VALIDACIÓN DE UNA DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA PARA LA RELACIÓN ENTRE LA DERIVADA Y LA INTEGRAL EN EL NIVEL SUPERIOR
Presenta América Guadalupe Analco Panohaya
Directora: Dra. Lidia Aurora Hernández Rebollar
Codirectora: Dra. María Trigueros Gaisman Tutora: Dra. Honorina Ruiz Estrada Facultad de Ciencias Físico Matemáticas Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
ÍNDICE
03. Marco teórico
01. Introducción
0.4 Resultados
02. Objetivo
01. 01. Introducción
Bressoud et al. (2016) mencionan que las dificultades de los estudiantes en cálculo
Títu aquí
Provienen de la desconexión entre representaciones simbólicas y gráficas, así como de una interpretación limitada de conceptos clave como el límite, el área bajo la curva y la tasa de cambio.
Mejora la comunicación sobre cualquier tema.
Perciben los conceptos de derivada e integral de manera aislada, lo que limita su capacidad para aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo en contextos reales.
Suelen estar vinculadas a una comprensión deficiente de conceptos fundamentales como los límites, la derivada y la integral.
Thompson (1994) menciona que las sumas de Riemann son fundamentales porque permiten a los estudiantes conceptualizar cómo se acumulan cantidades a partir de pequeños incrementos y que son una representación dinámica de la acumulación de cambios, conectando directamente con la noción de integral definida.
Jiménez Villanueva y Mejía Velasco (2015) examinan cómo estudiantes de ingeniería desarrollan construcciones mentales relacionadas con la integral definida, utilizando la función de acumulación como base.
Thompson y Dreyfus (2016) los diferenciales son fundamentales en cálculo porque conectan el cambio infinitesimal con el proceso de acumulación, facilitando la comprensión del Teorema Fundamental del Cálculo al vincular derivadas e integrales.
0.2 Objetivo
Específicos
General
1. Diseñar una descomposición genética que describa la comprensión de la relación entre los conceptos de derivada e integral usando la teoría APOE. 2. Diseñar una secuencia de actividades basada en la descomposición genética diseñada. 3. Identificar las estructuras y mecanismos mentales de los estudiantes al realizar las actividades diseñadas. 4. Identificar las dificultades de los estudiantes. 5. Refinar la descomposición genética.
Diseñar y validar una descomposición genética que describa la comprensión de la relación entre los conceptos de derivada e integral utilizando la teoría APOE.
03. Marco teórico
Teoría APOE
Tematización
03. Marco teórico
Teoría de representaciones semióticas
Representación identificable del objeto
Tratamiento
Conversión
06.
0.4 RESULTADOS
DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA PRELIMINAR DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Se realiza la Acción de dividir un intervalo [a,b] del dominio de la función en n subintervalos de igual longitud. Para cada subintervalo, se construye un rectángulo, tomando como base el ancho del subintervalo Δx y la altura que corresponde al valor de la función en el punto mínimo o máximo de cada subintervalo.
10
Posteriormente, el estudiante realiza la Acción de calcular el área de cada rectángulo, mediante la multiplicación Δx⋅f(xi), donde f(xi) representa la altura del rectángulo en el punto seleccionado y la Acción de sumar esas áreas. La repetición de estas Acciones y la reflexión al realizarlas para diferentes particiones permite al estudiante interiorizarlas en un Proceso Suma de Riemann, en el que la suma de las áreas de los rectángulos se comprende como una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [a,b].
11
El Proceso de Suma de Riemann se coordina con su representación gráfica, relacionando la suma de las áreas de los rectángulos con el cálculo de cada término en la suma. Esta coordinación permite al estudiante construir una comprensión dinámica del Proceso Suma de Riemann, visualizando que, a medida que se incrementa el número de rectángulos, la aproximación del área bajo la curva se vuelve más precisa.
12
Este Proceso de Suma de Riemann se encapsula en el Objeto Suma de Riemann al calcular el límite cuando el ancho de los subintervalos Δx tiende a 0, el límite de la suma de Riemann se transforma en una representación exacta del área bajo la curva en el intervalo dado, a lo que llamaremos Integral definida de f en el intervalo [a,b].
