itemid=219 C'est le bon moment pour s'entraîner au calcul mental, avec des jeux (comme Mathador) et applications en ligne ! Calcul mental : quelque exercices simples et rapides : https://www.youtube.com/watch?v=K-GAOTDwpjM&feature=youtu.be

Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/ "La course aux nombres" : nombreuses ressources : https://www.ac-strasbourg.fr/pedagogie/mathematiques/competitions/can/?fbclid=IwAR21DbasmqMHERhwOq50-mqd2Ow_U11XjV1_SKSRt4l1uvlZGRRPkGe8SYY Multiplications et doigts : https://view.genial.ly/615ef415ab3a390dde2b3756?fbclid=IwAR02DoONLWet2Rcuk23J7g1cRyTYH25HOGNDSbdwufDNB7tt9VkjgQkLobg Calcul mental et boulier, video : https://player.vimeo.com/video/315536903

Face à un élève en difficulté, voici quelques pistes d'analyse : - revenir au sens des opérations, en les représentant sous des formes variées et dans des contextes variés - reprendre les calculs avec du matériel varié : cure-dents et élastiques, bande numérique, jetons et quadrillage, ... - revenir sur le sens du signe =, par exemple en faisant corriger des erreurs - retravailler les décompositions de 10, de 100, de 1000 - faire (faire) des cartes mentales sur différents nombres - travailler sur l'automatisation des calculs élémentaires (s'ils ont du sens pour l'enfant !).

Les plus rapides peuvent essayer d'imaginer d'autres procédés, inventer d'autres calculs, utiliser des applications qui font appel à la rapidité. Faire écrire une suite de calculs correcte. Jeu et stratégie gagnante, à expliquer (projet) : https://view.genial.ly/5e90c53c0a072f0d9645939d/learning-experience-challenges-jeu-que-je-vais-gagner?fbclid=IwAR2EplYmMnoVFoUntfq3O3ZNOeCCW4xshKM1luz5Ehm1xEYXESDOyWho76s

Un premier ensemble d'outils pour le calcul mental sont les propriétés des opérations : L'addition et la multiplication sont commutatives, on peut donc permuter des termes / facteurs pour faciliter les calculs. Exemples : 56 + 37 + 14 = 56 + 14 + 37 = 70 + 37 = 107 25 x 37 x 4 = 25 x 4 x 37 = 100 x 37 = 3700 L'addition et la multiplication sont associatives, on peut donc grouper (càd mettre mentalement des parenthèses) là où les calculs sont plus faciles à effectuer. Exemples : 56 + 17 + 43 = 56 + (17 + 43) = ... 56 x 20 x 50 = 56 x (20 x 50) = ... Comme on l'a vu, utiliser les rôles de 1 et de 0 peut simplifier un calcul. Enfin, la multiplication distribue l'addition (et la soustraction) a . (b + c) = a . b + a . c et. (b+c) . a = b . a + c . a Remarquons que ceci n'est pas vrai pour la division (ici avec des nombres non nuls),: a : (b + c) ≠ a : b + a : c bien que (b + c) : a = b : a + c : a

Un premier procédé est la décomposition (additive ou soustractive) et l'utilisation de la distributivité. Exemple : 36 x 15 = 36 x (10 + 5) = 360 + 180 = 540 Parfois, on utilise des décompositions multiplicatives et l'associativité. Exemple : 36 x 15 = 36 x (5 x 3) = (36 x 5) x 3 = 180 x 3 = 540 On utilise aussi la compensation (pour l'addition et la soustraction, les Français parlent d'écart constant pour la soustraction) : remarquons la différence dans l'utilisation de la compensation, d'une part pour l'addition et la multiplication, d'autre part pour la soustraction et la division.. Exemples 37 + 9 = (37-1) + (9 + 1) = 46 ; 37 - 9 = (37+1) - (9+1) = 28 38 x 5 = (38 : 2) x (5 x 2) = 190. ; 325 : 5 = (325 x 2) : (5 x 2) = 65

Lorsqu'on écrit un calcul complexe, les règles de priorité induisent un ordre dans lequel effectuer les diverses opérations. Globalement, les calculs sont effectués dans l'ordre suivant : - les parenthèses - les exposants - les multiplications et divisions, dans l'ordre dans lequel elles apparaissent - les additions et soustractions, dans l'ordre dans lequel elles apparaissent Pour vérifier si on a écrit un calcul correctement, il suffit de recopier ce qu'on a écrit sur une calculatrice scientifique. Si les résultats sont différents, soit vous avez fait une erreur de calcul ou de recopie, soit vous avez mal noté votre calcul.

Utiliser les propriétés des opérations va aider pour le calcul mental. L'addition et la multiplication sont commutatives, Exemples : 56 + 37 + 14 = 56 + 14 + 37 = 70 + 37 = 107 25 x 37 x 4 = 25 x 4 x 37 = 100 x 37 = 3700 L'addition et la multiplication sont associatives, Exemples 56 + 17 + 43 = 56 + (17 + 43) = ... 56 x 20 x 50 = 56 x (20 x 50) = ... Comme on l'a vu, utiliser les rôles de 1 et de 0 peut simplifier un calcul. Exemples 56 + 0 + 43 = 56 + 43 = ... 34 x 1 x 5 = 34 x 5 = ... 56 x 0 x 50 = 0 Enfin, la multiplication distribue l'addition (et la soustraction) Exemples 27 x (10 + 1) = 270 + 27 = 297 27 x (100 - 1) = 2700 - 27 = 2673 Remarquons que ceci n'est pas vrai pour la division ,: 18 : (3+6) ≠ 6 + 3 : bien que 36 : 3 = (30 + 6) : 3 = 10 + 2 = 12

Passage à la dizaine ? Souvent, on impose un procédé de décomposition (exemple 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15). Si ce procédé est intéressant à long terme, il n'a souvent pas encore de sens pour l'enfant au moment où on l'aborde (visualiser la bande numérique est tout aussi rapide). Une piste : faire utiliser du matériel où rassembler en dizaine a du sens, souvent avec des nombres plus grands. Comparer des démarches Exemple 17 + 39

• avec passage à la dizaine (et décomposition additive) : 17 + 3 + 36 = 20 + 36 = 56
• avec décomposition du 2e nombre : 17 + 40 - 1 = 57 - 1 = 56
• avec compensation : 16 + 40 = 56
• en travaillant dans l'abaque (cf. addition écrite) : (10 + 30) + (7 + 9) = 40 + 16 = 56

Multiplier par 10, 100, 1000 (et diviser) Anticiper le problème des nombres à virgule en utilisant le glisse-nombre et en insistant sur le déplacement du nombre dans l'abaque. Calcul pensé ou réfléchi A long terme, c'est avoir un raisonnement (si possible rapide) pour trouver la réponse à un calcul qui est important. Faire verbaliser, comparer des démarches de résolution. Estimation Le calcul mental sera utilisé pour estimer l'ordre de grandeur du résultat d'une opération complexe, qui se résoudra à l'aide du calcul écrit. C'est sans doute la plus grande utilité du calcul mental dans la vie de tous les jours (avec la vérification de la monnaie rendue !).

A l'aide des nombres 2, 3 et 6, de deux opérations et de parenthèses, trouver un maximum de réponses différentes. Les vérifier ensuite à l'aide d'une calculatrice, ou les comparer avec les réponses obtenues avec votre voisin.e

Calcul mental : outils divers : https://classetice.fr/category/disciplines/mathematiques/calcul-et-calcul-mental/

Priorités des opérations : vidéo française : https://www.lumni.fr/video/quelles-sont-les-priorites-operatoires Règles de calcul : Genially de test : https://view.genial.ly/632ec4bc5cee5e001132c48f/interactive-content-qvgdm-regles-de-calcul-5eme Règles de priorité avec Garfield (Genially) : https://view.genial.ly/6380adb8401c6a0011080a4c/interactive-content-garfield-et-les-priorites

Calcul mental

1. Calcul mental avec multiplication, division, associativité de la multiplication: x 2 , : 2 ; x 10, : 10 ; x 5, : 5, x 100, x 50, x 25
2. Calcul mental avec distributivité
3. Calcul mental avec décomposition additive / soustractive: x 9, x 11
4. Calcul mental avec compensation croisée, parallèle
5. Calcul mental plus complexe
6. Estimation du résultat d'une opération sur des nombres

Propriétés des opérations Utiliser la commutativité de l'addition (P1), de la multiplication (P2) Utiliser l'associativité de l'addition et de la multiplication (P2) Justifier des techniques de calcul numérique à l'aide des propriétés des opérations (commutativité, associativité, neutre, absorbant) (S1) Parenthèses et priorités Reconnaître les parenthèses comme symbole intervenant dans les procédures de calcul (P3) Procédés Utiliser la technique de décomposition pour effectuer une addition ou une soustraction (P2) Utiliser pour effectuer une opération, une technique parmi la décomposition, la distributivité, la compensation (P3) Justifier des techniques de calcul mental à l'aide de la décomposition et de la distributivité. (S1) Utiliser la comparaison des nombres pour effectuer une opération (exemple si 6 x 12 = 72, alors 60 x 12 = ...) (P3) Effectuer des opérations spécifiques : multiplication par 10 et par 20 (P2), par 100, par 4 et par 8 (P3), par 9, par 11, par 5 par 50 (P4), par 99, par 11, par 101, par 110, par 25 (P5), par 250 (P6) par 0,1 ; par 0,5 ; par 0,25 (P5) division par 10 et par 4 (P3), par 100, par 5 et par 8 (P4), par 50 et par 25 (P5) par 0,1, par 0,5 et par 0,25 (P6) Ecrire une fraction équivalente à une autre, simplifier une fraction, rendre une fraction irréductible (S1)

Estimation, vérification Associativité, distributivité Décomposition, compensation Priorité

5. Calcul écrit

1. Utilité du calcul écrit

2. Addition écrite

3. Soustraction écrite

4. Multiplication écrite

5. Division écrite

Autres techniques

- A quoi sert le calcul écrit ? - Quelles techniques de calcul écrit enseigner ? - Pourquoi commencer tantôt par la droite, tantôt par la gauche dans un calcul écrit ? - Comment vérifier son calcul ? - Est-il intéressant d'enseigner d'autres techniques de calcul écrit ?

A l'heure des calculatrices, le calcul écrit a été largement supplanté par la calculatrice dans la vie quotidienne. Il reste utile pour pouvoir effectuer un calcul en l'absence de celle-ci. Contrairement au calcul mental, qui peut être une belle source de raisonnement, le calcul écrit relève davantage de coutumes, variables selon les lieux et le temps. Connaître d'autres techniques peut avoir un intérêt : - pour apprendre à analyser des techniques inconnues en dégageant les notions de numération sous-jacentes - lorsqu'on s'intéresse à d'autres civilisations et à leurs coutumes - pour remédier aux difficultés d'un élève en lui proposant une technique plus à sa portée.

Le calcul écrit est une trace de notre civilisation et fait partie d'un héritage culturel. Souvent, le procédé utilisé est décidé par l'école (surtout pour la soustraction), de façon à assurer une continuité dans les apprentissages. L'outil essentiel sera l'abaque, qui aidera à comprendre le raisonnement caché derrière la technique. En formation, effectuer un calcul écrit dans d'autres bases est une façon de repérer les difficultés spécifiques d'un procédé acquis bien souvent par imitation, en vue de mieux s'adapter aux élèves sur le terrain.

Division écrite en ligne Matériel : - Matériel multibase - Abaque Applications sur tablette : - Number Pieces (basic)

Vidéo plus générale : https://www.youtube.com/watch?v=dnuT4NSTv5k

Expliquer les procédés utilisés dans la vidéo suivante : Humour et calcul écrit : https://youtu.be/oJS8GszWJuQ Dans une classe, les élèves ont déjà vu le calcul écrit de la multiplication par un nombre à un chiffre. Quels rappels des prérequis faut-il faire au moment d'aborder la multiplication écrite par un nombre à deux chiffres (On travaille dans la base dix). Donner, pour la soustraction écrite, pour la multiplication écrite et pour la division écrite, trois exemples de vérification possible et expliquer leurs avantages et leurs inconvénients.

Explications addition écrite sous forme de Genially : https://view.genial.ly/6098e481cffc8f0d31bdfe5b/presentation-addition-ecrite-synthese?fbclid=IwAR28ylQZco02CjT9_3PrkNyM6WY-qidISLJFYFmBSvf_pIDgVzxl1YeEPIc CERQUETTI - ABEKANE & Al, Les mathématiques ont une histoire, activités pour le cycle 3", Hachette Education, Paris, 1997 PAUVERT Marcelle, Faire comprendre la soustraction, Nathan, Paris, 1990 Division euclidienne Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/

Revenir aux opérations et aux tables d'addition et multiplication. Retravailler les opérations sous forme de calcul mental, puis avec matériel et traduction dans l'abaque. Travailler les procédés de vérification : estimation, opération réciproque, calcul mental.

Comprendre d'autres techniques de calcul à travers l'histoire et les civilisations, les expliquer aux autres élèves. Travailler les opérations dans d'autres bases est un autre défi intellectuel.

La technique de la division écrite diffère des autres parce qu'elle fait commencer par les unités des rangs les plus élevés.

Dans l'addition écrite, les éléments essentiels sont : - l'abaque et la disposition des chiffres - le rôle de chaque chiffre et la prise en compte des reports - la vérification, souvent par estimation.

Pour la soustraction écrite, il y a plusieurs techniques. La disposition reste liée à l'abaque. En Belgique, on utilise plutôt la méthode des emprunts, qui consiste à "emprunter" une unité de rang supérieur pour pouvoir effectuer la soustraction à un rang donné. En France, la méthode la plus répandue est celle des ajouts, qui utilise la compensation. Si on ne peut pas effectuer la soustraction à un rang donné, on ajoute dix unités de ce rang au premier terme, et par compensation une unité de range directement supérieur au second terme de la soustraction. Parfois, on voit aussi la soustraction comme une recherche de complément, une addition écrite dont on ne connaîtrait pas le deuxième terme. La vérification peut se faire par estimation, ou en additionnant deuxième terme et différence pour retrouver le terme de départ.

A travers l'histoire et les pays, on peut relever de nombreuses techniques pour la multiplication écrite. L'étude de celles-ci peut aider à mieux maîtrise notre système de numération, mais aussi donner des pistes de remédiations pour les élèves en difficulté. Un prérequis essentiel est la maîtrise des tables de multiplication. A nouveau, la disposition des chiffres selon leur rang est importante. C'est la présence et le nombre de retenues qui font la difficulté d'un calcul, et la présence de zéros. La vérification se fait essentiellement par estimation. Nous parlerons plus tard de la preuve par neuf, qui utilise d'autres concepts.

Pour introduire l'addition écrite, une progression classique est : - d'abord introduire la disposition pour un calcul simple (sans report), en insistant sur le lien entre la disposition et l'abaque (des couleurs selon les rangs peuvent aider) - aborder progressivement les reports (appelés parfois retenues) - proposer l'un ou l'autre nombre avec des zéros, ce qui ne change rien. La vérification peut se faire par estimation et calcul mental. Remarque : le report peut aussi s'écrire en-dessous Plus tard, on aborder l'addition des nombres à virgule en insistant à nouveau sur le rôle des chiffres.

La première question à se poser est de déterminer la technique que l'on va enseigner. Deux idées prédominent : - la cohérence d'école, de façon à ce que si un enfant change d'enseignant, il ne change pas de technique - la souplesse, en montrant les différentes méthodes et en laissant l'enfant choisir. Quelle que soit la technique choisie, il sera important de pouvoir la justifier dans l'abaque, et par du matériel concret (U, D, C, UM) Le calcul mental permet d'estimer le résultat, et l'addition écrite de le vérifier plus finement. Plusieurs difficultés sont à traiter spécifiquement : - le nombre d'emprunts à effectuer - la présence de zéro(s) (non consécutifs puis consécutifs) dans les nombres, et surtout pour le premier terme - les nombres à virgule (voir plus tard)

Voici un exemple de progression, à étoffer. 12 x 4 (permet d'introduire la disposition) 13 x 6 (donne lieu à une première retenue) 237 x 7 237 x 17 (on multiplie par un nombre à deux chiffres) 237 x 1002 (les zéros) Remarque : on peut aussi écrire un calcul mental par ligne, l'expliquer avec le rang des chiffres, et réduire progressivement le nombre de lignes.

Quelques exemples de problèmes d'introduction : Dans une classe de 19 élèves, on décide de partager les bics. Il y a 20 paquets de 12 bics et 26 bics isolés. Comment faire et combien de bics aura chaque élève ? On loue un car pour une excursion à laquelle participent 26 élèves. Le prix à payer pour le car est de 572 €. Combien chaque élève devra-t-il payer ? Il est souvent plus facile de commencer par des divisions exactes. Les difficultés à aborder sont : - diviseur à un chiffre, à plusieurs chiffres - dividende avec zéro(s), quotient avec zéro(s) - division avec reste - virgule au dividende - virgule au diviseur Pour vérifier le calcul, on peut estimer, ou refaire la multiplication. Attention : vérifier constamment l'écriture D = q x d + r Remarque : ne pas hésiter à revenir à l'opération concrète, avec UM, C, D, U en insistant à chaque étape sur le sens de ce qui est fait.

Vidéo addition écrite : https://www.youtube.com/watch?app=desktop&fbclid=IwAR1yIOAdQFGxXYFJXIgHVm0EOzffyeuqxDq01Gg9e6bhamBDoKyTVSjZhJw&v=QPzZ8YtDcDE&feature=youtu.be

Soustraction écrite « à la française » « avec retenue » pour « par emprunts » : https://youtu.be/GmU22OoOGE4

Vidéo RTBF : « Multiplication écrite » et autres activités : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2765437

Syllabus p. 38 à 44 Pouvoir effectuer une soustraction selon les différentes méthodes - en base dix - pour des heures - minutes - secondes - dans d'autres bases (essentiellement en formation initiale) Repérer des difficultés d'élèves et proposer des remédiations. Pouvoir effectuer une multiplication écrite simple en l'expliquant avec l'abaque en base dix (et en formation, dans d'autres bases). Pouvoir effectuer une division écrite en justifiant le procédé par la valeur représentée par les chiffres. Pouvoir compléter les chiffres manquants d'une opération écrite, en justifiant. Pouvoir s'approprier une technique différente (voir "autres techniques")

Calcul écrit

1. Addition écrite avec des nombres entiers (sans puis avec reports)
2. Soustraction écrite avec des nombres entiers (sans puis avec emprunts ou ajouts (compensation)
3. Multiplication écrite avec des nombres entiers (multiplicateur à 1 puis 2 chiffres, nombres avec 0 dans l’écriture)
4. Division écrite avec des nombres entiers (diviseur à 1 puis 2 chiffres, nombres avec 0 dans l’écriture)

