PROYECTO FINAL

Ecuaciones Diferenciales

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Hugo Armando Ramirez Sosa

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ÍNDICE

Tipos de Ecuaciones

Clasificación

Definicion

¿Para qué se usan?

Ejemplos

Definicion

es una ecuación matemática que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas.

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Definicion

• Estas ecuaciones se utilizan para modelar fenómenos en los que una cantidad cambia en función de otra, como el movimiento, la propagación del calor o el crecimiento poblacional.
• En términos generales, una ecuación diferencial puede expresarse como:F(x,y,y',y", . . . , y(n)) = 0 Donde y es la funcion desconocida de x y y′,y′′,…,y(n) son sus derivadas.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Por la Variable Dependiente

Por el Orden

Por Linealidad

°De primer orden: Involucran solo la primera derivada (𝑦′). Ejemplo: 𝑦′+𝑦=𝑥 °De segundo orden: Involucran hasta la segunda derivada (𝑦′′). Ejemplo: 𝑦′′+3𝑦'−2𝑦=0 °De orden 𝑛: Involucran derivadas hasta el orden 𝑛.

Lineales: La función desconocida y sus derivadas aparecen de forma lineal (sin potencias ni productos entre ellas). Ejemplo: 𝑦′′+2𝑦′+𝑦=𝑒𝑥 No lineales: Contienen términos no lineales. Ejemplo: 𝑦′′+𝑦2=0

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): Dependen de una sola variable independiente. Ejemplo: 𝑦′+𝑦=0y′+y=0 Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): Involucran derivadas parciales con respecto a varias variables independientes.

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Tipos de Ecuaciones

Lineales de primer orden

dy

PQ

Separables

MN

Ecuaciones homogéneas

Exactas

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Tipos de Ecuaciones

Lineales de primer orden

Separables

Se pueden reescribir como producto de funciones de 𝑥 y 𝑦 separadas.

y′+P(x)y=Q(x) Se resuelven con el factor integrante.

Exactas

Ecuaciones homogéneas

Aquellas que se pueden expresar como derivadas de una función potencial

Donde 𝑀 y 𝑁 tienen el mismo grado. 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑓(𝑦/𝑥)

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¿Para qué se usan las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en la modelización de sistemas físicos, químicos, biológicos, sociales y económicos.

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Ejemplos Aplicados

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Ejemplo 01

Enfriamiento de un líquido (Ley básica)

Ecuación diferencial: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = − 𝑘𝑇 Donde: 𝑇: Temperatura del líquido. 𝑘: Constante de enfriamiento. Solución: Resolviendo esta ecuación separable: 𝑇(𝑡)=𝑇0𝑒−𝑘𝑡

Uso: Esto modela cómo un café caliente se enfría al dejarlo sobre la mesa.

Ejemplo 02

Crecimiento poblacional sencillo

Ecuación diferencial: 𝑑𝑦 𝑑𝑡=𝑘𝑦 Donde: 𝑦: Tamaño de la población. 𝑘: Tasa de crecimiento.

Solución: 𝑦(𝑡) = 𝑦0𝑒𝑘𝑡 Uso: Estimar cómo crece una población de conejos en condiciones ideales.

Ejemplo 03

Movimiento rectilíneo uniforme acelerado

Ecuación diferencial: 𝑑𝑣 𝑑𝑡=𝑎 ​Donde: 𝑣: Velocidad de un objeto. 𝑎: Aceleración constante.

Solución: Integrando: 𝑣(𝑡)=𝑣0+𝑎𝑡 Uso: Calcular la velocidad de un carro si parte con velocidad inicial 𝑣0 y acelera uniformemente.

¡GRACIAS!

¡Volver al inDice!

• Física: Modelar fenómenos como el movimiento (Leyes de Newton), ondas, y termodinámica.
• Ingeniería: Análisis de circuitos eléctricos, dinámica estructural, y control de sistemas.
• Biología: Crecimiento poblacional, difusión de sustancias químicas, y modelos epidemiológicos.