13
14
15
16
Trabajo a futuro
Ciclo de investigación (adaptado de Asiala et al. 1996)
REFERENCIAS
17
Asiala, M., Brown, A., DeVries, D. J., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (1996). A Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics Education. Research in Collegiate Mathematics Education II, CBMS Issues in Mathematics Education, 6, 1-32. Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E. Oktac, A. Roa, S., Trigeros, M. y W. K. (2014). APOS Theory A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education. Springer. Bressoud, D., Ghedamsi, I., Martinez, Victor y Törner, G. (2016). Teaching and Learning of Calculus. Springer Open. https://doi.org/10.1007/978-3-319-32975-8. Duval, R. (1993). Registres de représentations sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, IREM de Strasbourg, Francia, 5, 37-65. https://mathinfo.unistra.fr/fileadmin/upload/IREM/Publications/Annales_didacti que/vol_05/adsc5_1993-003.pdf Jiménez Villanueva, M. P., y Mejía Velasco, H. R. (2015). Estudio de la integral definida mediante la función de acumulación. Presentado en el 3er Coloquio de Doctorado, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav, México. Thompson, P. W. (1994). Images of rate and operational understanding of the Fundamental Theorem of Calculus. Educational Studies in Mathematics, 26(2-3), 229–274. https://doi.org/10.1007/BF01273664
Thompson, P. W., y Dreyfus, T. (2016). A coherent approach to the Fundamental Theorem of Calculus using differentials. In R. Göller, R. Biehler & R. Hochsmuth (Eds.), Proceedings of the Conference on Didactics of Mathematics in Higher Education as a Scientific Discipline (pp. 355-359). Hannover, Germany: KHDM.
18
Gracias por su atención
Es
una transformación interna de la representación en el mismo registro en que está dada
La primera característica se asocia con la expresión de una representación mental del objeto.
Es una transformación externa, es decir, representa la transición de una representación a otra.
La primera característica
se asocia con la expresión de una representación mental del objeto.
Tus contenidos gustan, pero solo enganchan si son interactivos. Capta la atención de tu público con una fotografía o ilustración interactiva.
Es una transformación externa, es decir, representa la transición de una representación
a otra.
El tratamiento es una transformación interna de la representación en el mismo registro en que está dada
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VALIDACIÓN DE UNA DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA PARA LA RELACIÓN ENTRE LA DERIVADA Y LA INTEGRAL EN EL NIVEL SUPERIOR
Presenta América Guadalupe Analco Panohaya Directora: Dra. Lidia Aurora Hernández Rebollar Codirectora: Dra. María Trigueros Gaisman Tutora: Dra. Honorina Ruiz Estrada Facultad de Ciencias Físico Matemáticas Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
ÍNDICE
03. Marco teórico
01. Introducción
0.4 Resultados
02. Objetivo
01. 01. Introducción
Bressoud et al. (2016) mencionan que las dificultades de los estudiantes en cálculo
Títu aquí
Provienen de la desconexión entre representaciones simbólicas y gráficas, así como de una interpretación limitada de conceptos clave como el límite, el área bajo la curva y la tasa de cambio.
Mejora la comunicación sobre cualquier tema.
Perciben los conceptos de derivada e integral de manera aislada, lo que limita su capacidad para aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo en contextos reales.
Suelen estar vinculadas a una comprensión deficiente de conceptos fundamentales como los límites, la derivada y la integral.
Thompson (1994) menciona que las sumas de Riemann son fundamentales porque permiten a los estudiantes conceptualizar cómo se acumulan cantidades a partir de pequeños incrementos y que son una representación dinámica de la acumulación de cambios, conectando directamente con la noción de integral definida.
Jiménez Villanueva y Mejía Velasco (2015) examinan cómo estudiantes de ingeniería desarrollan construcciones mentales relacionadas con la integral definida, utilizando la función de acumulación como base.
Thompson y Dreyfus (2016) los diferenciales son fundamentales en cálculo porque conectan el cambio infinitesimal con el proceso de acumulación, facilitando la comprensión del Teorema Fundamental del Cálculo al vincular derivadas e integrales.
0.2 Objetivo
Específicos
General
1. Diseñar una descomposición genética que describa la comprensión de la relación entre los conceptos de derivada e integral usando la teoría APOE. 2. Diseñar una secuencia de actividades basada en la descomposición genética diseñada. 3. Identificar las estructuras y mecanismos mentales de los estudiantes al realizar las actividades diseñadas. 4. Identificar las dificultades de los estudiantes. 5. Refinar la descomposición genética.
Diseñar y validar una descomposición genética que describa la comprensión de la relación entre los conceptos de derivada e integral utilizando la teoría APOE.
03. Marco teórico
Teoría APOE
Tematización
03. Marco teórico
Teoría de representaciones semióticas
Representación identificable del objeto
Tratamiento
Conversión
06. 0.4 RESULTADOS
DESCOMPOSICIÓN GENÉTICA PRELIMINAR DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Se realiza la Acción de dividir un intervalo [a,b] del dominio de la función en n subintervalos de igual longitud. Para cada subintervalo, se construye un rectángulo, tomando como base el ancho del subintervalo Δx y la altura que corresponde al valor de la función en el punto mínimo o máximo de cada subintervalo.
10
Posteriormente, el estudiante realiza la Acción de calcular el área de cada rectángulo, mediante la multiplicación Δx⋅f(xi), donde f(xi) representa la altura del rectángulo en el punto seleccionado y la Acción de sumar esas áreas. La repetición de estas Acciones y la reflexión al realizarlas para diferentes particiones permite al estudiante interiorizarlas en un Proceso Suma de Riemann, en el que la suma de las áreas de los rectángulos se comprende como una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [a,b].
11
El Proceso de Suma de Riemann se coordina con su representación gráfica, relacionando la suma de las áreas de los rectángulos con el cálculo de cada término en la suma. Esta coordinación permite al estudiante construir una comprensión dinámica del Proceso Suma de Riemann, visualizando que, a medida que se incrementa el número de rectángulos, la aproximación del área bajo la curva se vuelve más precisa.
12
Este Proceso de Suma de Riemann se encapsula en el Objeto Suma de Riemann al calcular el límite cuando el ancho de los subintervalos Δx tiende a 0, el límite de la suma de Riemann se transforma en una representación exacta del área bajo la curva en el intervalo dado, a lo que llamaremos Integral definida de f en el intervalo [a,b].
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16
Trabajo a futuro
Ciclo de investigación (adaptado de Asiala et al. 1996)
REFERENCIAS
17
Asiala, M., Brown, A., DeVries, D. J., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (1996). A Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics Education. Research in Collegiate Mathematics Education II, CBMS Issues in Mathematics Education, 6, 1-32. Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E. Oktac, A. Roa, S., Trigeros, M. y W. K. (2014). APOS Theory A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education. Springer. Bressoud, D., Ghedamsi, I., Martinez, Victor y Törner, G. (2016). Teaching and Learning of Calculus. Springer Open. https://doi.org/10.1007/978-3-319-32975-8. Duval, R. (1993). Registres de représentations sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, IREM de Strasbourg, Francia, 5, 37-65. https://mathinfo.unistra.fr/fileadmin/upload/IREM/Publications/Annales_didacti que/vol_05/adsc5_1993-003.pdf Jiménez Villanueva, M. P., y Mejía Velasco, H. R. (2015). Estudio de la integral definida mediante la función de acumulación. Presentado en el 3er Coloquio de Doctorado, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav, México. Thompson, P. W. (1994). Images of rate and operational understanding of the Fundamental Theorem of Calculus. Educational Studies in Mathematics, 26(2-3), 229–274. https://doi.org/10.1007/BF01273664 Thompson, P. W., y Dreyfus, T. (2016). A coherent approach to the Fundamental Theorem of Calculus using differentials. In R. Göller, R. Biehler & R. Hochsmuth (Eds.), Proceedings of the Conference on Didactics of Mathematics in Higher Education as a Scientific Discipline (pp. 355-359). Hannover, Germany: KHDM.
18
Gracias por su atención
Es una transformación interna de la representación en el mismo registro en que está dada
La primera característica se asocia con la expresión de una representación mental del objeto.
Es una transformación externa, es decir, representa la transición de una representación a otra.
La primera característica se asocia con la expresión de una representación mental del objeto.
Tus contenidos gustan, pero solo enganchan si son interactivos. Capta la atención de tu público con una fotografía o ilustración interactiva.
Es una transformación externa, es decir, representa la transición de una representación a otra.
El tratamiento es una transformación interna de la representación en el mismo registro en que está dada