integrales

Integrantes

• Evelin Jocelyn de la Cruz Arcos 230677
• Joaly Dalidai Hernandez Baeza 201616
• Abdiel Rafael Lopez Garcia 231710
• Carlos Abraham Cruz Vazquez 201399

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Integrales

Guia basica

¡Prepárate para desatar el poder de las matemáticas hoy!

métodos de integración

Integrales definidas

Ejemplos

Tipos

¿Para que sirven?

Definición

TEMAS

La integral definida es un tipo específico de integral que combina la idea de límite y suma. Se utiliza para calcular el área encerrada entre la curva de una función y el eje x, desde un punto inicial (a) hasta un punto final (b). Esto se denomina así porque se integra una función entre límites específicos

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Definiciòn

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Las integrales nos permiten calcular valores promedio y resolver problemas de optimización. Es útil en estadística y en la toma de decisiones.

Se utilizan en física, finanzas, economía y otras áreas para calcular cantidades como área, volumen, masa, desplazamiento, velocidad y energía.

las integrales ayudan a formular modelos matemáticos que pueden predecir fenómenos naturales. Sin la comprensión de la integral definida definicion, muchas teorías y aplicaciones en el mundo moderno serían imposibles de alcanzar

La integral definida es crucial en la física, la ingeniería, la economía y muchas otras disciplinas. Permite calcular cosas como rápida variación de cantidades, áreas de forma irregular, y mucho más.

¿PARA QUÈ SIRVEN?

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Integrales definidas

Integrales indefinidas

tipos de integrales - introducción

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Integrales de trigonometricas:

Integrales de funciones exponenciales:

Integral de una potencia:

Integral de una constante:

formas de resolver integrales:

La integral indefinida es una operación matemática que se sitúa en el corazón del cálculo. Se puede definir como el proceso de encontrar una función primitiva, es decir, una función cuya derivada es igual a la función dada. En términos simples, se trata de determinar la función original a partir de su tasa de cambio. La expresión matemática de la integral indefinida de una función f(x) se escribe como ∫f(x)dx.Existen algunas fórmulas que sirven para resolver integrales indefinidas sin tener que llevar a cabo un procedimiento complejo, sino que nos permiten hallar el resultado de la integral indefinida de manera directa.

Integral indefinida

tipos de integrales -

Las integrales definidas se caracterizan por resultar en un valor específico o definido. Para encontrar la integral definida de una función, tenemos que evaluar a la integral usando los límites de integración. La integral en el límite inferior es restada de la integral en el límite superior.

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Por lo tanto, para resolver una integral definida de una función primero se debe integrar dicha función, luego evaluar la función primitiva obtenida de la integral en los extremos del intervalo y, por último, restar los valores obtenidos.

La fórmula para resolver integrales definidas es la siguiente:

Integral definida

tipos de integrales -

solución

solución

solución

solución

Ejemplos

De las Integrales

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Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

Integraremos esta función "por partes". Recordemos que esto nos dice que Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

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Integraremos esta función "por partes". Recordemos que esto nos dice que

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

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Notemos que, además, . Así, sustituyendo en la integral original

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

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sustituyendo tenemos

por último, para escribir de nuevo esto en términos de , notemos que al hacer sustitución tomamos , despejaremos de aquí

Sustituyendo estos valores en la integral

Integraremos por sustitución trigonométrica. Tomaremos

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Teorema fundamental del cálculo integral

Función integral

Propiedades de la integral definida

Concepto de integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Integrales definidas

Concepto de i ntegral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Concepto de i ntegral definida

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Propiedades de la integral definida

• Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

• La integral definida cumple las siguientes propiedades:

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

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Función integral

Interpretación geométrica de la función integral o función área.

donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:

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Teorema fundamental del cálculo integral

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

• Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).

• Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

• El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

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Método de sustitución

Integración numérica

Cálculo de áreas

Integración por partes

Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas. Para facilitarlas se han ideado diversos procedimientos generales, de los cuales los más extendidos son los llamados métodos de sustitución o cambio de variable y de integración por partes.

METODOS DE INTEGRACIÒN

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Método de sustitución

Finalmente se desharía el cambio de variable, con lo que el resultado final sería:

se simplifica notablemente si se aplica el cambio t = sen x. Entonces, se cumpliría que dt = cos x dx, con lo que la integral quedaría reducida a:

Uno de los dos procedimientos más habituales para la resolución de integrales complicadas es el llamado método de sustitución o de cambio de variable. Esta técnica consiste en introducir una nueva variable t para sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Por ejemplo, la integral:

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Integración por partes

Este método resulta indicado particularmente cuando v × du es más fácil de integrar que u × dv.

El método de la integración por partes se emplea para simplificar el cálculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como del tipo u (x) × v¿ (x). La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

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Áreas formadas por dos curvas. Por consideraciones geométricas, el área de la intersección se calcula restando a la integral de f (x) en el intervalo [-1, 1] el valor de la integral de g (x) para ese mismo intervalo

Cálculo de áreas

La integral de f (x) en el intervalo [a, b] coincide con el valor del área R. Por convenio, dicha área se dice que es positiva cuando f (x) ³ 0 en el intervalo, y negativa si f £ 0 en [a, b]. Cuando la función tiene signo variable, las partes de la misma situadas por encima del eje horizontal añadirán valor positivo al área global, y las que discurran por debajo sumarán valores negativos a la misma.

La integral de una función continua entre los dos extremos de un intervalo [a, b] y tal que f (x) ³ 0 " x Î [a, b] coincide con el área comprendida entre dicha función, el eje horizontal y las dos rectas que delimitan los intervalos, de ecuaciones x = a y x = b. } Este principio puede servir también para calcular las áreas comprendidas entre curvas, por simples operaciones aritméticas de adición y sustracción.

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Integración numérica

Aproximación del área de una función por integración numérica.

Esta ley se llama regla de los trapecios. Evidentemente, cuanto mayor es el número de intervalos escogido, más cerca estará el valor obtenido del área real situada bajo la curva.

En ocasiones, el cálculo de una integral definida en un intervalo resulta tan complicado que se hace casi irresoluble. En estos casos, se puede aplicar un método de integración numérica aproximada, consistente en dividir el intervalo de definición en un conjunto de subintervalos iguales, de manera que se trazan sus imágenes sobre la curva y se unen todos puntos imagen mediante segmentos rectilíneos. Siendo f (x) la función de origen, y [a, b] el intervalo de integración, que se puede dividir en n subintervalos iguales de amplitud h tales que a = x0 < x1 < x2 < ¿ << xn = b, la región limitada por la curva de f (x) puede obtenerse aproximadamente a partir de la siguiente expresión:

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GRACIAS

MUCHAS

Integrales indefinidas

Una integral indefinida es una operación matemática que consiste en calcular la función primitiva de una función. Es decir, dada una función f(x), la integral indefinida de la función f(x) es igual al conjunto de funciones que al ser derivadas dan como resultado f(x).Por lo tanto, la integración indefinida es la operación matemática contraria a la derivación, pues gracias al teorema fundamental del cálculo sabemos que al integrar una función se obtiene aquella función que al ser derivada da como resultado la función original.Por esta razón F(x)+C es llamada la Integral Indefinida de f(x) y C es llamada constante de integración.

• Como podemos ver, la integral indefinida de la función f(x) es una familia de funciones.

Por ejemplo, si se quiere calcular la integral indefinida de la función f(x)=3x², primero se debe hallar una antiderivada de f(x).

Integrales definidas

Las integrales definidas son integrales que sirven para calcular el área de la región comprendida entre la función y el eje de abscisas en un intervalo determinado. La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área entre la gráfica de f(x), el eje X y las rectas verticales x=a y x=b.

• La principal diferencia entre las integrales definidas y las integrales indefinidas es que las integrales definidas dan como resultado un valor, mientras que el resultado de las integrales indefinidas son funciones.