Effectuer des additions de 3 termes maximum (P3), limités au dixième (P4), limités au millième (P5) Effectuer des soustractions (technique de m'emprunt et/ou de la compensation) (P3),limités au dixième (P4), limités au millième (P5) Effectuer des multiplications de nombres naturels dont le multiplicateur est un nombre à 1 chiffre (P4), 2 chiffres (P5), 2 chiffres après la virgule (P6) Effectuer des divisions de nombres naturels dont le diviseur est un nombre à 1 chiffre (P5), un nombre naturel limité à 20 et sont le quotient est limité à 1 chiffre après la virgule (P6) Utiliser, en fonction de l'opération et des nombres, la calculatrice pour effectuer des opérations (P4), pour effectuer un calcul comprenant plusieurs opérations (S1), des puissances (S2), pour obtenir une approximation de la valeur d'une racine carrée. Estimer l'ordre de grandeur d'un résultat avant de calculer précisément : addition et soustraction (P3), multiplication (P4), division (P5). Estimer l'ordre de grandeur d'un résultat (S1) Vérifier la plausibilité d'un résultat (P2) (cohérence avec l'estimation, avec la situation (S1)) Utiliser la calculatrice pour vérifier le résultat d'une opération (P3) Utiliser les opérations réciproques pour vérifier le résultat d'une opération. (P2)

Estimation, vérification Associativité, distributivité Décomposition, compensation Priorité

Autres techniques

Bâtons de Neper

Multiplication "per Gelosia"

Méthode « des jalousies » avec GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/ueqszztj?fbclid=IwAR3gnw9L2NXoidkhyIUnuASCZfCbq_CXXetAJtdJ-x7CDaWSorHYqmnHVVU

Multiplication "Spaghetti" ou japonaise

Calcul écrit : méthode des spaghetti en vidéo (chinoise – japonaise) : https://youtu.be/PcninUP0G7E

Multiplication égyptienne

Multiplication égyptienne en vidéo : https://youtu.be/E29VpnmUItI Calculer quelques produits en utilisant cette méthode : - 57 x 27 - 426 x 354 Expliquer ensuite le lien entre cette méthode et la base deux.

Multiplication russe

Vidéo de présentation générale

Vidéo plus générale : https://www.youtube.com/watch?v=dnuT4NSTv5k

Histoire du calcul écrit

A lire sur https://www.sbpm.be/wp-content/uploads/2010/05/Le-calcul-écrit-toute-une-histoire.pdf

Animation GeoGebra à suivre

6. Familles de nombres

1. Parité

2. Multiples et diviseurs

3. Critères de divisibilité

4. PGCD et PPCM

5. Suites de nombres

- 0 est-il pair ou impair ? - Quels sont les multiples / diviseurs d'un nombre ? - Qu'est-ce qu'un nombre premier ? - Quels sont les principaux critères de divisibilité, comment les introduire et comment les justifier ? - Comment expliquer la "preuve par neuf ?" - Qu'est-ce qu'un PGCD, un PPCM ? A quoi ça sert ? Comment les trouver ? - Quand peut-on dire de deux nombres qu'ils sont premiers entre eux ? - Y a-t-il des suites de nombres célèbres ?

Un nombre (entier) pair est un nombre divisible par deux. En base dix, un nombre (entier) est pair si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 Un nombre (entier) impair est un nombre non divisible (exactement) par deux. En base dix, un nombre (entier) est impair si son dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 Cas particulier Zéro est un nombre pair (0 : 2 = 0)

Les nombres pairs s'abordent au début de l'école primaire - à l'aide d'objets qui vont par deux (mains, pieds, chaussette, ...) - en jouant à compter "par deux" - à l'aide d'un miroir Les nombres impairs apparaissent comme "les autres nombres naturels). Dès que l'occasion se présente, préciser que 0 est un nombre pair. (Ceci est source de beaucoup d'erreurs d'étudiants).

Matériel : - Matériel multibase - Abaque - Cartes SpielMal, quadrillages Application sur tablette : - Number Pieces (basic) Familles de nombres et revisions : Nombres et flash cartes : fin de primaire – début secondaire : Jeu de Juniper Green, avec ce document du site de l'APMEP : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Juniper_Green.pdf

Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/

Retravailler les décompositions des nombres clés :

• 10, 100, 1000(aide pour 10, les cartes à jouer ; aide pour 100, les cartes Calcul'AS)
• les nombres "à beaucoup de diviseurs"

Faire construire des cartes mentales sur des nombres, les liant à d'autres. Travailler spécifiquement sur le vocabulaire

Cette partie sur les familles de nombres peut être l'occasion de rencontrer la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...où chaque nouveau nombre s'obtient en calculant la somme des deux précédents.

On obtient les multiples d'un nombre donné en multipliant ce nombre successivement par tous les nombres entiers (0, 1, 2, 3, ...). Par exemple, l'ensemble des multiples (naturels) de 3 est : {0, 3, 6, 9, 12, ... }. 0 est donc multiple de n'importe quel nombre. On obtient les diviseurs d'un nombre donné en écrivant la liste de tous les nombres qui permettent une division exacte du nombre donné. Par exemple, l'ensemble des diviseurs de 12 est : {1, 2, 3, 4, 6, 12} 1 est donc diviseur de n'importe quel nombre. Les nombres possédant exactement deux diviseurs (1 et le nombre) sont appelés nombres premiers. Il est utile de connaître les petits nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, ... Le crible d'Eratostène (qui consiste à barrer successivement les multiples de 2, 3, 5 et 7) permet de retrouver facilement tous les nombres premiers inférieurs à 100.

Il peut être utile de repérer tout de suite si un nombre est divisible par un autre. Dans notre base de numération, il est facile de déterminer des critères de divisibilité par des nombres qui divisent la base ou une puissance de celle-ci. Un nombre sera divisible par 2 si son dernier chiffre est multiple de 2 (car D et tous les rangs supérieurs représentent des quantités divisibles par 2). Il en est de même pour 5, 10. Un nombre sera divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4 (car C et tous les rangs supérieurs représentent des quantités divisibles par 4). Il en est de même pour 25, 20, 50, 100. Un nombre sera divisible par 8 si ses trois derniers chiffres forment un multiple de 8 (car UM et tous les rangs supérieurs représentent des quantités divisibles par 8). Il en est de même pour 125, 250, 500, 1000. Parfois on écrit les terminaisons possibles pour les nombres : ne pas oublier 0 ou 00 ou 000 ! Dans notre base de numération, il est facile de déterminer des critères de divisibilité par des nombres qui divisent un de moins que la base. En effet, quel que soit le rang, le reste de chaque division par le nombre vaut 1 quelle que soit l'unité, il suffit donc d'additionner les chiffres et de voir si la somme des chiffres (donc des restes) est divisible par le nombre qui nous intéresse. En base dix, un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Il en est de même pour 9. Il existe d'autres critères de divisibilité (comme la divisibilité par 11), mais moins utilisés. La preuve par neuf consiste à chercher le reste de la division par neuf du multiplicande, le reste de la division par neuf du multiplicateur, et à vérifier si le reste de la division par neuf du produit des restes est égal à celui du résultat trouvé. Ce procédé est souvent vu comme une "recette de cuisine" non expliquée, donc peu intéressante mathématiquement.

Dans plusieurs situations, il est intéressant de connaître Le Plus Grand Commun Diviseur de deux ou plusieurs nombres (par exemple, quand on veut simplifier rapidement une fraction) On peut trouver celui-ci : - en citant les diviseurs de chaque nombre et en repérant le plus grand diviseur commun - en factorisant (mettant sous forme de produit) chaque nombre et en repérant les facteurs communs : leur produit donne le PGCD. - en utilisant une technique : l'algorithme d'Euclide (lien à suivre) Lorsque deux nombres n'ont que 1 comme diviseur commun, ils sont dits premiers entre eux. Le Plus Petit Commun Multiples de deux Nombres (par exemple, quand on veut effectuer la mise au même dénominateur de fractions) On peut trouver celui-ci : - en citant les multiples de chaque nombre et en repérant le plus petit commun multiple (non nul) - en factorisant (mettant sous forme de produit) chaque nombre et en repérant les facteurs apparaissant dans au moins une des deux décompositions : leur produit donne le PPCM.

Il y a un lien direct entre les multiples d'un nombre et les "nombres de la table de multiplication", en n'oubliant pas zéro. Les diviseurs d'un nombre peuvent se trouver à partir des décompositions multiplicatives d'un nombre (rechercher tous les partages possibles). Attention : 0 n'est pas diviseur de 1, 2, ..... 1 divise tous les nombres. Chercher les nombres premiers ou si un nombre est premier permet de se faire une liste de ces nombres, utiles pour décomposer plus vite un nombre donné. Remarque : On peut montrer les multiples et les diviseurs avec un quadrillage aidant à donner du sens aux mots :

• pour les multiples, un rectangle pris un certain nombre de fois, avec comme cas particulier 0
• Pour les diviseurs, un bloc repris dans un quadrillage plus grand, avec comme cas particulier 1.

Pour aborder les critères de divisibilité, avoir un matériel concret aide à justifier la limitation au(x) dernier(s) chiffres, et à comprendre l'idée des restes égaux à 1 pour chaque rang. Il est particulièrement important d'expliquer et de faire justifier les divers critères à l'aide de l'abaque. Une façon de s'entraîner est de rechercher des critères de divisibilité dans d'autres bases, en formation d'enseignants ou en dépassement - projet de recherche. La divisibilité par onze en base dix est un beau problème de réflexion, mais a peu d'utilisations directes dans la vie quotidienne.

Exemples de situations de départ : Comment carreler une pièce de 420 cm sur 240 cm avec des dalles carrées les plus grandes possible ? Combien de dalles faudra-t-il ? Quelle taille possède le plus petit mur carré possible construit avec des briques de 420 mm sur 240 mm ?

Compléter des suites de nombres et en inventer sont des activités intéressantes par la construction d'un algorithme et son écriture.

Vidéo RTBF : nombres premiers : https://www.rtbf.be/auvio/detail_les-nombres-premiers?id=2734620 Vidéo RTBF : PGCD : https://www.rtbf.be/auvio/detail_trouver-les-plus-grands-diviseurs-communs?id=2638887 Engrenages et GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/p3JP2FGc

Pouvoir expliquer un critère de divisibilité : - en base dix - dans une autre base (en formation initiale) Pouvoir calculer PGCD et PPCM de deux ou plusieurs nombres, trouver le deuxième nombre possible connaissant PGCD ou PPCM, résoudre des problèmes utilisant ces notions.

Familles de nombres :

1. Double, moitié,
2. Nombres pairs et impairs
3. Multiple, diviseur
4. PGCD, PPCM, Décomposition en facteurs premiers
5. Critères de divisibilité en lien avec la base de numération

Suites de nombres

Utiliser les mots pair, impair (P2), multiple et diviseur (P3) Exprimer les régularités observées au sein des tables et les lier : T 2, 5 et 10 (P2), T2 et T4 (P3), T3 et T6 (P3), T 2, 4 et 8 (P4), T 3, 6 et 9 (P4) pour les nombres jusqu'à 100 (P5) Déterminer la régularité présente dans une suite de nombres donnée (P3) Ajouter au moins trois éléments à une suite de nombres donnée (P3) Compléter une suite de nombres donnée par des éléments qui en ont été extraits (P5) A partir d'une suite numérique (ou illustrée par des motifs avec éléments), compléter la suite par quelques valeurs proches, décrire la régularité, déterminer le rang qui correspond à un motif ou une valeur donnée (S1) exprimer la relation entre le rang et le nombre d'éléments (S1) déterminer une valeur de la suite correspondant à un rang élevé (S1) en utilisant une expression algébrique (S2) exprimer la relation entre le rang d'une figure et le nombre d'éléments constituant le motif (S1) à l'aide d'une expression algébrique (S2) Associer une expression énoncée en langage courant à une expression algébrique (nombre pair / impair, carré de , multiple de , ... augmenté de , diminué de ...) (S1) Associer une situation conceptualisée à un expression algébrique (S2) Elaborer une expression algébrique du périmètre et de l'aire d'une figure (S1) ou du volume d'un solide (S2), à partir d'une expression énoncée dans le langage courant (S2)

pair, impair (P2) le double, la moitié de (P2), le quadruple, le quart (P3) le tiers, le triple (P4) avant autant de fois (P3) multiples, diviseur (P3) le dixième, centième, millième de (P5)

7. Nombres négatifs et nombres entiers

1. Nombres entiers, négatifs (relatifs)

2. Valeur absolue, nombres opposés

3. Addition et soustraction dans Z

4. Multiplication et division dans Z

5. Propriétés des opérations dans Z

Faut-il aborder les nombres négatifs à l'école primaire ? Quels sont les ensembles de nombres abordés à l'école primaire ? En secondaire, comment introduire la notion de valeur absolue ? Comment opérer sur des nombres entiers ? Quelles propriétés en plus par rapport aux opérations sur des nombres naturels ?

Application pour tablettes : - Number Lines

Nombres entiers et autres révisions : https://www.jepeuxpasjaimaths.fr/ Pour introduire la notion de nombre négatif, donner un exemple de situation utilisant l'aspect cardinal du nombre.

Nombres entiers (relatifs en France) : vidéo sur des problèmes : https://www.lumni.fr/video/exercices-de-maths-1 Nombres entiers : Genially (Thème Halloween) : https://view.genial.ly/6176e8d9a394390d304b5e80/interactive-content-soiree-halloween-nombres-entiers Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/

L'ensemble des nombres naturels est noté N. N = {0, 1, 2, 3, ....} Dans cet ensemble, il n'est pas possible d'effectuer des opérations comme 3 - 5. Le concept de nombre négatif, et de façon plus générale de nombre entier, va compléter l'ensemble des nombres naturels. L'ensemble des nombres entiers est noté Z (pour "Zahlen") Z = { ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } Dans cet ensemble, chaque nombre x a un opposé -x tel que la somme des deux vaut 0. L'opposé de 0 est 0 (qui est donc à la fois positif et négatif). Les nombres entiers sont abordés au début du secondaire, il est donc intéressant de les avoir rencontrés dans des situations concrètes au primaire. Il existe encore d'autres nombres : les fractions ou nombres rationnels, et plus généralement les nombres à virgule ou nombres réels : nous les aborderons plus tard.

Les nombres négatifs sont abordés à l'école primaire dans des contextes qui lui donnent du sens : - les températures et la météo (surtout s'il gèle), ou le thermomètre du congélateur - les ascenseurs et plus généralement les bâtiments où l'on trouve des étages négatifs (sous-sols de musées ou de buildings) - l'histoire (avec la remarque qu'en histoire, il n'y a pas d'année zéro - les bons et mauvis points dans un jeu ou ailleurs - l'altitude en géographie, notamment aux Pays-Bas où il existe des endroits où l'on est en-dessous du niveau de la mer. - les comptes en banque en économie, avec les gains et les pertes, les dettes. Leur visualisation est essentiellement graphique, sur une droite graduée, ou parfois en les mettant en couleur (vert pour positif, rouge pour négatif).

Nombres entiers (dits relatifs en France) : https://view.genial.ly/63022e37b5bda6001283724f?fbclid=IwAR0BO2yMn5nalOzkmGef5Wt5tNa_CKQD0Ue08a238zxtqDSBNNz32Pf1RR8

Opérations sur les nombres entiers (Genially) : https://view.genial.ly/62efc3d23130470011b0a067?fbclid=IwAR3X2x7o2rWHfuP8DNSCCHEV1xKwg-wfcbpcMTjk1Nal3-7lX-noxOIQdhI

Associer l'expression "opposé d'un nombre" à son écriture mathématique et à sa représentation sur une droite graduée (S1) Ordonner des nombres entiers et des nombres rationnels par ordre croissant / décroissant (S1), idem avec en plus des irrationnels (S3)

Opposé d'un nombre (S1)

8. Fractions et nombres rationnels

1. Fraction

2. Comparaison de fractions

3. Représentation de fractions

4. Addition / Soustraction

5. Multiplication de fractions

6. Division de fractions

- Quels sens donner à la fraction ? - Quelles représentations pour des fractions ? - Quel matériel utiliser pour enseigner les fractions ? - Comment aborder les différentes opérations sur les fractions ?

Une fraction est un quotient A/B de deux nombres entiers tels que le second soit non nul. Cas particuliers : 0/ B = 0 ; A = A/1

La fraction prend successivement plusieurs significations. A l'école maternelle, on la rencontre dans le partage d'une grandeur continue (tarte, fruit, ...) et on utilise simplement le vocabulaire moitié, tiers, quart. En primaire, on insiste sur le partage équitable, "sans faire de jaloux" d'une grandeur continue et on aide à structurer le vocabulaire : deuxième ou demi ou moitié, troisième ou tiers, quatrième ou quart, cinquième ... On introduit la notation en insistant sur le dénominateur (le nombre de parts coupées), la barre de fraction (représentée parfois par un couteau qui coupe), et le numérateur (le nombre de parts prises). Notons qu'à l'école primaire, on aborde surtout les fractions inférieures à l'unité. La fraction sera aussi vue comme opérateur : "prendre la moitié de", le "tiers" de, sur des grandeurs continues, puis également discrètes (nombre de jetons ...) Elle apparaîtra également comme rapport entre deux grandeurs ou deux quantités. Un outil privilégié pour cela est le puzzle de fractions, où chaque pièce représente une partie de la forme globale. Parmi les différentes fractions, quelques cas doivent être envisagés : les fractions du type 1/x (x étant un nombre entier strictement positif) les fractions du type 0/x = 0 (x > 0) les fractions x/x = 1 (x > 0) 1/0 n'est pas un nombre et vaut en fait l'infini. (voir division de fractions) Elle prendra tout son sens quand on pourra l'associer à un nombre (rationnel), que l'on pourra progressivement situer sur une droite graduée.

