Actividad_4_Álgebra_lineal

Álgebra lineal

Actividad con el Asesor Académico Virtual

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Resumen

Un espacio vectorial es un conjunto de objetos, llamados vectores, que se pueden sumar entre sí y multiplicar por escalares (números reales o complejos), cumpliendo ciertas propiedades o axiomas. Estos axiomas garantizan que las operaciones de suma y multiplicación por un escalar se comporten de manera coherente y estructurada.

Espacio Vectorial en 3 Dimensiones (R^3) El espacio vectorial R^3 está formado por todos los vectores que se pueden representar como tripletas ordenadas de números reales. Un vector en R^3 se denota como v=(x,y,z), donde x, y y z son números reales. Los vectores en R^3 se pueden visualizar como flechas en un espacio tridimensional, donde el punto de inicio es el origen (0,0,0) y el punto final es (x,y,z). Suma de Vectores: Si u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3), entonces la suma se define como: u+v=(u1+v1,u2+v2,u3+v3) Multiplicación por un Escalar: Si c es un escalar y u=(u1,u2,u3), entonces: cu=(cu1,cu2,cu3)

Espacio Vectorial en 2 Dimensiones (R^2)El espacio vectorial R^2 está formado por todos los vectores que se pueden representar como pares ordenados de números reales. Un vector en R^2 se denota generalmente como v=(x,y) donde x y y son números reales. Los vectores en R^2 se pueden visualizar como flechas en un plano cartesiano, donde el punto de inicio es el origen (0,0) y el punto final es (x,y). Suma de Vectores: Si u=(u1,u2) y v=(v1,v2), entonces la suma se define como: u+v=(u1+v1,u2+v2) Multiplicación por un Escalar: Si c es un escalar y u=(u1,u2), entonces: cu=(cu1,cu2)

¿Cómo se define un espacio vectorial en 2 y 3 dimensiones?

Un espacio vectorial en 2 y 3 dimensiones se define a partir de los vectores que se pueden representar en esos espacios, que son R^2 y R^3, respectivamente. A continuación, se describen las características de cada uno:

+ info

1. Cerradura bajo la suma: La suma de dos vectores en R^n es otro vector en R^n.
2. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: El producto de un vector en R^n por un escalar es otro vector en R^n.
3. Asociatividad y conmutatividad de la suma.
4. Existencia del vector cero: El vector cero en R^n es (0,0,…,0).
5. Existencia de inversos aditivos: Para cada vector u, existe un vector −u tal que u+(−u)=0.

Espacio Vectorial en n Dimensiones (R^n)

Espacio Vectorial en n Dimensiones (R^n)El espacio vectorial R^n está formado por todos los vectores que se pueden representar como n-tuplas de números reales. Un vector en R^n se denota generalmente como:v=(x1,x2,x3,…,xn)

Propiedades del Espacio Vectorial en n Dimensiones

¿Cómo se generaliza la idea de espacio vectorial a n dimensiones, siendo n un entero positivo mayor que 3?

La generalización de la idea de espacio vectorial a n dimensiones se realiza a través del concepto de R^n, donde n es un entero positivo.

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Axiomas de un Espacio Vectorial

1. Cerradura bajo la suma: Si u y v son vectores en V, entonces u+v también está en V.
2. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: Si u es un vector en V y c es un escalar, entonces cu también está en V.
3. Asociatividad de la suma: Para todos los vectores u,v,w en V, se cumple: (u+v)+w=u+(v+w)
4. Conmutatividad de la suma: Para todos los vectores u y v en V, se cumple: u+v=v+u
5. Existencia del vector cero: Existe un vector 0 en V tal que para cualquier vector u en V, se cumple: u+0=u
6. Existencia de inversos aditivos: Para cada vector u en V, existe un vector −u en V tal que: u+(−u)=0
7. Distributividad de la multiplicación por un escalar respecto a la suma de vectores: Para todos los escalares a y b y para cualquier vector u en V: a(u+v)=au+av
8. Distributividad de la multiplicación por un escalar respecto a la suma de escalares: Para cualquier escalar a y b y para cualquier vector u en V: (a+b)u=au+bu
9. Compatibilidad de la multiplicación por un escalar: Para cualquier escalar a y b y para cualquier vector u en V: a(bu)=(ab)u
10. Identidad de la multiplicación por un escalar: Para cualquier vector u en V: 1u=u

Situación Práctica

- Genially

Ya que has planteado el sistema de ecuaciones de la actividad anterior, representa vectorialmente dicho sistema.

Aquí, el vector es también un vector normal a la recta representada por esta ecuación.

2. Segunda Ecuación: x−y=1 De manera similar, podemos reescribirla en forma de vector:

Esto significa que el vector es un vector normal a la recta representada por la ecuación.

Representación Vectorial Para representar este sistema de ecuaciones vectorialmente, podemos expresar cada ecuación en forma de vector. 1. Primera Ecuación: 2x+3y=6 Podemos reescribirla en forma de vector:

Ejemplo de Sistema de Ecuaciones Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x+3y=6 x−y=1

Identificación de Entidades

Para representar vectorialmente un sistema de ecuaciones, primero necesitamos tener un sistema específico de ecuaciones lineales.

Gráfica de las Ecuaciones Para visualizar el sistema, podemos graficar las dos ecuaciones en un plano cartesiano: 1. Ecuación 1: 2x+3y=6 • Para encontrar los interceptos: • Si x=0: 3y=6 → y=2 (intercepto en (0,2)) • Si y=0y=0: 2x=6→ x=3 (intercepto en (3,0)) La recta pasa por los puntos (0,2) y (3,0).

Intersección de las Rectas Al graficar ambas rectas en el mismo plano, el punto donde se cruzan representa la solución del sistema de ecuaciones. En este caso, al resolver el sistema, encontramos que la solución es (2,0).

2. Ecuación 2: x−y=1 • Para encontrar los interceptos: • Si x=0: −y=1→ y=−1 (intercepto en(0,−1)) • Si y=0: x=1 (intercepto en (1,0)) La recta pasa por los puntos (0,−1) y (1,0).

Identificación de Entidades

Para representar vectorialmente un sistema de ecuaciones, primero necesitamos tener un sistema específico de ecuaciones lineales.

Una vez representado el sistema, ¿cuál es la relación entre la solución del sistema y la independencia lineal? Por otro lado, sí el sistema tiene inconsistencias, ¿cuál es la relación con la dependencia lineal?

1. Sistema Incompatible: • Un sistema de ecuaciones es inconsistente si no tiene solución, lo que significa que las rectas (o planos) no se intersectan en ningún punto. • Esto puede suceder si las ecuaciones son linealmente dependientes pero contradictorias. Por ejemplo, si dos ecuaciones representan líneas paralelas en el plano, son dependientes en el sentido de que ambas están en la misma dirección, pero no se intersectan, lo que significa que no hay solución que satisfaga ambas ecuaciones simultáneamente. 2. Dependencia Lineal en Sistemas Inconsistentes: • En un sistema inconsistente, aunque las ecuaciones pueden ser dependientes, la contradicción en sus términos independientes (por ejemplo, diferentes interceptos en el caso de líneas paralelas) impide que haya una solución. • Esto resalta que la dependencia lineal no siempre garantiza que un sistema tenga solución; puede llevar a contradicciones que resultan en un sistema inconsistente.

Relación entre la Inconsistencia del Sistema y la Dependencia Lineal

1. Sistema Compatible Determinado: • Si un sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución (es decir, es consistente y tiene un número finito de soluciones), esto implica que las ecuaciones son linealmente independientes. • En este caso, cada ecuación aporta información única y no redundante sobre las variables. Por lo tanto, la intersección de las rectas (o planos, en dimensiones superiores) representa un único punto en el espacio, que es la solución del sistema. 2. Sistema Compatible Indeterminado: • Si un sistema tiene infinitas soluciones, esto puede ocurrir cuando hay dependencia lineal entre las ecuaciones. En este caso, al menos una de las ecuaciones puede ser expresada como una combinación lineal de las otras. • Esto significa que las ecuaciones no están proporcionando información adicional, lo que resulta en una familia de soluciones que forman una línea o un plano en el espacio, dependiendo de cuántas variables y ecuaciones haya.

Relación entre la Solución del Sistema y la Independencia Lineal

¿La solución del modelo puede ser representada como un espacio vectorial? ¿Qué relación existe entre la solución del sistema y los espacios vectoriales?

1. Subespacios Vectoriales: • Como se mencionó anteriormente, el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales forma un subespacio vectorial. Esto se debe a que cumple con las propiedades de cerradura bajo la suma y la multiplicación por un escalar. • Por ejemplo, si x1 y x2 son soluciones del sistema, entonces c1x1+c2x2 (donde c1 y c2 son escalares) también es una solución. 2. Espacio Vectorial de Soluciones: • En un sistema no homogéneo, la solución general puede ser expresada como la suma de una solución particular y el espacio de soluciones del sistema homogéneo asociado. Esto se puede escribir como: x=xp+xhdonde xp es una solución particular y xh es el espacio de soluciones del sistema homogéneo. 3. Intersección de Espacios: • La solución de un sistema de ecuaciones lineales también puede ser vista como la intersección de varios subespacios vectoriales. Cada ecuación lineal define un subespacio, y la solución del sistema es el conjunto de puntos que pertenecen a todos estos subespacios simultáneamente.

Relación entre la Solución del Sistema y los Espacios Vectoriales

1. Espacio de Soluciones: • La solución de un sistema de ecuaciones lineales puede ser vista como un conjunto de vectores que satisfacen las ecuaciones del sistema. Este conjunto puede ser un único punto (en el caso de un sistema compatible determinado), una línea (en el caso de un sistema compatible indeterminado) o un plano (en sistemas con más de dos variables). • En el caso de un sistema homogéneo (donde el término independiente es cero), la solución siempre incluye el vector cero y forma un subespacio vectorial. Esto se debe a que cualquier combinación lineal de soluciones también es una solución. 2. Dimensión del Espacio de Soluciones: • La dimensión del espacio de soluciones está relacionada con el número de variables y el rango del sistema. Si un sistema tiene n variables y r ecuaciones lineales independientes, la dimensión del espacio de soluciones es n−r. • Por ejemplo, si tienes un sistema de 3 ecuaciones en 5 variables y el rango del sistema es 3, entonces la dimensión del espacio de soluciones es 5−3=2. Esto significa que las soluciones forman un plano en el espacio de 5 dimensiones.

Representación de la Solución como un Espacio Vectorial

Referencias

• http://gmc.geofisica.unam.mx/papime2020/index.php/articulos/13-espacios-vectoriales
• https://www.ehu.eus/ebravo/contenidos/Algebra%20lineal/Algebra.pdf
• https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-subespacios-vectoriales/

Liliana Sánchez Guerra 010661316 Ingeniería en sistemas computacionales

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