Geometría Analítica BUAP 1

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En este blog explicaremos detalladamente todos los contenidos que se vieron durante la disciplina correspondiente a Geometría Analítica.

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Geometría Analítica

Parábola e hipérbola

Circunferencia y elipse

Plano polar

Excentricidad y elementos

Cónicas

Triángulos

Recta

Polígonos

División de un segmento a una razón dada

Distancia entre dos puntos

Plano cartesiano

Propósito

ÍNDICE

Nuestro propósito es plasmar todas las lecciones que aprendimos a lo largo de este semestre en Geometría Analítica para tener un almanaque de consulta. El proyecto fue hecho bajo la consulta de la doctora Laura Angélica Cano Cordero y elaborado por José Elian Peral Hernández, Santiago Penetro Zayas, Diego Noltenius Quezada, Ricardo Guzmán Maldonado, Gabriel Hernández Sánchez, David Espinosa Lima, Ramírez Vásquez Andrés entre los meses de agosto a noviembre del 2024.

PROPÓSITO

El plano se divide en cuatro regiones, conocidas como cuadrantes: 1.En el primer cuadrante, X y Y son positivos. 2.En el segundo cuadrante, X es negativo y Y es positivo. 3.En el tercero, ambos son negativos. 4.En el cuarto, X es positivo y Y es negativo. Este sistema es fundamental en matemáticas, ya que nos permite representar gráficas de funciones, resolver problemas geométricos y analizar relaciones entre variables de manera visual y precisa.

Cada punto en el plano se localiza con un par de números llamados coordenadas. El primer número indica la posición en el eje X (hacia la derecha si es positivo, o hacia la izquierda si es negativo), y el segundo número indica la posición en el eje Y (hacia arriba si es positivo, o hacia abajo si es negativo).

El plano cartesiano es un sistema que nos permite ubicar puntos en un espacio utilizando dos ejes perpendiculares: el eje horizontal, llamado X, y el eje vertical, llamado Y. Ambos se cruzan en un punto central llamado origen, que tiene las coordenadas (0, 0).

PLANO CARTESIANO

La idea es trazar un triángulo rectángulo donde los puntos son los extremos de la hipotenusa. La distancia entre ellos se calcula con esta fórmula:

La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano nos dice qué tan lejos están uno del otro. Es una medida directa, como si trazáramos una línea recta entre ellos y quisiéramos saber su longitud. Esto es útil en geometría, física y muchas otras áreas, porque nos permite calcular trayectorias, medir segmentos o simplemente entender relaciones espaciales. Para encontrarla, usamos una fórmula basada en el Teorema de Pitágoras, que conecta las diferencias en las posiciones de los puntos sobre los ejes x y y.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

FÓRMULAS:

La división de un segmento en una razón dada consiste en encontrar un punto que divida ese segmento en partes proporcionales a la razón indicada. Supongamos que tenemos un segmento definido por los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) y queremos encontrar un punto P(x,y) que lo divida en una razón m:n.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO A UNA RAZÓN DADA

AREAS Y PERIMETROS DE POLIGONOS IRREGULARES

En geometría analítica, los polígonos se estudian utilizando el plano cartesiano, lo que permite calcular propiedades como perímetro, área, y verificar características específicas (como si es regular o no). Cada vértice del polígono se representa con coordenadas (x,y), y las fórmulas analíticas ayudan a trabajar con ellos.

POLÍGONOS

Posiciones entre rectas:

• Paralelas: Si nunca se cruzan, tienen la misma inclinación.
• Perpendiculares: Si forman un ángulo recto al cruzarse, sus inclinaciones están relacionadas de forma opuesta.

Pendiente de la recta: La pendiente describe la inclinación de la recta. Si la pendiente es positiva, la recta sube al moverse de izquierda a derecha; si es negativa, baja. Si la pendiente es cero, la recta es horizontal, y si no tiene pendiente (porque no se puede calcular), la recta es vertical.

En geometría analítica, calcular los ángulos internos de un polígono se basa en el uso de vectores y sus propiedades. Para determinar un ángulo interno en un vértice del polígono, consideramos los vectores que representan los lados que se encuentran en ese vértice. Esto permite aplicar fórmulas analíticas para encontrar el ángulo entre los vectores.

RECTA

4. Incentro: El incentro es el centro del círculo inscrito dentro del triángulo, que es el círculo más grande que cabe dentro del triángulo y toca los tres lados. El incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de los ángulos del triángulo. Las bisectrices son las rectas que dividen a los ángulos internos del triángulo en dos partes iguales.

