MINIMOS Y MAXIMOS

Càlculo Diferencial e integral Ingeniería en Sistemas Computacionales Claudia Beatriz Argaez Martínez

MINIMOS Y MAXIMOS

Empezar

Máximos y Mínimos

• Los máximos y mínimos relativos y absolutos son conceptos fundamentales en el análisis de funciones, especialmente en el cálculo diferencial.

Relativos

Absolutos

Caracterización de los máximos y mínimos relativos y absolutos

Máximos y Mínimos Relativos

Máximos y Mínimos Absolutos

• Una función tiene su máximo absoluto en x=4 si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
• Una función tiene su mínimo absoluto en x=b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

• Una función f(x) tiene un máximo relativo en x=a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos a
• Una función f(x) tiene un mínimo relativo en x=b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos a b.

VS

Criterio de la primera derivada para determinar máximos y mínimos relativos

Pasos para aplicar el criterio de la primera derivada

2. Encontrar la derivada de la función: Dada una función f(x)primero se debe calcular su derivada f′(x)
3. Determinar los puntos críticos: Los puntos críticos son aquellos valores de x donde la derivada es cero o no está definida. Para encontrarlos, se resuelve la ecuación f(x) =0. También se deben considerar los puntos donde f′(x) no existe.
4. Analizar el signo de la derivada: Se elige un intervalo alrededor de cada punto crítico y se evalúa el signo de la derivada f′(x)en esos intervalos. Esto se puede hacer seleccionando un punto de prueba en cada intervalo.
5. Determinar el comportamiento de la función: Se analiza cómo cambia el signo de la derivada al pasar por los puntos críticos:

Si f′(x) cambia de positivo a negativo al pasar por un punto crítico c, entonces f(c) es un máximo relativo. Si f′(x)cambia de negativo a positivo al pasar por un punto crítico c, entonces f(c) es un mínimo relativo. Si f′(x) no cambia de signo (es decir, sigue siendo positivo o negativo), entonces c no es un máximo ni un mínimo relativo.

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Implementación en problemas de optimización de distintas áreas

Economía

Ingeniería

Medicina y Biología

• Maximización de Beneficios
• Minimización de Costos

• Diseño de Estructuras
• Optimización de Recursos

• Dosis de Medicamentos
• Modelado de Poblaciones

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Situacion Practica

EJERCICIOS

REFERENCIAS

Máximos y Mínimos Relativos

Son los valores más grandes o más pequeños que toma una función en un intervalo específico. Se calculan en relación a los demás puntos de su entorno. Un punto máximo relativo se da cuando la función cambia de creciente a decreciente, mientras que un mínimo relativo se da cuando la función deja de decrecer y empieza a crecer

• Máximos Relativos: Puntos donde la función alcanza un valor mayor que en los puntos cercanos.
• Mínimos Relativos: Puntos donde la función alcanza un valor menor que en los puntos cercanos.

Dosis de Medicamentos: Problema: Determinar la dosis óptima de un medicamento que maximiza su efectividad y minimiza los efectos secundarios. Solución: Se establece una función que relaciona la dosis con la efectividad y los efectos secundarios, y se optimiza para encontrar la dosis ideal. Modelado de Poblaciones: Problema: En ecología, se busca maximizar la población de una especie en un hábitat dado. Solución: Se utilizan modelos matemáticos que describen el crecimiento poblacional y se optimizan para encontrar las condiciones que maximizan la población.

Maximización de Beneficios: Problema: Una empresa produce un producto y desea maximizar sus beneficios. La función de beneficios B(x) se define como la diferencia entre los ingresos R(x) y los costos C(x). B(x)=R(x)−C(x). Solución: Se encuentra la derivada de la función de beneficios B′(x) y se iguala a cero para encontrar los puntos críticos. Luego, se utiliza el criterio de la primera o segunda derivada para determinar si esos puntos son máximos o mínimos. Minimización de Costos: Problema: Una empresa desea minimizar sus costos de producción. La función de costos C(x) depende de la cantidad de productos x que se producen. Solución: Se calcula la derivada C′(x)y se busca minimizar C(x) encontrando los puntos críticos y analizando su naturaleza.

Máximos y Mínimos Absolutos

Son los valores más grandes o más pequeños que toma una función en todo el dominio de la función. Un punto máximo absoluto es el punto en el que la función alcanza su valor máximo posible, mientras que un punto mínimo absoluto es el punto en el que la función alcanza su valor mínimo posible

• Máximos Absolutos: Puntos donde la función alcanza el valor más alto en un intervalo específico.
• Mínimos Absolutos: Puntos donde la función alcanza el valor más bajo en un intervalo específico.

Diseño de Estructuras: Problema: Un ingeniero civil necesita diseñar una viga que soporte una carga máxima con el menor peso posible. La función que describe el peso de la viga puede depender de sus dimensiones. Solución: Se establece una función que relaciona el peso con las dimensiones de la viga y se optimiza utilizando derivadas para encontrar las dimensiones que minimizan el peso mientras se cumplen las condiciones de carga. Optimización de Recursos: Problema: En un proceso de fabricación, se desea maximizar la producción utilizando la menor cantidad de recursos (materiales, tiempo, etc.). Solución: Se modela la producción como una función de los recursos utilizados y se aplica el cálculo diferencial para encontrar el uso óptimo de los recursos.

Encontrar la primera derivada: Dada una función f(x), primero se calcula su primera derivada f′(x) y se determinan los puntos críticos resolviendo f′(x)=0 o donde f′(x) no está definida. Calcular la segunda derivada: Se calcula la segunda derivada f′′(x). Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos: Para cada punto crítico c: Si f′′(c)>0: La función es cóncava hacia arriba en c, lo que indica que c es un mínimo relativo. Si f′′(c)<0: La función es cóncava hacia abajo en c, lo que indica que c es un máximo relativo. Si f′′(c)=0: El criterio es inconcluso. En este caso, se debe realizar un análisis adicional (como la prueba de la primera derivada o el análisis de la concavidad) para determinar la naturaleza del punto crítico.

Criterio de la segunda derivada para determinar máximos, mínimos relativos

El criterio de la segunda derivada es una herramienta útil en el cálculo diferencial que permite determinar la naturaleza de los puntos críticos (máximos y mínimos relativos) y también proporciona información sobre la concavidad de la función y los puntos de inflexión.