Matériel - défis : - Attrimaths, Fractionary, (Tangram) - Atelier des potions - ExploRatio - Zahlen Mobile avec des dés de fractions - ... Application sur tablette : - Slice Fractions - Fractions Manipulations virtuelles avec Desmos : https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/6138b242537ac1095eb6d938?lang=fr&fbclid=IwAR1neSZoqREyFPxTmVyKIvE_NejL8h9viq2PjRmnk-9YspPZXy0SOOPMQsU Fractions et GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/xp7vhdwc?fbclid=IwAR0XnA-U0Fz9UnMx_1zcLyQhzft0ZvzpHAY5UJ6rRItdFx3Lw7cgIfV4oPA Genially Fractions : https://view.genial.ly/619bf1f751100d0debb94ba6/interactive-content-noel-au-village-des-fractions?fbclid=IwAR0_tydjFqqBmwEBsPmEzD9_GEwbVCw-vi5ndroqEMafyIHQ3ZUz8mP52oM Exerciseur sur les fractions : https://mathix.org/linux/archives/17545

Fractions et manipulations : https://prezi.com/p/jv23coceneil/les-fractions-une-seule-solution-la-manipulation/ Fractions de l’unité avec GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/fw2pqhqu?fbclid=IwAR2dlV6Ax9zfQS_oemQVwfa6Zsf2m6BTP69Pz1B7jDLjdPQLeITXnosC8-A

Diverses vidéos françaises sur les fractions (transition primaire – secondaire) : https://www.lumni.fr/dossier/les-fractions CERQUETTI - ABEKANE & Al, Les mathématiques ont une histoire, activités pour le cycle 3", Hachette Education, Paris, 1997 PAUVERT Marcelle, Faire comprendre la soustraction, Nathan, Paris, 1990 Dobble en duel sur différents sujets liés à la numération : http://marc.boullis.free.fr/mathdobble.html Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/

Donner du sens concrètement à chaque concept :

• partage
• opérateur
• rapport
• nombre de la droite graduée

Travailler sur le repérage d'erreurs sur des photos issues de la vie quotidienne. Utiliser l'Atelier des Potions, le plateau simplifié

Proposer divers problèmes où interviennent des fractions, des pourcentages, des proportions directes. Utiliser le jeu Zahlen Mobile avec des dés de fractions. (et plus tard aussi de nombres décimaux)

Pour multiplier deux fractions, - on multiplie les numérateurs et les dénominateurs - on simplifie le plus possible - on calcule le résultat

Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l'inverse de la deuxième. (L'inverse d'une fraction est la fraction obtenue en permutant numérateur et dénominateur de la fraction) La plus grosse difficulté sera d'expliquer ceci et de ne pas le donner comme "recette" vite oubliée car elle n'a pas de sens pour les élèves (voir partie didactique)

La comparaison de deux fractions est parfois immédiate : - si elles ont le même dénominateur - si elles ont le même numérateur - si elles sont faciles à encadrer par des unités (exemple 4/5 et 7/6) Des fractions peuvent s'écrire différemment mais être égales : elles sont équivalentes. Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux (cadre si on ne peut pas la simplifier). Des fractions équivalentes sont égales à la même fraction irréductible. Exemple 35/60 = 14/24 = 7/12 Pour comparer des fractions, on peut toujours les transformer en fractions équivalentes de même dénominateur : il suffit alors de comparer leur numérateur. Notons qu'il y a parfois plus simple !

On peut représenter une fraction de plusieurs façons : - l'écriture classique - (en toutes lettres) - comme nombre à virgule (voir plus tard) - sous la forme de pourcentage (ou de centièmes) - comme point sur une droite graduée

Procédé général : - simplifier les fractions de départ (si nécessaire et si utile) - rechercher un dénominateur commun (utiliser le PPCM) - écrire les fractions équivalentes - additionner / soustraire les numérateurs - simplifier le résultat si ce n'est pas une fraction irréductible

Comparer le plus simplement possible les fractions : 7/16 et 10/19 17/18 et 16/17 30/77 et 23/60

Il est important de varier les images représentant des fractions : - secteurs de disques, mais aussi parties d'autres formes géométriques - quadrillages, en veillant à prévoir un nombre de carrés pas toujours égaux au dénominateur - rectangles, bandes horizontales, pour passer plus facilement à la représentation de la fraction nombre sur une droite graduée - opérateur sous la forme de pourcentage. Le matériel utilisé doit être varié.

Exemple : Calculer 16/18 + 23/30 et détailler les étapes du calcul.

On peut aborder la multiplication de fractions en plusieurs étapes : - multiplier par un nombre entier (exemple : 3/8 x 3) - multiplier par une fraction de numérateur 1 (exemple 6/7 x 1/2) - multiplier deux fractions quelconques (exemple 3/7 x 2/3) On peut visualiser ceci sur un quadrillage.

Ce concept, fort abstrait, peut s'aborder en étapes successives. - Diviser une fraction par un nombre entier (exemples 6/7 : 2, 3/5 : 2) On constate que l'on peut diviser le numérateur ou multiplier le dénominateur - Diviser une section par une fraction de numérateur 1 (Aide :combien de quarts d'heure dans une heure ?) On constate que ceci revient à multiplier le numérateur. - Diviser par une fraction quelconque en deux étapes (cf ci-dessus) et progressivement en une, en multipliant par ce qu'on appelle la fraction inverse.

Fractions égales : Genially : https://view.genial.ly/6396546c5467c50017de332b?fbclid=IwAR3g5-7hfpXgWAEqyFJ2Jsb32-TjhO9OeiPISljgTE2gITDNTonOm52hPrc

Syllabus p. 55 à 63 Pouvoir représenter des fractions sous différentes formes, et les reconnaitre sous différentes formes. Ordonner des fractions Maîtriser les 4 opérations sur les fractions, et maîtriser les opérateurs liés aux fractions Analyser des erreurs d'élèves et proposer des remédiations Résoudre des problèmes où interviennent des fractions Fractions et Lego : Site 1 et Site 2 Aide fractions Uno des fractions Dobble « fractions » : Exercices fractions : Genially 1, Genially 2, et lien à tester Fractodino : escape Game sur les fractions : https://view.genial.ly/632f129c6c682000189df03a/interactive-content-fractodino-prof Exercices sur les fractions (Genially) : https://view.genial.ly/5f81810ea70c7d0d040229aa?fbclid=IwAR0BC9xNq9DeATLNm3ksTiIc9XpdOJ0onNzPOSdMqMtFR4PuyuUkzph7Y3I

Fraction - partage

1. Effectuer un partage en parts égales
2. Créer, nommer, écrire des fractions de numérateur 1
3. Créer, nommer, écrire des fractions < 1

Fraction rapport, fractions équivalentes, fraction irréductible, comparaison de fractions

1. Comparer des surfaces et exprimer leur rapport sous forme de fraction
2. Simplifier des fractions(< 1 ou non)
3. Comparer des fractions (< 1 ou non)
4. Sérier des fractions(< 1 ou non)

Fraction nombre

1. Associer diverses écritures à une fraction
2. Comparer des fractions écrites de différentes manières
3. Placer des fractions sur la droite graduée

Opérations sur les fractions

1. Multiplier des fractions
2. Additionner / soustraire des fractions
3. Diviser des fractions
4. Résoudre des problèmes de proportionnalité directe (dont pourcentages)
5. Résoudre des problèmes de proportionnalité inverse
6. Résoudre des problèmes complexes liés aux proportionnalités

Identifier un naturel, un entier, un rationnel positif ou négatif (forme fractionnaire ou décimale) (S1) Encadrer un nombre entier, un nombre rationnel à l'unité, au dixième, ou centième près (S1), idem pour un nombre irrationnel (S3) Associer la fraction nombre à un quotient (S1) Associer l'expression "inverse d'un nombre" à son écriture mathématique (S1) Ecrire une fraction équivalente à une autre, simplifier une fraction, rendre une fraction irréductible (S1)Calculer une somme, une différence, un produit et un quotient de deux fractions (S2)

Inverse d'un nombre (S1) Opérateur / Partage / Rapport Fraction / Nombre rationnel Numérateur / dénominateur Fraction irréductible, fractions équivalentes, simplification de fractions

9. Nombres à virgule et nombres réels

1. Nombre à virgule

2. Nombre décimal et nombre à virgule

3. Nombre à virgule et fraction

3. Compléments (à suivre)

- Quelles sont les spécificités des nombres à virgule ? - Quelle est la différence entre nombre décimal et nombre à virgule ? - Quels sont les liens entre fractions et nombres à virgule ? - Quel matériel utiliser ?

Matériel : - Pailles, feuilles rectangulaires - Glisse-nombre (on entrouvre beaucoup sur Internet, exemple : https://www.leblogdaliaslili.fr/2019/10/24/glisse-nombre/ (idéalement parler de partie entière et de partie non entière pour éviter les problèmes de signification du terme "décimal") Glisse-nombreLe " glisse-nombre " est un outil permettant d'illustrer le fait que lorsque l'on multiplie ou divise un nombre par une puissance de 10 ce n'est pas...Leblogdaliaslili Jeu ZahlenMobile ou SolveMe Mobile avec des nombres à virgule (et des fractions) Application sur tablette : - Number Line

Addition de nombres à virgule : https://view.genial.ly/60d2eca86d5ac30da9a61e68?fbclid=IwAR22L1rODExNpJN3b5NnuiKJNGOBSYxNJ1NmyVJgyDVt81lF08V-13AXSvY Historique des nombres à virgule : https://mathix.org/linux/archives/16517?fbclid=IwAR0KfX63xckQBfJTOwFISnmqiNltsbYqW1gmvoO4TIL2hD0b2mlxjE9K7h8 Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/

Revenir sur le sens concret, avec des dixièmes et centièmes de feuille, utiliser le glisse-nombres pour expliquer multiplication / division par 10, 100, 1000

Créer un jeu de bataille ou de familles ou Double avec différentes représentations des nombres à virgule

Il est très facile de passer d'une fraction à un nombre à virgule : il suffit d'effectuer la division représentée par la barre de fraction. Le nombre à virgule obtenu peut être entier, décimal (limité), ou décimal illimité périodique (exemple 16/3 = 5,333333333....) Le passage d'un nombre à virgule à une fraction n'est pas possible si la partie décimale est illimitée mais n'est pas périodique. Exemples : π = 3,1415926535.... ; V2 = 1,41421356... Il s'agit alors de nombres réels et pas de nombres rationnels (fractions). Passer d'un nombre à virgule à une fraction. Exemples 32,77.... = .... 2,345454545.... = 2,006666.... =

Un nombre à virgule est un nombre dont une partie n'est pas entière. Afin d'englober tous les nombres, on ajoute une convention : Un nombre entier, par exemple 7, peut s'écrire sous la forme 7,00000000..... ou 6,9999999999......