3. Ortocentro: El ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo. Una altura es el segmento de línea perpendicular a un lado del triángulo, que pasa por el vértice opuesto

2. Centroide: El centroide es el punto de intersección de las tres medianas del triángulo. Una mediana es el segmento de línea que conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto. El centroide tiene una propiedad especial: es el centro de masa del triángulo, y divide cada mediana en una proporción de 2:1, donde la parte más larga está cerca del vértice.

1. Circuncentro: El circuncentro es el centro del círculo circunscrito al triángulo, es decir, el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo. El circuncentro es el punto de intersección de las perpendiculares a los lados del triángulo (las llamadas mediatrices). La mediatriz de un lado es la recta perpendicular a ese lado que pasa por su punto medio

TRIÁNGULOS

Las cónicas son un conjunto de curvas que se definen como el lugar geométrico de todos los puntos que cumplen con una propiedad específica. Dependiendo de la forma en que un plano corta un cono, se obtienen diferentes tipos de cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Cada una de estas cónicas tiene una definición precisa que la caracteriza. A continuación te explico cada tipo de cónica usando esta idea de lugar geométrico

CÓNICAS

2. Elipse: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Es una curva que se parece a un óvalo, y tiene dos ejes: uno mayor (el más largo) y uno menor (el más corto). Propiedad: La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es constante.

1. Circunferencia: La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia constante (el radio) de un punto fijo llamado centro. Es la única cónica donde todos sus puntos están equidistantes de un centro, y su forma es perfectamente redonda. Propiedad: Todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del centro

4. Hipérbola: La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. A diferencia de la elipse, en la hipérbola, las dos ramas de la curva se alejan de manera infinita a medida que te alejas del centro. Propiedad: La diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a los dos focos es constante.

3. Parábola: La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que están equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Esta es la forma más sencilla entre las cónicas, y tiene una forma de "U" o "V", dependiendo de su orientación. Propiedad: La distancia de cualquier punto en la parábola al foco es igual a la distancia de ese punto a la directriz

Elementos: Focos: Los focos son puntos fijos que ayudan a definir la cónica. Son esenciales en la descripción de la elipse, la hipérbola y la parábola. Centro: El centro es el punto central de la cónica, presente en la circunferencia y la elipse. Ejes: La elipse tiene dos ejes: el eje mayor y el eje menor. La hipérbola también tiene dos ejes: el eje transversal (que conecta los vértices) y el eje conjugado (que es perpendicular al eje transversal). Vértice: Los vértices son los puntos de mayor o menor distancia al centro o foco de la cónica, dependiendo de su tipo. En la parábola, el vértice es el punto donde la cónica cambia de dirección. Directriz: En la parábola, la directriz es una recta fija que ayuda a definir la curvatura de la parábola. Es utilizada junto con el foco para determinar los puntos de la curva

Excentricidad: La excentricidad es una medida que describe la forma de las cónicas, es decir, qué tanto se alejan de la forma de un círculo (en el caso de las elipses) o cómo se abren (en el caso de las hipérbolas). Circunferencia: La excentricidad de una circunferencia es igual a 0, ya que todos los puntos están a la misma distancia del centro. Elipse: La excentricidad de una elipse es un valor mayor que 0 pero menor que 1. A medida que la excentricidad se acerca a 0, la elipse se va pareciendo más a un círculo. Parábola: La excentricidad de una parábola es igual a 1. Hipérbola: La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. Cuanto mayor es la excentricidad, más abiertas están las ramas de la hipérbola

Excentricidad y sus elementos

En el plano polar, un punto P se describe mediante dos valores:

• r: La distancia del punto al origen (denominado polo). El valor de r es siempre no negativo, y representa la longitud del segmento de línea que va desde el origen hasta el punto P.
• θ: El ángulo medido desde una línea de referencia, que generalmente es el eje x positivo, hasta la línea que conecta el origen con el punto P. Este ángulo se mide en sentido antihorario (positivo) o horario (negativo), dependiendo de la dirección del ángulo.

El plano polar es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto en el plano se describe no por sus coordenadas x y y (como en el sistema cartesiano), sino por dos parámetros: la distancia del radio (r) y el ángulo polar (θ).

PLANO POLAR

• Circunferencias: En coordenadas polares, una circunferencia centrada en el origen tiene la ecuación r=constante, es decir, todos los puntos están a la misma distancia del origen.
• Espirales: Las espirales, como la espiral de Arquímedes, tienen una ecuación en forma r=a+bθr, donde a y b son constantes que determinan la forma y el crecimiento de la espiral.
• Líneas radiales: Son líneas rectas que pasan por el origen, y en coordenadas polares tienen la forma θ=constante.
• Líneas de radio constante: Para una línea en el plano polar, que forma un ángulo constante θ con el eje x, se usa la ecuación r=constante.

Relación con el sistema cartesiano: El plano polar se puede convertir a coordenadas cartesianas y viceversa mediante las siguientes relaciones: