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Manuel Arturo Alcocer Blanco

series de potencias Interactivas

Una serie de potencias es una expresión matemática que representa una función como una suma infinita de términos, donde cada término es un número multiplicado por una potencia de una variable. Tiene la forma general: ∑ 𝑛 = 0 ∞ 𝑎 𝑛 ( 𝑥 − 𝑐 ) 𝑛 = 𝑎 0 + 𝑎 1 ( 𝑥 − 𝑐 ) + 𝑎 2 ( 𝑥 − 𝑐 ) 2 + 𝑎 3 ( 𝑥 − 𝑐 ) 3 + ⋯ n=0 ∑ ∞ ​ a n ​ (x−c) n =a 0 ​ +a 1 ​ (x−c)+a 2 ​ (x−c) 2 +a 3 ​ (x−c) 3 +⋯ Donde: 𝑎 𝑛 a n ​ son los coeficientes de la serie. 𝑐 c es el centro de la serie (el punto alrededor del cual la serie está expandida). 𝑥 x es la variable independiente. 𝑛 n es un número entero no negativo que indica el exponente de la potencia. Propiedades clave: Convergencia: La serie de potencias converge (es decir, toma un valor finito) para ciertos valores de 𝑥 x. El rango de valores de 𝑥 x para los cuales la serie converge se llama intervalo de convergencia. Radio de convergencia ( 𝑅 R): Es la distancia desde el centro 𝑐 c hasta el límite del intervalo de convergencia. Dentro de este radio, la serie converge absolutamente. Funciones comunes: Muchas funciones matemáticas (como 𝑒 𝑥 e x , sin ⁡ 𝑥 sinx, cos ⁡ 𝑥 cosx, etc.) pueden expresarse como series de potencias.

Ingenieria en Sistemas Computacionales Instituto tecnologico de Mérida Calculo Integral

Definiciónde serie de potencias

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Donde: 𝑎 𝑛 a n ​ son los coeficientes de la serie, que dependen de la función 𝑓 ( 𝑥 ) f(x). 𝑐 c es el centro de la expansión. 𝑥 x es la variable independiente. 𝑛 n es un entero no negativo que indica el exponente de cada término. Cálculo de los Coeficientes 𝑎 𝑛 a n ​ : Para que una función sea representable como una serie de potencias, sus coeficientes 𝑎 𝑛 a n ​ se calculan como:

Forma General Cualquier función que pueda representarse como una serie de potencias en torno a un punto 𝑐 c tiene la forma: 𝑓 ( 𝑥 ) = ∑ 𝑛 = 0 ∞ 𝑎 𝑛 ( 𝑥 − 𝑐 ) 𝑛

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consiste en expresar una función como una suma infinita de términos, cada uno compuesto por un coeficiente y una potencia de la variable, centrada en un punto 𝑐 c. Esta técnica es fundamental en matemáticas y análisis para estudiar y aproximar funciones de manera más sencilla en un entorno cercano a 𝑐

Representación de Funciones como Series de Potencias

El radio de convergencia puede determinarse usando el criterio de la razón o el criterio de la raíz: Criterio de la Razón: Criterio de la Raíz:

Es el conjunto de valores de 𝑥 x donde la serie de potencias converge. Incluye el intervalo abierto (𝑐−𝑅,𝑐+𝑅) (c−R,c+R) y, a veces, uno o ambos extremos (que deben analizarse por separado).

"Intervalo de Convergencia:"

Derivación e integración: Una serie de potencias se puede derivar o integrar término a término dentro de su intervalo de convergencia.

Suma y resta: Se pueden sumar y restar término a término si tienen el mismo centro y convergen.

Propiedades de las Series de Potencias Suma y resta:

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