Un nombre décimal est un nombre à virgule dont le partie décimale est limitée. C'est donc un cas particulier de nombre à virgule. Exemples : 3,5. 0,43. 0,123456. 7,00041 etc Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Par exemple 1/3 n'est pas un nombre décimal.

Nombre à virgule Exercice : Construire 2,43 feuille de papier, sans calculatrice ni latte. Dans l'abaque, on dessine parfois des ciseaux sur la ligne vertical située juste à droite des unités, pour expliquer que l'on va couper celle-ci en morceaux plus petits. Comme on est en base dix, on va couper en 10 et obtenir des dixièmes, centièmes, millièmes. On matérialise ceci soit en coupant une paille, soit en découpant un rectangle (qui figure l'unité) en dix, puis en cent, pour visualiser le dixième et le centième. Pour comparer des nombres à virgule : - on compare les parties entières - on compare ensuite, si nécessaire, les parties non entières, en commençant par les dixièmes puis les centièmes .... Un outil à privilégier : l'abaque, et si nécessaire le matériel concret (pailles, feuille)

On peut voir un nombre décimal comme un nombre à virgule dont la partie décimale est limitée. Les euros sont l'occasion d'aborder la notion de centième et des nombres à virgule qui sont des nombres décimaux. Il y a souvent des confusions entre décimaux et nombres à virgule : il faut rester critique !! Sens des nombres à virgule

• insister sur l'aspect positionner de notre numération
• varier les situations, les contextes, le matériel (glisse-nombre, feuille découpée en 10, en 100)
• exploiter les unités de mesure, des grandeurs différentes, des rangs différents
• proposer des expositions de nombres, des familles de nombres (avec rapports et fractions)
• travailler l'ordre des nombres, avec des lignes ou des tableaux lacunaires
• travailler spécifiquement l'écriture des nombres : français, virgule, fractions, pour cents et les passages

A l'aide de l'abaque, passer d'une fraction à un nombre à virgule. En prolongement, passer d'un nombre à virgule à une fraction, en base dix

Et euros : Vidéo RTBF « Payer en euros » 3P et 4P et autres : https://www.rtbf.be/auvio/detail_argumenter-son-avis-payer-en-euros-les-fuseaux-horaires?id=2815294

Diverses vidéos françaises sur les nombres à virgule : https://www.lumni.fr/dossier/les-nombres-decimaux

Nombres à virgule : https://view.genial.ly/60a3d519e34eac0da5d93831?fbclid=IwAR0Onj5SW01bAEFGCaPETGpJ93m6hczGilAuASpF9MOoT86ntERiE3tIDCw

Syllabus p. 63 à 69 Exercices sur les nombres décimaux : https://view.genial.ly/61f6abe9b021450012af1073?fbclid=IwAR3EOMospiaDckAKh-eboKWhqQ-vCV1GU5FqPyX4SFED6R2bUgVH-qamC9E Exemple d'exercices sur les nombres décimaux uniquement : https://laclassedemallory.files.wordpress.com/2019/08/numecc81ration-les-decc81cimauxexo.pdf Jeux sur la droite graduée : https://classedeflorent.fr/accueil/jeux/mathematiques/index-graduation.php Exerciseur : Multiplication et division par des puissances de 10 : https://www.geogebra.org/m/grfnxpgr?fbclid=IwAR1oSfIK0olT6YFpg9SWSvxYu3qaN9Vy_ZYr-kEdObEEF1Sy0Fx6TOHmo80 Exercices de niveaux variés : https://www.logicieleducatif.fr/college/math/comparaison-de-nombres-college.php Secondaire : racines carrées : Nombres réels : racines carrées : https://view.genial.ly/61459471ae7dec0dd432c033/presentation-racines-simplification?fbclid=IwAR0WtvZGZgYwHVfc3BJRH0sKheoBbqd2Fuxu8M60Jtd8v0NkuJmmNSvB-_Q Passer d'une fraction à un nombre à virgule en base dix (et dans d'autres bases, en formation initiale) Passer d'un nombre à virgule à une fraction, en base dix.

Nombres à virgule :

1. Notion, liée à la base de numération
2. Aspect cardinal lié à la signification de chaque chiffre (matériel concret)
3. Aspect ordinal : placement sur la droite graduée
4. Calcul mental : opérations simples sur les nombres à virgule
5. Calcul écrit : Addition, Soustraction, Multiplication, Division et rôle de l'estimation

Associer le nom d'un nombre composé d'une partie entière limitée aux centaines (P4), unités de mille (P5) et d'une partie non entière limitée aux millièmes à son écriture en chiffres (P4) Décomposer un nombre en sa partie entière et non entière (P4) Comparaisons Ordonner des nombres de 3 à 6 chiffres, avec ou sans virgule, de façon croissante ou décroissante (P4), des nombres entiers et des nombres rationnels sous forme décimale et/ou fractionnaire (S1), avec en plus des nombres irrationnels (S3) Encadrer un nombre écrit sous forme décimale à l'unité près (P4), au dixième près (P5), au millième près (P6) Dire, lire, écrire, représenter des nombres en chiffres avec une partie non entière limitée aux millièmes et partie entière limitée à la centaine (P4), partie entière limitée aux unités de mille (P5). Transformer l'écriture d'un nombre en une écriture équivalente (écriture fractionnaire et écriture décimale) (S1) Expliquer les notions de valeur exacte, de valeurs approchées (par excès et par défaut) et d'arrondi (S1) Interpréter l'écriture décimale fournie par un outil numérique (S1), idem pour un nombre irrationnel (S3) Placer sur un nombre et exprimer sa position dans un tableau, compléter des portions de celui-ci, jusqu'à 1000 (P3), avec des nombres sous forme décimale limités aux dixièmes (P4) pour un nombre avec ou sans virgule sur une portion de droite numérique ou dans un tableau (P4) Idem que P4 mais avec en plus des centièmes et des millièmes (P5) Placer un nombre (naturel, entier, rationnel positif ou négatif) sur une droite graduée (S1) Déterminer la valeur approchée d'un rationnel par excès ou par défaut, le degré de précision. étant donné (S1), idem pour un irrationnel (S3) Décompositions à connaître : Connaître de mémoire les décompositions de 1 en dixièmes, en 2 termes ou en 2 facteurs (P5), idem pour les centièmes (P6)

Classe des millièmes (P4) Nombre décimal Nombre à virgule Fraction

Les euros Euros et problèmes imagés (Genially) : https://view.genial.ly/6364e22f42766a0018a47443/presentation-reutilisable-problemes-images

10. Expressions littérales

1. Introduction (didactique)

2. Compléments (à suivre)

Faut-il aborder les équations, les expressions et/ou littérales à l'école primaire ?

Manipulations. algébriques : https://mathigon.org/polypad Application pour tablettes : - Solve Me Mobile

Escape Game Calcul littéral : https://view.genial.ly/617eb41f9ada4f0de266294d?fbclid=IwAR1tNrvcsnB2Os3ay0Nf6p406N1dJ_yhy4qBh5laoXjr2zrb9ICRHlaSIco

Equations simples : https://www.geogebra.org/m/gqd4hqj8?fbclid=IwAR1qr_XfmGnPhbUlllB8cXk55MzbqRjYVIBEQcJPZQbQGnhJSv3TdWSjj_k Nombre entiers : https://view.genial.ly/5f22da89a1a5620d688546a0?fbclid=IwAR1aG-tWMBDHrmMZTg-cMq3XM1ztNpoDye80MFAVXloncUge9b6iXha2Dks

Equations simples : https://www.geogebra.org/m/gqd4hqj8?fbclid=IwAR1qr_XfmGnPhbUlllB8cXk55MzbqRjYVIBEQcJPZQbQGnhJSv3TdWSjj_k

Les expressions littérales apparaissent avec les diverses formules liées aux grandeurs géométriques. Les équations apparaissent par exemple dans les problèmes de partages. L'inconnue est alors souvent représentée par un dessin ou par un bloc inconnu

Algèbre : expressions numériques : https://view.genial.ly/6128df8c1d85260dc4ecdb38/interactive-content-5eme-n1-calculer-une-expression-numerique?fbclid=IwAR2rxLpoESXCJJirY8xnBp_TXPSTr0oD8bsCaH7sLtge230-FD-CdP6ir7g Calcul numérique et littéral : https://view.genial.ly/60e4b3d5c6c0060dc3cc7ff0/dossier-calcul-numerique-et-litteral-2nde?fbclid=IwAR0rja48arl4qgX7Sh--KYuMNr-Ii-nDZZcYjtaikbu9KFzaJqoSl0pnEtw

Syllabus p. 54-55

A suivre

11. Equations

1. Notion d'équation

2. Compléments (à suivre)

Faut-il aborder les équations, les expressions et/ou littérales à l'école primaire ?

Manipulation virtuelle Equations : https://mathigon.org/polypad/mqGHgNHQCsBzOA?fbclid=IwAR2KTcCm0qh5uIR9Ymjpd_rlMtnltQo6I14tgAz-gcufsv5CXQ1f5yOmBo4 et https://phet.colorado.edu/en/simulations/equality-explorer?fbclid=IwAR1-NoPYtlTk6qkSueJdEnLEag-CwzHYgEZsHcvBcKyxmUhsqPiHikcy8Jw ou encore https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5fa562765cad030cb5977a36?collections=5fd2ab7a1b622034dab6b962&lang=fr&fbclid=IwAR1s5LdMwlnadDlbcwOWBgdeuhubK5Kd_NUYam3sUDfgx8VWqcNlEONmAx8 Application pour tablettes : - Solve Me Mobile

Equations simples : https://www.geogebra.org/m/gqd4hqj8?fbclid=IwAR1qr_XfmGnPhbUlllB8cXk55MzbqRjYVIBEQcJPZQbQGnhJSv3TdWSjj_k Genially Equations : https://view.genial.ly/6182578e9f94240dc9156ef4/presentation-parcours-equations-4eme-premiere-partie Nombre entiers : https://view.genial.ly/5f22da89a1a5620d688546a0?fbclid=IwAR1aG-tWMBDHrmMZTg-cMq3XM1ztNpoDye80MFAVXloncUge9b6iXha2Dks Sur Internet, il y a énormément d'informations sur https://www.jeuxmath.be/liens/nombres-et-algebre/

Calculer l'intensité électrique à partir de la tension électrique et de la résistance électrique (Sciences, S3) Calculer la poussée d'Archimède et la comparer au poids de l'objet, afin de prévoir le comportement de celui-ci dans l'eau, en utilisant les unités du SI (Sciences, S3)

Les expressions littérales apparaissent avec les diverses formules liées aux grandeurs géométriques. Les équations apparaissent par exemple dans les problèmes de partages. L'inconnue est alors souvent représentée par un dessin ou par un bloc inconnu

Vidéo d’introduction aux équations : https://www.lumni.fr/video/comment-resoudre-une-equation-12 et la suite https://www.lumni.fr/video/comment-resoudre-une-equation-22

Equations simples : https://www.geogebra.org/m/gqd4hqj8?fbclid=IwAR1qr_XfmGnPhbUlllB8cXk55MzbqRjYVIBEQcJPZQbQGnhJSv3TdWSjj_k Genially d’exercices sur les équations simples : https://view.genial.ly/614b6cbe6a2ae70d4d47da4a?fbclid=IwAR0SSPDRI7Fd0mFRjS5plJZjZNdBzpsjbd3AOnW3m277FsZKZGS5J1Etc3k

Résoudre un problème qui nécessite l'utilisation des outils algébriques (S3)

Index

Les mots-clés suivants vous permettront d'accéder à la page où le sujet est développé.

(à suivre)

Chiffres romains

Annexe : Signification des icônes

Passer au chapitre suivant

Questions clés Reprend les questions principales auxquelles ce chapitre devrait répondre.

Boîte à outils Matériels didactiques, jeux, applications (en ligne ou sur tablette)

Evaluation sur le sujet Exercices globaux

Liens intéressants

Remédiations D'une façon générale, conseils pour aider les apprenants qui n'ont pas compris après les premières explications.

Projets et dépassements Exercices et problèmes plus ouverts, sujets de réflexion, voire de recherche Souvent, une plus grande part est laissée à la créativité, seul.e ou en équipe

Interdisciplinarité Pistes pour un travail interdisciplinaire exploitant le sujet

Cours Lien vers le cours proposé aux étudiants futurs enseignants

Théorie Résumé des notions théoriques essentielles

Didactique Propose parfois une question de réflexion, parfois un complément à la théorie, mais le plus souvent des conseils pour les enseignants.

Explications Souvent sous forme de vidéos explicatives

Exercices divers

Progression (création personnelle) Progression spécifique d'objectifs spécifiques concernant le sujet, en pensant surtout aux plus jeunes

Référentiel belge Reprise du référentiel pour ce qui concerne le chapitre, avec indication des années

Vocabulaire - Mots clés Reprend le vocabulaire proposé dans le référentiel belge, mais aussi d'autres mots utiles dans le contexte du chapitre proposé.

Que vaut le tiers du quart de 0,1 ? Répondre sous la forme d'une fraction irrréductible puis d'un nombre à virgule.Un nombre à virgule est-il toujours décimal ? Expliquer votre réponse.Comparer "fraction non décimale" et "nombre rationnel", puis "fraction décimale" et " nombre réel non rationnel".Convertir la fraction 2/3 en nombre à virgule en base neuf puis en base dix.Ecrire le nombre 2,234343434... puis le nombre 57,132712712712.... sous la forme d'une somme de fractions irréductibles.

Expliquer les sens différents du mot "reste" dans l'étude des opérations numériques. Illustrer chacun d'eux par un exmple de situation numérique et un exemple de problème où le mot "reste" intervient.Dans Z, la multiplication est-elle associative ?Dans Q, la multiplication distribue-t-elle la division ?La division distribue-t-elle l'addition ? Justifier par 3 exemples numériques.Citer et expliquer 5 spécificités du zéro dans l'étude de notre numération et des 4 opérations fondamentales.Quels sont les différents sens que l'on peut donner à la division ? Illustrer chacun d'eux par un exemple et expliquer pourquoi il y a plusieurs sens en partant de la définition.Dans quelle (s) base(s) peut-on écrire 4 + 5 = 13 ?Que deviennent le reste et le quotient dans une division par 700, si on augmente le dividende de 1500 ?

Dans quelle base peut-on le calcul suivant est-il correct ? 1145 + 52 = 1207

Tous les projets liés à d'autres civilisations, d'autres cultures peuvent avoir un volet consacré à la façon de dire et/ou de représenter les nombres.Exemples : chiffres égyptiens, mayas, romains, mésopotamiens et numération associée.L'informatique offre une occasion d'aborder le système binaire, le système hexadécimal.

Pouvoir dire la fraction du puzzle représentée par chaque pièce d'un puzzle géométrique (Tangram ....)Ranger des fractions exprimées de différentes façons dans l'ordre croissantEffectuer une suite d'opérations sur les fractions en utilisant les dénominateurs les plus "simples" et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.Quelle heure est-il lorsque la partie du jour écoulée est les 2/3 de ce qui en reste ?Une personne emploie les 3/8 d'une somme, puis les 2/5 de ce qui reste et enfin le quart du nouveau reste. Il lui reste alors 9000 €. Combien avait-elle au départ ?

Comment vérifier qu'un enfant maîtrise l'aspect ordinal du nombre 6 ?Donner 4 exemples de consignes permettant des approches différentes de ce concept.Même question pour l'aspect cardinal du nombre 6.

Dans un lot de pommes, un quart d'entre elles sont trop petites, un tiers ne sont pas mûres, un dixième sont pourries et les autres sont parfaites. En supposant que ces fruits ne possèdent qu'une seule de ces caractéristiques à la fois, calculer la proportion de pommes parfaites.Ecrire la fraction 2/3 comme somme de deux fractions irréductibles de dénominateurs différents. Justifier.

Compléter et expliquer le procédé utilisé : 240 x 0,4 = ... x 4 ; 240 x 0,9 = ...Dans un nombre à virgule, expliquer le rôle de la virgule et le rôle dz zéro.Calculer par écrit : 19,004 - 6,0968 (variante 21,003 - 5,0869)Effectuer et expliquer en privilégiant le sens la division écrite suivante ( à 0,1 près) : 102,235 : 4,56On dispose de pièces de 2, 1 € et de pièces de 1, 2, 5, 10, 20 et 50 centimes. A la boulangerie, il faut payer 1,74 €. On donne trois pièces différentes à l'employée qui en rend deux. Quelle a été la somme rendue ?

Existe-t-il des nombres situés entre 10/21 et 11/21 ? Si oui, en donner deux exemples différents, sinon expliquer pourquoi.Classer dans l'ordre croissant et justifier :a) 7/12, 11/20, 8/15 et 38/75b) 7/12, 11/18, 8/15 et 37/72

Les affirmations suivantes sont-elles toujours vraies ? Justifier la réponse à l'aide d'exemples numériques.a) On peut suppromer les zéros placés à gauche du premier chiffre qui n'est pas zéro.b) Pour multiplier par 10, on écrit un zéro à droite du dernier chiffrec) Si un nombre s'écrit avec plus de chiffres qu'un autre, il lui est supérieur.Transformer 0,018 en fraction irréductible.Expliquer la différence entre nombre décimal et nombre à virgule

Les nombres à virgule sont uilisés tous les jours, avec les euros au quotidien, et chaque jour dans l'actualité et dans des documents.

Que deviennent les reste et le quotient d'une division d'un nombre supérieur à 2000 par 600, si on augmente le dividende de 1900 ?Dans le problème suivant, quelle est l'opération concernée et quel sens lui a-t-on donné ?" A la récréation, une classe a vendu une caisse de cent galettes par paquets de trois. Tous les paquets étant vendus, combien de galettes reste-t-il et combien de paquets y avait-il ?"

Adam vide un tube de dentifrice en 72 jours, un flacon de shampoing en 60 jours et un savon en 40 jours. Aujourd'hui, il entame ces trois éléments. Dans combien de jours sera-ce à nouveau le cas ? Expliquer.Soit les nombres 54 et 96. Imaginer un problème utilisant ces 2 nombrees et pour lequel il faudra calculer le PGCD. Résoudre ce problème comme en primaire.Si le PPCM de deux nombres est 360 et que l'un d'eux est 36, quel peut être l'autre ? (Donner au maximum 4 solutions) Idem avec 240 et 15.Si le PGCD de deux nombres est 18 et que l'un d'eux est 900, quel peut être l'autre ? (Donner au maximum 4 solutions)Avec 240 fleurs rouges et 400 fleurs bleues, combien peut-on former de bouquets, si on en veut le plus possible ? Commetn seront constitués ces bouquets ?

Comparer "opérateur" et "opération".

Expliquer la différence entre "nombre décimal" et "nombre à virgule".Entre deux nombres différentes, on peut toujours intercaler autnat de nombres qu'on veut. Est-ce vrai dans N ? dans Z ? dans Q ? dans R ? Expliquer et illustrer par des exemples ou contrexemples.

Quels sont les avantages d'utiliser les réglettes au premier degré de l'école primaire ?

Penser à tous les contextes de la vie courante pour donner du sens à ce concept.Utiliser l'idée de marches, d'escaliers à monter ou descendre.Dans un autre contexte, les bons/mauvais points d'un jeu permettent de saisir l'addition et la soustraction de nombres entiers.

Un élève a écrit : 24 x 9 = 24 x 10 = 240 - 24 = 216Entourer les signes d'égalité mal utilisésEcrire correctement les calculs à effectuer sous la forme d'une même suite d'égalités successives, mais correctes.Quelle est la technique de calcul utilisée ici ?Donner un exemple de compensation dans la multiplication comme procédé utilisé en calcul mental. Expliquer.Compléter et expliquer le(s) procédé(s) utilisé(s) : 123 x 9 = ...Idem pour 125 x 56

Dans divers contextes, repérer les égalités et vérifier leur validité.

Si le jeu offre un contexte interdisciplianire privilégié, les liens sont ici nombreux avec l'économie.

Donner les caractéristiques du :- système de numération romain / égyptien / maya / babylonienComparer :- notre système de numération oral et notre système de numération écrit.Effectuer en chiffres romains l'opération 2025 - 56 en expliquant les difficultés rencontrées et les caractéristiques de ce système de numération.Sur un mur se trouve écrit MDCCCXXI. Quel est ce nombre et quelles sont les caractéristiques du sytème de numération utilisé ?

Trouver le plus petit nombre naturel de 3 chiffres différents et a) divisible par 9 en base dix puis en base trois.b) divisible par 4 en base dix puis en base sixOn donne le nombre à 4 chiffres 57X6, en base dix. Il est divisible par 3. Quelles sont toutes les valeurs possibles pour X ? Citer et expliquer un critère de divisibilité du même type dans la base six.Expliquer un caractère de divisibilié dans la base dix, un critère du même type dans une autre base (neuf, huit, six)

On donne le nombre 2A (base douze) et on demande de le convertir en base huit, si possible sans passer par la base dix.Dans quelle(s) base(s) la quantité cent s'écrit-elle par un nombre à trois chiffres ? Expliquer votre raisonnement.Convertir 654 (base dix) en base onze, en base neuf.Convertir en écriture décimale 245 (base six).Dans quelle(s) base(s) peut-on dire que 35 exprime une quantité paire ? JustifierMême question avec 43 qui doit exprimer une quantité impaire.Dans quelle(s) base(s) peut-on dire qu'un nombre à deux chiffres qui se termine par 4 exprime toujours une quantité paire ? JustifierSi un nombre n s'écrit 111111111 en base deux, comment s'écrit n+1 ?Dans quelle(s) base(s) peut-on écrire 4 + 5 = 13 ? Justifier.Dans quelle(s) base(s) la quantité trente s'écrit-elle par un nombre à deux chiffres dont celui de gauche est 2 ? Même question si le chiffre de droite est 3.

Calculer, de deux méthodes différentes, dans l'abaque et avec jetons, dans la base indiquée :2035 - 1442 (base dix, base six sans changer les chiffres du calcul)2034 - 405 (base dix, base huit sans changer les chiffres du calcul)2025 - 56 (base sept) ; 2341 - 1425 (base six, base huit)344 - 255 (base six) et donner trois exemples de vérification.Retirer la quantité trois cent vingt de la quantité neuf cent soixante en base six.Citer 3 types d'erreurs courantes dans la soustraction écrite, leur raison et une remédiation possible.

Comment vérifier qu'un enfant maîtrise la différence entre chiffre et nombre ?Donner 4 exemples de consignes permettant des approches différentes de ce concept.Question FFJM (2018)On écrit sur des étiquettes les nombres de 1 à 50 en toutes lettres : un, deux, ..., cinquante.On classe ensuite ces étiquettes par ordre alphabétique.Quelle sera la première étiquette et quelle sera la dernière ?

Expliquer la différence entre multiplication et produit.Une petite bille d'acier a la propriété de rebondir aux 9/10 de sa hauteur de chute. Si elle tombe de 1 m de haut, quelle hauteur atteindra-t-elle à son 3e bond ?

Comment introduire de façon complète le concept d'inégalité numérique < et > ?Illustrer chaque aspect envisagé par un exemple.Même question pour ≤ et ≥.Même question pour le concept d'égalité numérique.

Donner un exmple de progression d'activités permettant de passer de la notion de fraction, fractions équivalentes et de fractions irréductibles (qui sont donc des prérequis) à la position d'un nombre sur une droite graduée.

Peut-on dire que tous les diviseurs de 15 sont des diviseurs de 50 ? Justifier.Vrai ou faux (à justifier à l'aide d'exemples numériques)A : Si un nombre est multiple de 4, alors il est multiple de 2B : Si un nombre est multiple de 5, alors il se termine par 5C : Si un nombre se termine par 4, alors il est multiple de 4D : Si un nombre se termine par 5, alors il est multiple de 5Quelle est la différence entre "nombres premiers" et "nombress premiers entre eux" ? Expliquer et illustrer par des exemples.Quel est le plus petit nombre naturel qui soit non nul, multiple de 90 et cube parfait ? Justifier

Ranger les nombres suivants dans l'odre croissant et justifier :a) 6/9 ; 1/4 + 1/3 ; 0,66 ; 12/15 ; 6/8 : 2/3 ; 3/5 x 15/9b) 8/12 ; 1/3 + 1/4 ; 0,66 ; 8/10 ; 3/4 : 6/9 ; 4/5 x 10/9c) 4/6 ; 6/10 ; 1/2 + 1/5 ; 0,66 ; 2/5 : 5/8Donner un exemple de problème d'école primaire utilisant les fractions, dont la résolution demande d'utiliser une somme puis un quotient, et qui a pour réponse 1/12. Justifier comme àl'école primaire.

Expliquer la fraction 5/6 à un élève du début du primaire. Variantes : 3/4, 2/3)A quel aspect de la notion de fraction fait-on appel lorsqu'on demande la fraction du puzzle correspondant à chaque pièce d'un puzzle ? Expliquer.Combien y a-t-il de quarts d'heure dans une semaine ? Justifier.Comparer "nombre décimal" et "fraction".

Donner un exemple d'addition écrite de deux nombres à 4 chiffres en base sept nécéssitant deux reports, qui seront précisés.

Proposer 3 façons différentes de résoudre le calcul 45 + 27 en précisant à chaque fois le procédé mathématique utilisé, qui doit être différent pour chaque résolution.Même question pour 81 - 28, pour 64 x 125, pour 28 + 37

Effectuer la division écrite 24789 : 37 et expliquer chaque étape en la liant à l'abaque.Partager la quantité cent en trois dans la base six.

Calculer, dans la base indiquée, en indiquant les retenues / reports :28 x 37 (base neuf)sept fois 324 (base cinq), six fois 324 (base huit), cinq fois 324 (base six)Calculer par une autre méthode de multiplication écrite (russe, égyptienne, par gelosia, chinoise, avec les bâtons de Néper)28 x 37Effectuer le calcul 1034 x 405 en base dix, à l'aide de l'abaque.Proposer 3 méthodes de vérification différentes et les utiliser en justifiant chaque affirmation ou calcul.Expliquer la notion de retenue : ce que c'est et à quoi elle sert pour le calcul écrit.Donner un exemple de multiplication écrite d'un nombre à 4 chiffres par un nombre à 2 chiffres en base six nécessitant 3 reports, qui seront précisés.

Quelles sont les étpaes principales lors de l'étude d'une table de multiplication ?

De nombreux documents utilisent la notion de fraction ou de pourcentage, dans les contextes les plus divers.Les divers graphiques en camembert sont aussi des occasions d'utiliser les fractions, et de rester critique face aux erreurs !!!Dans la même optique, un regard critique sur les publicités offre aussi de belles occasions de pratiquer les fractions dans un contexte le plus souvent économique.

Comparer :- notre système de numération oral et notre système de numération écrit.Imaginer un système de numération additif utilisant 5 symboles différents.Expliquer son fonctionnement à l'aide d'exemples bien choisis.Donner les caractéristiques de ce système ainsi que ses avantages et inconvénients.Imaginer un système de numération positionnel utilisant 5 symboles différents. Expliquer son fonctionnement à l'aide d'exemples bien choisis.

Un enfant reçoit des billes de sa maman. Après avoir perdu, il lui reste le quart de ce qu'il a reçu, puis il gagne 5 billes et donne enfin la moitié de ce qu'il a en poche à son frère qui reçoit 5 billes. Combien de billes avait-il reçu de sa maman ?Par quelle fraction faut-il multiplier un nombre pour a) l'augmenter de ses 12/5 b) le diminuer de ses 2/7

Pour ouvrir un coffre-fort à l'aide d'un code, un pirate doit résoudre l'énigme suivante : Le produit de 2 nombres est 180, le PGCD de ces nombres vaut 6. le nombre secret les le PPCM de ces deux nombres.Les dimensions d'une caisse à parois rectangulaires sont 150 cm, 165 cm et 105 cm. On veut fabriquer des boîtes cubiques dont l'arête mesure un nombre entier de cm pour remplir entièrement la caisse. Calculer la mesure de l'arête des boîtes, ainsi que le nombre de ces boîtes.Un nombre est divisible par x dans la base b si et seulement si son dernier chiffre est un multiple de x. Si b vaut dix, que peut valoir x ? Si b vaut six, que peut valoir x ?, et de façon générale, pour une base b, que peut valoir x ?